云南省高考数学一模试卷(理科)(解析)

1、2017年云南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1 .已知集合S=1, 2,设S的真子集有m个，则m=（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 12 .已知i为虚数单位，则半二的共腕复数为（）1 -1i B . +-i C.3.D.3 .已知a、b是平面向量，如果| a| =3, | b | =4, | a+b | =2,那么|启b|=（）A. VI& B. 7 C. 5 D.收4 .在（x-/）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A. - 120 B. - 60C. 60 D. 1205 .已知 a,b,c,d都是常数，a>b,c>

2、d,若 f（x）=2017（x a）（xb）的零点为c, d,则下列不等式正确的是（）A. a>c>b>d B. a>b>c>d C. c>d>a>b D. c>a>b>d6 .公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的 面积求圆周率&他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12, 24, 48,，192,，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二 边形，这时候 冗的近似值是3.141024,刘徽称这个方

3、法为 割圆术”，并且把 割 圆术”的特点概括为 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知 的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响， 如图是利用刘徽的 割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：1.732, sin15 丸0.2588, sin7.5 力0.1305）,则输出 n 的值为（）I 24否A. 48 B. 36 C. 30 D. 24&+岁-4407.在平面区域r0y>0内随机取一点（a, b）,则函数f （x） =ax2-4bx+1在区间1, +

4、00）上是增函数的概率为（A.B.C. - -D.8 .已知 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a=bcosGcsinB,且4ABC的面积为1+6.则b的最小值为（）A. 2 B. 3C.'： D. ；9 .如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A. 12 B. 18 C. 2410 .已知常数 0, f (x) =- 1+2/lsinxcos+2coS2x图象的对称中心得到 ,. TT8 兀 13T对称轴的距离的最小值为 彳，若f (xo) =", -1Wx00/-,则cos2x)=()A. . B | 二二 C

5、 I D- IT11 .已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16九的球。的球面上，AC为球。的直径，当三棱锥P-ABC的体积最大时，设二面角P-AB- C的大小为9, 贝 sin 8 <）A.B.12 .抛物线M的顶点是坐标原点O,抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物 线M的准线与曲线x2+y2-6x+4y- 3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的 一点，若应i?7J?=-4,则点A的坐标是（）A. （ 1, 2）或（1, 2）B. （1, 2）或（1, 2）C （1, 2） D. （1,-2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校1000名高三学生参加了一次数

6、学考试，这次考试考生的分数服从正态 分布N （90,峭），若分数在（70, 110内的概率为0.7,估计这次考试分数不超 过70分的人数为 人.2214 .过双曲线%-9=1 （a>0, b>0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线 a b15.计算cosl0°t-100Vl-sinlO（用数字作答）交于A, B两点，与双曲线的渐近线交于 C, D两点，若|AB|>|CD|,则双曲 线离心率的取值范围为16.已知 f (x) =，若f (x-1) <f (2x+1),则x的3工泊n "1+工4工），了。 3工，1口（1+；2-工）,x<0取值范围

7、为三、解答题（共5小题，满分60分）17 .设数列&的前n项和为Sh, a1二1,当n>2时，an=2anSn-2Sn2.（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在正数 k,使（1+S1） （1+S2）（1+S） >k/2n+1对一切正整数 n 都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.18 .云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在70, 85)内， 记为B等，分数在60, 70)内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等 级分别为A, B, C都为合格，等级为D为不合格

8、.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50, 100内，为了比较两校学生 的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100分别作出甲校如图1所示样本频率分布直 方图，乙校如图2所示样本中等级为C D的所有数据茎叶图.(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲、乙两校 C等级的学生中随机抽取3名学生进行调 研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数 学期望.19 .如图，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCD是矩形，平面 AB

9、CDL平面SBCSB=SC M 是 BC的中点，AB=1, BC=2(1)求证：AMXSD;(2)若二面角B-SA- M的正弦值为,求四棱锥S- ABCD的体积.20 .已知椭圆E的中心在原点，焦点R、F2在y轴上，离心率等于言，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2,且拓访=1.(1)求椭圆E的方程;(2)做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N,如果线段MN被直线2x+1=0 平分，求l的倾斜角的取值范围.21 .已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x) =ex-ax-1的定义域 为(0, +8).(1)设a=e,求函数f (x)在切点(1, f (1)处的切线方程；(2

