小学奥数 数论 数字谜综合 最值的数字谜(一).题库版

1、5-1-2-4. 最值中的数字谜（一）教学目标1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题知识点拨数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以 转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇偶分析法等4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的 最值的可能值，再验证

2、能否取到这个最值5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。例题精讲【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是 11469，那么 其中最小的四位数是多少？【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 设 这 四 个 数 字 是 a >b >c >d ， 如 果 d ¹0 ， 用 它 们 组 成 的 最 大 数 与 最 小 数 的 和 式 是5-1-2-4.最值的数字谜（一） .题库教师版page 1 of 9a b c d

3、+ d c b a ，由个位知 a +d =9 ，由于百位最多向千位进 1，所以此时千位的和最多为 10， 1 1 4 6 9a b c 0与题意不符所以 d =0 ，最大数与最小数的和式为 +c 0 b a ，由此可得 a =9 ，百位没有 1 1 4 6 9向千位进位，所以 a +c =11 ， c =2 ； b =6 -c =4 所以最小的四位数 cdba 是 2049【答案】2049【例 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大 7902，那么所有符 合这样条件的四位数中原数最大的是 D C B A- A B C D7 9 0 2【考点】加减法的进位与

4、借位 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 用 A 、 B 、 C 、 D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式从首位来看 A 只能是 1 或 2， D 是 8 或 9；从末位来看，10 +A -D =2 ，得 D =A +8 ，所以只能是 A =1 ，D =9 被减数的十位数 B ，要被个位借去 1，就有 B -1 =C B 最大能取 9，此时 C 为 8，因此， 符合条件的原数中，最大的是 1989【答案】1989【例 3】 在下面的算式中， A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 分别代表 19 中的数字，不同的字母代表不同 的数字，恰使得加法算式

5、成立则三位数 EFG 的最大可能值是 A B C D+ E F G2 0 0 6【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 可以看出， A =1 ， D +G =6 或 16若 D +G =6 ，则 D 、 G 分别为 2 和 4，此时 C +F =10 ，只能 是 C 、 F 分别为 3 或 7，此时 B +E =9 ， B 、 E 只能分别取 (1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)，但此时1、2、3、4 均已取过，不能再取，所以 D +G 不能为 6，D +G =16 这时 D 、G 分别为 9 和 7；且 C +F =9 ， B +E =9 ，所以它们可以取

6、 (3,6)、(4,5)两组要使EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大， 因此 EFG 的最大可能值为 659事实上 1347 +659 =2006 ，所以 EFG 最大为 659【答案】659【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是5-1-2-4.最值的数字谜（一） .题库教师版page 2 of 9奥 林 匹 克+ 奥 数 网2 0 0 8【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】2008 年，学而思杯，6 年级，1 试，第 2 题【解析】 显然“ 奥 £2 ”，所以“ 奥 =1 或 2 ”，如果

7、“ 奥 =2 ”，则四位数与三位数的和超过 2200 ，显然不符合条 件，所以“ 奥 =1 ”，所以“ 林 £9 ”，如果“ 林 =9 ”那么“ 匹克 +数网 =2008 -1900 -100 =8 ”，“匹=数 =0 ”， 不符合条件，所以“ 林 ”最大只能是 8 ，所以“ 匹克 +数网 =2008 -1800 -100 =108 ”，为了保证不同的 汉字代表不同的数字，“ 匹克 ”最大是 76 ，所以“奥林匹克”最大是 1876 。【答案】 1876【例 4】 下面是一个 n 进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求 n 和 ABCDE 的值A B C D+ C B E

8、BC E A B E【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空【解析】 由于算式中出现 5 个不同的数字，所以 n 至少为 5在 n 进制中，就像在 10 进制中一样，两个四位数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为 1(因为这两个四位数都小于 10000，它们的和小于 20000 ，故首位为 1) ，即 C =1 由于 A 最大为 n1 ，则 A +C +1 £n -1 +1 +1 =n +1，A +C £n -1 +1 =n ，即两个四位数的首位向上位进1 后最多还剩下 1 ，即 E 最大为 1 ，又因为不同的字母表示不同的数，E 不能 C 与相同

9、，所以 E 只能为 0 则 D +B n= ，末位向上进 1 位；C +E +1 =2 ，即 B =2 ； B +B =4 ，不向上进位，所以 A =4 ； A +C =E +n ，得 n =5 ，则 D =n -B = 3 所以 n 为 5， ABCDE 为 42130【答案】 n 为 5， ABCDE 为 42130【例 5】 右式中的 a ， b ， c ， d 分别代表 09 中的一个数码，并且满足 a +b =2 (c+d)，被加数最大是多 少？a b+ 5c d【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 若 b <5 ，则由竖式知 a =c ，b <

