中考数学常见题型几何动点问题

1、中考数学压轴题型研究（一）动点几何问题例 1：在ABC 中，B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1) 求ABC 的面积；(2) 现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q 从 C 点出发，沿射线 CB 也向点 B 方向运动。如果点 P 的速度是 4CM/秒，点 Q 的速度是 2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，PBQ 的面积 ABC 的面积的B一半(3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少CA例 2: ()已知正方形 ABCD 的边长是 1，E 为 CD 边的中点， P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动点 P 从 A 点出发

2、，沿 A B C E 运动，到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x，APE的面积为函数 y，（1）写出 y 与 x 的关系式(2)求当 y13时，x 的值等于多少例 3：如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中，B=90°，DCAB，动点 P 从 B 点出发，沿梯形的边由 BC D A 运动，设点 P 运动的路程为 x ABP 的面积为 y , 如果关于 x 的函数 y 的图象如图 2 所示 ，那么ABC 的 面积为（ ）A32 B18 C16 D10y例 4：直线 y =-34x +6与坐标轴分别交于A、B两点，动点 P、Q同时从OB点出发，同时到达 A点，运动停止点 Q 沿线段

3、 OA运动，速度为每秒 1 个单P位长度，点 P 沿路线 O B A运动（1）直接写出 A、B 两点的坐标；O Q Ax（2）设点 Q的运动时间为t秒， OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S =485时，求出点 P的坐标，并直接写出以点 O、P、 Q为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标例 5：已知：等边三角形 ABC的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止），过点 M 、 N 分别作AB边的垂线，与 ABC 的其它边交

4、于P、Q两点，线段 MN 运动的时间为t秒（1） 线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积；（2） 线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，运动的时间为t 求四边形 MNQP 的面积 S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围CQP例 6：如图（ 3 ），在梯形 ABCD 中， DC AB，ÐA =90°，AD =6厘米，A M NBDC =4 厘米，BC 的坡度 i =34，动点 P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向点 B运动，动点 Q从点 B出发以 3 厘米/秒的速度沿

5、B ® C ® D方向向点DCD运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停Q止设动点运动的时间为 t 秒（1）求边 BC 的长；AP E图（3）B（2）当 t 为何值时， PC 与 BQ相互平分；（3）连结 PQ，设 PBQ 的面积为 y，探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值时， y 有最大值最大值是多少二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方 程。例 7：如图，已知 ABC中， AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点 D 为 AB 的A中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/

6、秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 QDQ在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动BPC若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后 BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP 全 等（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇例 8：如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，AD =3，DC =5，AB =4 2，B =45°

7、动点M从B点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求 BC的长（2） 当 MN AB 时，求 t 的值（3） 试探究： t 为何值时， MNC 为等腰三角形例 9：（如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90º，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB 为O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动， P、Q 分别从点 A、C 同

8、时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t(s)(1) 当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形(2) 当 t 为何值时，PQ 与O 相切A P DA PDOOBQCBQC例 10.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm(x ¹0)，则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部

9、分为第三边构成一个三角形；()（2） 当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3） 以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由AP NDBQ M（第 25 题）C练习 11正方形 ABCD 的边长为 2cm ，在对称中心 O 处有一钉子动点 P ，Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 A ® B ® C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A ® D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止P，Qx两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为0 x 1 时，求 y 与 x 之

10、间的函数关系式；（1）当ycm2BCP（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x 值；O（3）当 1 x 2 时，求 y 与停止时POQ 的变化范围；x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子ABQPDC到运动O（4）当0 x 2时，请在给出的直角坐标系中画出 y 与 x 之间的函数图象解 （1）当0 x 1时，AP =2 x，AQ =x，y =12AQ AP =x2，A3yQDy =x即（2）当2S = 四边形ABPQ12S正方形ABCD时，橡皮筋刚好触及钉子，21BP =2 x -2，AQ =x，1 1 4 2 x -2 +x ´2 = ´2 2 ， x =2 2 3O12

11、x4（3）当 1 x 时， AB =23PB =2 x -2 ， AQ =x ，3y y =AQ +BP x +2 x -2AB = ´2 =3 x -2 2 2，2即y =3 x -21作OE AB，E为垂足O142x当43 x 2 时， BP =2 x -2 ， AQ =x ， OE =1 ，32DACD梯形 OBCD2y =S梯形 BEOP+S梯形 OEAQ=1 +2 x -2 1 +x 3 3 ´1+ ´1 = x ，即 y = x 2 2 2 290 POQ 180（4）如图所示：或180 POQ 2702.如图,平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴

12、, y 轴分别交于 A(3,0),B(0, 3 )两点, ,点 C 为线段 AB 上的一动点,过点 C 作 CDx轴于点 D.(1)求直线 AB 的解析式;(2)若S梯形 OBCD4 33,求点 C 的坐标;(3)在第一象限内是否存在点 P,使得以 P,O,B 为顶点的 三角形与OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.解（1）直线 AB 解析式为：y=-33x+ 3 （2）方法一：设点坐标为（x，-3 3 x+ 3 ），那么 ODx，CD -3 3x+3S梯形 OBCD(OB+CD )´CD2-36x2+ 3由题意：-3 4 3x + 3 ，

13、解得 6 3x =2, x =4 1 2（舍去） （，33）方法二：SDAOB=1 3 3 4 3 3 OA ´OB = , S ， S =2 2 3 6由 OA=3OB，得BAO30°，AD=3CDSDACD123 3 3CD×AD CD 可得 CD 2 6 3 AD=，ODC（，（）当OBPRt时，如图33）若BOPOBA 则BOPBAO=30°，BP=3OB=3，P1（3，33）334324若BPOOBA 则BPOBAO=30°,OP=33OB=1P2（1，3）当OPBRt时 过点 P 作 OPBC 于点 P(如图)，此时PBOOBA B

14、OPBAO30° 过点 P 作 PMOA 于点 M方法一： 在 RtPBO 中，BP1 3 3 OB ，OP 3 BP 2 2 2 在 RtPO 中，OPM30°， OM1 3 3 3 3 3 3 OP ；PM 3 OM P （ ， ）2 4 4 4 4方法二：设（x ，-3 3 x+ 3 ），得 OMx ，PM -3 3x+3由BOPBAO,得POMABOtanPOM=PMOM=3- x + 33x，tanABOC=OAOB=3-33x+333 3 3 3x，解得 x 此时， P （ ， ）4 4 4若POBOBA(如图)，则OBP=BAO30°，POM30&#

15、176; PM3 3OM 3 4P4（3 3， ）（由对称性也可得到点 P 的坐标） 4 4当OPBRt时，点 P 在轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：P1（3，333 3 3 3 3）， P （1， 3 ）， P （ ， ）， P （ ， ）4 4 4 4解3如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60°，点 P 为 x 轴 上的个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D(1) 求点 B 的坐标；(2) 当点 P 运动什么位置时，OCP 为等腰三角形，求这时

16、点 P 的坐标；(3)当点 P 运动什么位置时，使得CPD=OAB，且 (1)作 BQx 轴于 Q. 四边形 ABCD 是等腰梯形,BAQCOA60°在 RtBQA 中,BA=4,BD 5= ，求这时点 P 的坐标。 AB 8BQ=AB·sinBAO=4×sin60°=2 3AQ=AB·cosBAO=4×cos60°=2,OQ=OA-AQ=7-2=5点 B 在第一象限内,点 B 的的坐标为(5,2 3)(2)若OCP 为等腰三角形,COP=60°,此时OCP 为等边三角形或是顶角为 120°的等腰三角形若

17、OCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点 P 在 x 轴的正半轴上,点 P 的坐标为(4,0)若OCP 是顶角为 120°的等腰三角形,则点 P 在 x 轴的负半轴上,且 OP=OC=4 点 P 的坐标为(-4,0)点 P 的坐标为(4,0)或(-4,0)(3)若CPD=OABCPA=OCP+COP而OAB=COP=60°,OCP=DPA此时OCPADPOP OC=AD APBD 5=AB 8AB =2 221 325 BD =5 58 2,AD=AB-BD=4-5 3=2 2AP=OA-OP=7-OPOP 4=3 7 - OP2得 OP=1 或 6点 P 坐标为(

18、1,0)或(6,0).4 已知：如图，在 RtABC 中，C=900，AC=4cm，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s）（0<t<2），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQBC（2）设AQP 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtABC 的周长和面积同时平分若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接 PC，并把PQC沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻 t，使四边形 PQPC 为菱形若存在，求出此时菱形的 边长；若不存在，说明理由解：（1）在 RtABC 中， AB = BC +AC =5 ，由题 意知：AP = 5t，AQ = 2t，A Q图BPH C若 PQBC，则APQ ABC，（2）过点 P 作 PHAC 于 H APH AB