10、)判断函数f (x)的单调性；(3)设 g (x) =ln (ex+yx3- 1) lnx,若？ x>0, f (g (x) <f (x),求 a 的 取值范围.选彳4-4：坐标系与参数方程选讲22 .已知直线L的参数方程为二O (t为参数)，以原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(I)直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；(n)过曲线C上任意一点P作与L夹角为2的直线1,设直线l与直线L的交 点为A,求|PA的最大值.选彳4-5:不等式选讲23 .已知函数f (x) =|x+a|+| x-2|的定义域为实数集 R.(I )当a=5时，解关于

11、x的不等式f (x) >9;(II )设关于x的不等式f (x) < |x-4|的解集为A, B=x R 2x- 1|03,如 果AU B=A,求实数a的取值范围.2017年云南省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1 .已知集合S=1, 2,设S的真子集有m个，则m=（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【考点】子集与真子集.【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n-1个真子集.【解答】解：二.集合S=1, 2,S的真子集的个数为：22- 1=3.故选：B.3.2 .已知i为虚数单位，则詈的共腕复数为（A.【考点】复数代

12、数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解： l+2i1+21 (1+21)(1+i) -l+3iIT = d-i) (1+i) - 2, - i 口 1/、知2故选：C.3 .已知：、总是平面向量，如果|W|=3,向=4, |：福| =2,那么|；-二（）A. B. 7 C. 5 D.：【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件对|W-E|二2两边平方，从而可求出2a*b=-21 ,这样即可求出工产的值,进而求出的值.【解答】解：根据条件：自片.二 I ; Z-. '-.-.I ；二4；2；不=二爨;|值-芯产二记-蝠萨=9- ( - 21)

13、+16二46;la-b |=Vi&-故选：A.4.在(x-§) 10的二项展开式中，X4的系数等于()A. - 120 B. - 60 C. 60 D. 120【考点】二项式系数的性质.【分析】利用通项公式即可得出.【解答】解：通项公式1+1二耳胪3(工)/二(1) "/O”令 10 2r=4,解得 r=3.X4的系数等于-C：q=-120.故选：A5.已知 a, b, c, d 都是常数，a> b, c> d,若 f (x) =2017- (x-a) (x-b) 的零点为c, d,则下列不等式正确的是()A. a>c>b>d B. a

14、>b>c>d C. c>d>a>b D. c>a>b>d【考点】函数的零点.【分析】由题意设g (x) = (x- ci) (x-b),则f (x) =2017-g (x),由函数零 点的定义求出对应方程的根，画出 g (x)和直线y=2017的大致图象，由条件和 图象判断出大小关系.【解答】解：由题意设 g (x) = (xa) (xb),贝U f (x) =2017- g (x),所以g (x) =0的两个根是a、b, 由题意知：f (x) =0的两根c, d,;.也就是g (x) =2017的两根，画出g (x)(开口向上)以及直线y

15、=2017的大致图象, 则与f (x)交点横坐标就是c, d,f (x)与x轴交点就是a, b,又 a>b, c>d,则 c, d 在 a, b 外，由图得，c>a>b>d,6 .公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的 面积求圆周率&他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12, 24, 48,，192,，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二 边形，这时候 冗的近似值是3.141024,刘徽称这个方法为 割圆术”，并且把 割 圆术”的特点

16、概括为 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知 的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响， 如图是利用刘徽的 割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序(参考数据： 会y 1.732, sin15 丸0.2588, sin7.5 力0.1305),则输出 n 的值为()力门寸担. A. 48 B. 36 C. 30 D. 24【考点】程序框图.【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解：模拟执行程序，可得:n=6, S=3sin60= _不满足条件