10、;d ，不满足 a +b =2 (c+d)；若b³5 ，则由竖式知 a =c -1 ，b =d +5 ， 代入 a +b =2 (c+d)，得c +d =4 由此推知 cd 最大为 40， ab 最大为 40 -5 =35 【答案】35【巩固】 下式中的 a ， b ， c ， d 分别代表 09 中的一个数码，并且满足 2 (a+b)=c+d，被减数最小是多5-1-2-4.最值的数字谜（一） .题库教师版page 3 of 9少？a b- 3cd【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 若 b ³3 ，则由竖式知 a =c ， b >d ，不

11、满足 2 (a+b)=c+d；若 b £2 ，则由竖式知 a =c +1 ，b +10 -3 =d ，即 b +7 =d ，代入 2 (a+b)=c+d，得 a +b =6 由 b £2 知 a ³4 ，所以 ab 最小为 42 【答案】42【例 6】 从 19 这 9 个数字中选出 8 个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立其中的四位数最大 可能是 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星 【题型】填空【关键词】2010 年，迎春杯，三年级，初赛，第 9 题【解析】 由题目可知，四位数的千位数字肯定是 1，此时还剩下 29 这 8 个数字，再看三个数的个位数

12、字之 和的尾数为 0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5， 6，9）、（5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为 1759.【答案】 1759【例 7】 如图，在加法算式中，八个字母“ QHFZLBDX ”分别代表 0 到 9 中的某个数字，不同的字母代表不 同的数字，使得算式成立，那么四位数“ QHFZ ”的最大值是多少？2 0 0 9Q H F Z+ Q H L B1 Q H D X【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】2009 年，清华附中，入学测试题【解析】 原式为

13、 2009 +QHFZ +QHLB =1QHDX ，即 QHFZ =1QHDX -QHLB -2009 =7991 +DX -LB 为了使 QHFZ 最大，则前两位 QH 先尽量大，由于 DX -LB 小于 100，所以 QH 最大可能为 80若QH =80 ，5-1-2-4.最值的数字谜（一） .题库教师版page 4 of 9则继续化简为 FZ =DX -LB -9 现在要使 FZ 尽量大由于 8 和 0 已经出现，所以此时 DX -LB -9最大为 97 -12 -9 =76 ，此时出现重复数字，可见 FZ 小于 76而 96 -12 -9 =75 符合题意，所以此 时 FZ 最大为 7

14、5， QHFZ 的最大值为 8075【答案】8075【例 8】 把 0 ，1 ， 2 ，8 ， 9 这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一 次，那么加数中的三位数的最小值是多少？+2 0 0 7【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】2007 年，湖北省“创新杯”【解析】 从式中可以看出，千位上的方框中的数为1 ，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10 由于三位数的百位上不能为1 和 0 ，所以要使三位数最小，它的百位应该为 2 ，十位应该为 0 那么十位向百位的进位为 1 ，所以四位数的百位为 7 ，且十位上三个方框中的数之和再加上

15、个位的进位的和为 10 又剩下的数字 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9 中除 3 +4 +5 +6 =18 只向十位进 1 外，其余任选四数字的和都大于 20 ，由于 3 +4 +5 +6 的尾数不为 7 ，所以个位上四个数字不能是3 ， 4 ， 5 ， 6 ，所以个位向十位进位为 2 ，也就是十位上的三个方框中的数的和为 8 (其中有一个为 0 )，而剩下的 3 ，4 ，5 ，6 ， 8 ， 9 中只有 3 +5 =8 ，所以个位上的四个方框中的数为 4 ， 6 ， 8 ， 9 ，那么加数中的三位数最 小为 204 【答案】 204【例 9】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的

16、汉字代表不同的数字“美妙数学花园”代表的 6 位数最 小为 2 0 0 7美数+ 花好 好 好妙学园好【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】2007 年，第 5 届，走美杯，3 年级，决赛，第 9 题，12 分5-1-2-4.最值的数字谜（一） .题库教师版page 5 of 9【解析】 “好”为 2 ，要使算式满足则必有(美 +数 +花 ） 20 。要使“美妙数学花园”代表的 6 位数最小，则美 + 数 +花 =3 +8 +9 ，妙 +学 +园 =15 =4 +5 +6 即“美妙数学花园”代表的 6 位数最小为 348596【答案】 348596【例 10】 面

17、算式由 19 中的 8 个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学解 题”与“能力”的差的最小值是_.【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】2010 年，迎春杯，中年级，复试，11 题【解析】 为了让“数学解题”与“能力”的差最小，应该让“数学解题”尽量小，也就是让“能力”和“展示”尽量大，其中较大的应是“能力”，那么“数学解题”最小应该是一千八百多，“能”应该是 9，“展”应该是 7，于是“解题”+“力”+“示”=2010-1800-90-70=50，所以“解”应该是 4，那么“题”+“力”+“示”=10，那么只能是 2+3+5 ， 为了