17、S>3.10, n=12, S=6x sin30= 3,不满足条件 S>3.10, n=24, S=12X sin15=12X 0.2588=3.1056,满足条件S> 3.10,退出循环，输出n的值为24.故选：D.&+岁-440内随机取一点（a, b）,则函数f （x） =ax2-4bx+1在7 .在平面区域T。y>0区间1, +00）上是增函数的概率为（）AB白C2D- i【考点】几何概型.【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计 算即可得到结论.【解答】解：作出不等式组一口对应的平面区域如图：y>0?-对应的图形为 O

18、AB,其中对应面积为S=；x4X4=8,若f (x) =ax2 - 4bx+1在区间1, +00)上是增函数,则满足a>0且对称轴x=-1产b13性-4二。,对应的平面区域为 OBG1 dg；对应的面积为 Si=r_x x 4=r, JkJ根据几何概型的概率公式可知所求的概率为故选：B.8.已知 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a=bcosGcsinB,且4ABC的面积为1+、用.则b的最小值为（）A. 2 B. 3 C.： D. . 【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用.【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数 公式化简，求出tanB

19、的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值, 利用余弦定理，基本不等式可求 b的最小值.【解答】 解：由正弦定理得到：sinA=sinCsin+sinBcosC.在 4ABC 中，sinA=sin九一(B+C) =sin (B+C), .sin (B+Q =sinBcosGcosBsinC=sinCsin+SinBcosCcosBsinC=sinCsin B CC (0, tt), sinCw0, . cosB=sinB 即 tanB=1,.Be(0,叽. B=Sx ABc=-acsinac=1+. ?.ac=42 叵 由余弦定理得到：b2=a2+c2 2accosB,即 b2=a2

20、+c2-72ac>2ac Jac=4,当且仅当a=c时取"二；b的最小值为2.故选：A.9 .如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(A. 12 B. 18 C. 24 D. 30【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案.【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=7X3X 4=6,棱柱的高为：5,棱锥的高为3,故组合体的体积V=6X 5-X 6X3=24,.故选：C1

21、0 .已知常数 0, f (x) =- 1+2Vlsinxcos+2cos2x图象的对称中心得到 对称轴的距离的最小值为 ；，若f(X0)=一，二%&X00；,则cos2x)=()A W3 R 32W3 n 33'1C,I1i【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象.【分析】将函数f (x)化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最-Tj-r-jr|-小值为丁，可得T=tt.根据f (xo) =z-, 一鼠0乂00-5-，求出xo,可得cos2x)的 吐1-1T占化【解答】 解：由 f (x) =1+2jlsin xcos+2coS2x, 冗 化简可得：f (x

22、) =/lsin2 +cos2 x=2sin(2 )+-)工对称中心得到对称轴的距离的最小值为彳， 二 T=7t.2冗由二冗可得：3=1一、旦f (xo) 7，兀 6即 2sin (2xo+-)工死冗力 xo<T,2兀一 兀 ?其 亍0 2x0+-y<-JU .sin (2xo+)兀cos (2xo+-jH)3 =5>0一 =TT那么：cos2x)=cos(2xo+-JlT7T)=cos(2xo+) co冗 S-4-73M+Sin(2xo忖)si忖=ioJU故选D11 .已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16九的球。的球面上，AC为 球。的直径，当三棱锥P-ABC的体

23、积最大时，设二面角P-AB- C的大小为9,则 sin 8 二（ ）【考点】二面角的平面角及求法.【分析】AC为球。的直径，当三棱锥P-ABC的体积最大时，4ABC为等腰直角 三角形，P在面ABC上的射影为圆心O,过圆心。作ODLAB于D,连结PD, 则/PDO为二面角P-AB-C的平面角.【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为 2,AC为球。的直径，当三棱锥P-ABC的体积最大时， ABC为等腰直角三角形, P在面ABC上的射影为圆心 O,过圆心。作ODLAB于D,连结PD,则/ PDO为二面角P- AB- C的平面角， 在AABOX中,PO=2, OD=BC=1, . PD=V , si

24、n 点萼.占i U -J故选：C12 .抛物线M的顶点是坐标原点O,抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物 线M的准线与曲线x2+y2-6x+4y- 3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的 一点，若以？知二-4,则点A的坐标是()A. ( - 1, 2)或(-1, -2)B. (1, 2)或(1, -2)C. (1, 2) D. (1,2)【考点】抛物线的简单性质.2【分析】先求出抛物线的焦点F (1, 0),根据抛物线的方程设 A (也，yo),42 一 2则赢=("0 , y0), a?= (1)口 ， y yo),再由位而=-4,可求得y0的值，最后可得答案.【解答】解：x2+

25、y26x+4y 3=0,可化为(x 3) 2+ (y+2) 2=16,圆心坐标为(3,-2),半径为4,;抛物线M的准线与曲线x2+y2-6x+4y - 3=0只有一个公共点， .3+=4, . .p=2.F (1, 0),设 A (£L, yo)4r 2_2则赢=(匚，yo), AF= (1- yo), 44由赢?！F= 4, ；yo=± 2, /.A (1, ±2)故选B.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分2。分)13.某校1ooo名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态 分布N (9o, J),若分数在(7o, 11o内的概率为o.7,估

26、计这次考试分数不超 过7o分的人数为 325人.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】利用正态分布曲线的对称性结合已知求得P (X0 7o),乘以1ooo得答案.【解答】解：由X服从正态分布N (9o,幡)(4 o),且P (7o<X< 11o)=o.35, 165得 P (X< 7o)=- (1-o.35)=,.65估计这次考试分数不超过7o分的人数为1ooox-=325.故答案为：325.214.过双曲线唱a、=1 （a>0, b>0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线 b2交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于 一点，若| AB|片| CD，则

27、双曲 线离心率的取值范围为p +QQ） .【考点】双曲线的简单性质.【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令 x=c,联立方程求出A, B, G D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和 a, b, c的关系，进行求解 即可.r 22【解答】解：设双曲线 用-烹=1 （a>0, b>0）的右焦点为（c, 0）,当x=c时代入双曲线 彳泉=1得y=±"，则A （c，g），B （c,2b2贝U AB4-, a.将 x=c代入 y=±Lx得 y=±号，则 C （c,甘），D （c,一告），则 |CD4,Oi- I AB| 学旨I CDI，二

28、¥管，即b/，则 b2=c2- a2>5-c2,2贝（Je2=>2516，即掇2*,E 5则e1才.5故答案为：后，+8）.15-计算吗高产2一忆(用数字作劄【考点】三角函数的化简求值.【分析】利用诱导公式化简cos (-100°) =-sin10；同角三角函数关系式1- sin10 = sin25 +cos250- 2sin5 cos5代入化简.根据两角和与差的公式可得答案.【解答】解：由Vl-sinlO,1 '/式-2 -2“门5“ 8君50 +sJ5+3。* )=2sin1450 -5" ) r- cosSi -sinS0 - cos5c

29、 -einE4 一故答案为：.一：.16.已知 f (x)=3/十1口(di+X4工)j算o3141口(11+工 2_了), x<Q,若 f (x1) <f (2x+1),则 x 的取值范围为 x|x>0,或x<-2 【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】由题意可得f (x)为偶函数，f (x)在0, +8)上单调递增.由不等式f (x- 1) <f (2x+1),可得|x - 1| < | 2x+11 ,由此求得x的范围.【解答】解：:已知f (x)312+1 n ( a/1+ z x)»L3i2+lntVn-K2-K *<。'满足

30、 f ( - x) =f (x),且 f (0) =0,故 f (x)为偶函数, f (x)在0, +°°)上单调递增.若 f (x 1) <f (2x+1),贝(J|x1|<|2x+1| ,. . (x 1) 2< (2x+1) 2,即 x2+2x>0, . . x>0,或 x< 2, 故答案为：x|x>0,或x< -2.三、解答题(共5小题，满分60分)17.设数列a的前n项和为S, a1=1,当n>2时，a=2&Sn-2$2.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正数 k,使(1+&)(1+S2