18、“ 数 学解题 ” 与 “ 能力 ” 的差 最小， 让 “ 题 ”=2 ， “ 力 ”=5 ，于 是 “ 数学 解题 ”-“ 能 力”=1842-95=1757.【答案】 1757【例 11】 右边的加法算式中，每个“”内有一个数字，所有“ ”内的数字之和最大可达到 。【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空【关键词】2004年，希望杯，第二届，五年级，初赛，第 5题，5分【解析】 末尾和最大 24，十位和最大 18，百位和最大 18，24+18+18=60【答案】 60【例 12】 将数字 1 至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位

19、 数最小是多少？1+2 0 0 8【考点】加减法的进位与借位 【难度】6 星 【题型】填空【关键词】 2008 年，“迎春杯，”高年级组，复赛5-1-2-4.最值的数字谜（一） .题库教师版page 6 of 9【解析】 9 个方框中的数之和为 45三个加数的个位数字之和可能是 8，18；十位数字之和可能是 9，10，19，20；百位数字之和可能是 8，9，10，其中只有18 +19 +8 =45 所以三个加数的个位数字之和为 18，十位数字之和为 19，百位数字之和为 8要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填 1，十位填 2，此时另两个加数的百位只能填 3，4；则四位数的加数个位可填 5，

20、另两个加数的十位可填 8，9，个 位可填 6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 1125【答案】最小是 1125【例 13】 在右边的加法算式中，若每个字母均表示 0 到 9 中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相 同，也不与算式中已有的数字相同，则 A 与 B 乘积的最大值是多少？EC F+ 9 D G1 0 A B【考点】加减法的进位与借位 【难度】6 星 【题型】填空【解析】 本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个位，若个位不进位，则四个数字E +F +G +B 之和为 2B ，是偶数；若个位进位，则四个数字E +F +G +B

21、 之 和 为 10 +2 B 或 20 +2 B ， 还 是 偶 数 所 以 E +F +G +B 为 偶 数 ， 又A +B +C +D +E +F +G =2 +3 + +8 =35 ，所以 A +C +D 为奇数如果加法算式中个位不进位，那么 C +D =10 +A ，这样 A +C +D =10 +2 A 为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向十 位 进 奇 数 位 ， 只 能 是1位 ， 故 E +F +G =10 +B ， C +D +1 =10 +A ， 得E +F +G +C +D =19 +A +B ，而 A +B +C +D +E +F +G = +2+3 + =8

22、 35 ，所以 A +B =8 ， A 、 B 可能为 2、6 或 3、5，乘积为 12 或 15，故 A 与 B 乘积的最大值是 15另解：因为 E +CF +9 DG =10 AB ，等号两边除以 9 的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以 9 的余数相等，而所有数字的和是 9 的倍数，所以两边都是 9 的倍数，即 10 AB 是 9 的倍数，由于 A +B £7 +8 =15 ，所以 A +B =8 ，再根据“和一定，差小积大”，所以 A 、 B 的取值为 3、5 时， A 与 B 乘积的最大值是 15【答案】15【例 14】 右式中不同的汉字代表 l 一 9 中不同的数字

23、，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最 大是多少?5-1-2-4.最值的数字谜（一） .题库教师版page 7 of 9中 国新 北 京新 奥 运20 0 8【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】2001 年，第 8 届，华杯赛，初赛，第 3 题【解析】 “新”必为 9，千位才能得 2，所以“中”应为 8.“国”、“京”、“运”之和应为 8 或 18，但当和为 18 时， （“国”、“京”、“运”分别为 7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为 15（“中”、“北”、“奥”分别为 8，4，3），不能进位 2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是 8

24、，此时，“北”、“奥”只能分别为 7 和 5， 则“国”、“京”、“运”分别为 4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取 4.即“中国”这两个汉字 所代表的两位数最大是 84.【答案】 84【例 15】 华杯赛网址是 wwwhuabeisai. .cn ，将其中的字母组成如下算式： www +hua +bei +sai +cn =2008 ， 如果每个字母分别代表 09 这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不 同的数字，并且 w =8 、 h =6 、 a =9 、 c =7 ，则三位数 bei 的最小值是 【考点】 【难度】星 【题型】填空【关键词】2008

25、 年，第 13 届，华杯赛，初赛【解析】 根据题意可知， 888 +6u 9 +bei +s 9i +7 n =2008 ，有 u 0 +bei +s 0i +n =351 ，此时 u ， b ， e ， i ， s ， n 只能取 0，1，2，3，4，5b 的最小值为 1，e 的最小值为 0，i 最小取 2，若 i =2 ，此时 s 最大只能取 2，矛盾；所以 i 至少为 3， 若 i =3 ，此时 s =2 ， u =4 ， n =5 ，符合条件，所以三位数 bei 的最小值是 103另解：此题也可采用弃九法等式 www +hua +bei +sai +cn =2008 两边除以 9 的余数相同，左边除 以