31、) (1+Sn)>k/2n+1对一切正整数 n 都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.【考点】数列与不等式的综合；数列递推式.【分析】(1)由数列的性质对其经行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式 即可，求出Sn,再根据an=SSn 1,即可求出数列的通项公式，(2)先构造函数f (n)并判断其单调性，然后再由函数的单调性解决函数包成立的，求出参数k的取值范围.【解答】解：(1)二.当n12时，an=2anS-2S2,2,n>2, a-:一备-=t2SJ (Sn-Sn 1) (2Sn- 1) =242, Sn - Sn - 1=2SnSn -1, I ri I 1

32、 1Sn2, n>2,数列是以Sn-11筮=1为首项，以2为公差的等差数列,. 曰=1+2 (n - 1) =2n- 1, n2 时，an=Sn Sn-1 =2n-l2n-3a1=Si=1,1. n=l二 an=(2nT)(2n5)'(2)设 f (n)二a+SjHi+s2)-aisn)V2n41则 i二k H2n +M+42n f8n+3>1,f (n)在nC N*上递增，要使f (n)k包成立，只需要f (n) min>k,2J3- f (n) min=f (1)=R0<k T 18.云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使 用等

33、级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在70, 85)内， 记为B等，分数在60, 70)内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等 级分别为A, B, C都为合格，等级为D为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50, 100内，为了比较两校学生 的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100分别作出甲校如图1所示样本频率分布直 方图，乙校如图2所示样本中等级为C D的所有数据茎叶图.(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从

34、甲、乙两校 C等级的学生中随机抽取3名学生进行调 研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数 学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质可得 x,进而定点甲校的合格率.由茎 叶图可得乙校的合格率.(2)甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012X10X 50=6, 4人.X=0, 1, 2, 河3.利用P (X=ko 13,即可得出. %【解答】解：(1)由频率分布直方图可得：(x+0.012+0.056+0.018+0.010) X10=1, 解得 x=0.004.甲校的合格率 P1= (1

35、- 0.004)义 10=0.96=96%50-2乙校的合格率P2屋二-X10O%=96%.可得：甲乙两校的合格率相同，都为 96%.(2)甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012X10X50=6, 4人.X=0, 1, 2, 3.rk r3-k则 P(X=k)于10，P (X=0)120 30，P (X=1)36 =3 120 =10P (X=2)6。120P (X=3)2Q 二 1 120=6 .E (X) =0+1 义nP+2x-2+3x，- X的分布列为:1103019.如图，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCD是矩形，平面 ABCDL平面SBCSB=SC M 是 BC的中点，AB

36、=1, BC=2(1)求证：AMXSD;(2)若二面角B-SA- M的正弦值为等，求四棱锥S- ABCD的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与 平面垂直的性质.【分析】(1)推导出SM± BC, SMXAM,由勾股定理得 AMXDM,从而AM ± 平面DMS,由此能证明AMXSD.(2)以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出四棱锥S- ABCD的体积.【解答】证明：(1) V SB=SC M是BC的中点，SMLBC,平面ABCDL平面SBC 平面 ABCDH平面SBC=

37、BC.SML平面 ABCR,. AM?平面 ABCR . . SMXAM,底面ABCD矩形，M是BC的中点，AB=1, BC=ZAM2=BM2=/1 ? +1 2=点,AD=2,. AM2+BM2=AD2,amxdm,.SMn DM=M,.AM，平面 DMS,. SD?平面 DMS, . . AMXSD.解：（2） v SMXT面ABCR以M为原点,MC为x轴,MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,设 SM=t,则 M (0, 0, 0), B ( 1, 0, 0),S (0, t, 0),A (T, 0, 1),BA= (0, 0, 1), BS= (1, t, 0)

38、,心产(T,0,1),MS= (0, t, 0),设平面ABS的法向量扇二(x, y, z)n*BS-i+ty=O,取 x=1,得 i；= (1,，0),.设平面MAS的法向量：二（a, b, c）,M. f nrHA=-£L+c=0川；,取 a=1,得 ir= (1, 0, 1),设二面角B - SA- M的平面角为9,二面角B - SA- M的正弦值为二 sin二 cos 0n . n皿也 =3,解得t=/2,*. SM,平面 ABCR SM=/2,四棱锥S- ABCD的体积:Vs abcd=J "厂 i 一 : U*1u20.已知椭圆E的中心在原点，焦点Fi、F2在y

39、轴上，离心率等于警 ,P是椭圆E上的点，以线段PFi为直径的圆经过F2,且9PF?PF?=1.(1)求椭圆E的方程；(2)做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N,如果线段MN被直线2x+1=0 平分，求l的倾斜角的取值范围.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)由题意可知：设椭圆的标准方程，c=-a,则利用椭圆的定义m+n=2a,勾股定理n2+ (2c) 2=m2,及向量数量积，即可求得a和b的值，求得 椭圆方程；(2)假设存在直线1,设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别 式，即可得到结论.V2 1 【解答】解：(1)由题意可知：设题意的方程： +=1 (a>b>

40、;0),a bc： 2V22J2e=T=-,贝 1c土宅a,设 IPF1I =m, IPF2I =n,贝U m+n=2a,线段PR为直径的圆经过F2,则PF?±F1F2,则 n2+ (2c) 2=m2,9m?nXcos/ FiPF2=1,由 9n2=1, n=1,解得：a=3, c=、J ,|Q|3则 b=，=1,2椭圆标准方程：J匚 ；9(2)假设存在直线1,依题意l交椭圆所得弦MN被x=-段平分, :直线1的斜率存在.设直线1: y=kx+m,则消去 y,整理得（k2+9） x2+2kmx+m2 - 9=0: 1与椭圆交于不同的两点 M , N,24=k 2 tg=2k=4k2m

41、2 4 （k2+9） （m2-9） >0,即 m2 k2 9<0x i : 叼km& M （X1, yi）, N （X2, y2）,贝U X1+X2=一 .-=- =-5Zn十3上把代入式中得（号电）2- （k2+9） <0k>6或 k< - Ml,一八 ，aTT JT冗 2五.直线1倾斜角 长（工-,）u （, 号）.21.已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x) =W-ax-1的定义域 为(0, +OO).(1)设a=e,求函数f (x)在切点(1, f (1)处的切线方程；(2)判断函数f (x)的单调性；(3)设 g (x) =1n (e

42、渭x3 1) 1nx,若？ x>0, f (g (x) <f (x),求 a 的 J取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数，计算f (1), f7D,求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论 a的范围求出函数的单调区间即可；(3)设F (x) =ex - x - 1,求出函数的导数，问题转化为 x>0时，ex+|-x3- 1 >x,设h (x) =xex- ex- x3+1,根据函数的单调性确定a的范围即可.【解答】解：(1) a=e时，f (x) =ex- ex- 1, f (1) =- 1,

43、f '(x) =ex-e,可得 f'(1) =0,故a=e时，函数f (x)在切点(1, f (1)处的切线方程是y=-1;(2) f (x) =ex- ax- 1, f'(x) =ex- a,当a00时，f'(x) >0,则f (x)在R上单调递增；当 a>0 时，令 f'(x) =ex- a=0,彳# x=lna,则f (x)在(-8, Ina上单调递减，在(lna, +oo)上单调递增.(3)设 F (x) =ex-x- 1,贝U F' (x) =ex- 1, x=0时,F' (x) =0, x>0 时,F'

44、; (x) >0, F (x)在0, +oo)递增，；x>0 时，F (x) >F (0),化简得:ex- 1>x,x>0 时，ex+yx3 1 >x,设 h (x) =xex- ex- x3+1,则 h' (x) =x (ex - ex),设 H (x) =ex- ex, H' (x) =ex- e,由 H' (x) =0,得 x=1 时，H' (x) >0,x< 1 时，H' (x) <0, x>0时,H (x)的最小值是H (1), x>0 时，H (x) >H (1),即 H (x) >0,.h' (x) >0,可知函数 h (x)在(0, +oo)递增, h (x) >h (0) =0,化简得 ex+rx3- 1<xex,x>0 时，x<ex+yx3- 1 <