(word完整版)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解(2),推荐文档

1、1(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析一、函数的概念与表示1、 映射：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映 射集合 A, B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从ZB的映射 f:(x,y)-(x2+y：xy)，求象(5 , 2)的原象13.已知集合 A 到集合 B=0, 1, 2, 3的映射 f:x -x 1，贝煉合 A 中的元素最多有几个？写出元 素最多时的集合 A.2、 函数。构成函数概念的三要素定义域对应法则值域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例 1 设f(x)是一次函数

2、，且ff(x) 4x 3，求f(x)配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f (x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式 时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例 2 已知f(x -) x22 (x 0)，求f(x)的解析式xx三、 换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知fjx 1) x 2、.x，求f (x 1)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数y x2x 与 y g(x)

3、的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式单调性)y x3(x 1,3)8.y.，2五、构造方程组法： 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过1解方程组求得函数解析式。例 5 设f(x)满足 f(x) 2f (-) x,求f(x)x1-例 6 设f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f (x)g(x) -,试求 f(x)和 g(x)的解析式x 1六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行 赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知：f(0) 1，对于任意实数 x、y，等式f(x y) f(x)

4、 y(2x y 1)恒成立，求f(x)七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或 者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设f(x)是N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b都有f(a) f(b) f(a b) ab，f(x)1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；6. ( 05 江苏卷)函数 y Jlog0.5(4x* 23x)的定义域为2 求(1)已知 f (x)的定义域是-2,5, 求 f

5、(2x+3)的定义域。(2)已知 f(2 x-1)的定义域是-1,3,求 f( x)的定义域例 2 设f (x) lg2_，则f () f (2)的定义域为2x2 x变式练习：f(2 x) J4 x2，求仁仮)的定义域。三、1 求函数值域的方法1直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；2换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，话合根式内外皆为一次式；3判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且x R 的分式;4分离常数：适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图)；5单调性法：利用函数的单调性求值域；

6、6图象法：二次函数必画草图求其值域；7利用对号函数2xvx 1 Vx 1几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数(直接法)f(x) 224 2x x23 .(换元法)y x . 214.(法)3xTV2x2x16.(分离常数法)yx1x 133x 1 “y2x 1(x 4)7.(4y Jx 19 .(图象法)y 3 2x x2( 1 x 2)10.(对勾函8数)y 2x (x 4)x11.(几何意义)y |x 2 |x 1|四. 函数的奇偶性1 .定义:2.性质：1y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于 y 轴对称，y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称，2

7、若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=03奇奇=奇偶偶=偶奇X奇二偶偶X偶二偶奇心禺=奇两函数的定义域 D , D2, DAD2要关于原点对 称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看 f(x)与 f(-x)的关系1 已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数.当x (, 0)时，f (x) x x4，则当x (0,)时，f (x) _ ._2 已知定义域为R的函数f(x) f1b是奇函数。(I)求a,b的值；(U)若对任意的2at R，不等式f(t22t) f (2t2k) 0恒成立，求 k 的取值范围；3 已知f(x)在(一1，1)上有定义，且满足x, y ( 1,1)有 f

8、(x) f (y)f(一),1 xy证明：f (x)在(一 1，1)上为奇函数；4 若奇函数f(x)(xR)满足f (2)1，f(x 2) f(x)f(2)，则f(5) _五、1、函数单调性的定义：2 设y f g x是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则y f g x在 M 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，贝U y f g x在 M 上是增函数。2 例函数f(x)对任意的m,n R，都有f(m n) f(m) f(n) 1，并且当 x 0 时，f(x) 1，求证：f(x)在 R 上是增函数；若f(3) 4，解不等式f(a2a 5) 23 函数y l

9、og。,x 2x2)的单调增区间是_4(高考真题)已知 f(x)(3a 1)x 4a，x 1是(，)上的减函数，那么a的取值范围是logax,x 111 11(A)(0,1)(B)(0,1)(C)丄,丄)(D)丄,1)37 37:函数单调性的证明 1.取值 2，作差 3，定号 4，结论5:函数单调性的判定，求单调区间yx22x 3y2x2x3y J x25x 4y1J x22x 3x24x12yIog2(x23x2)y11y2 丄 52y 2 -x 2xxxa/0)a(a 0)yx ( ay xxx-三: 函数单调性的应用 1 .比较大小例:如果函数f (x)x2bxc对任意实数 t 都有f(

10、2 t)f(t 2)，那么 A、f(2)f(1)f(4)B、f(1)f(2)f(4)C、f(2) f (4)f(1)C 、f(4)f(2)f(1)2.解不等式例：定义在(一 1, 1) 上的函数f (x)是减函数，且满足：f(1 a) f(a)，求实数a的取值范围。例：设是定义在6求满足不等式上的增函数，的 x 的取值范围 .，且73.取值范围例：函数上是减函数，则的取值范围是_ 例：若 f(x)(3a 1)X 4a%1是R上的减函数，那么a的取值范围是()lOgaX X 11111A.(0,1)B.(0,丄)C.丄,丄)D.-,1)37 374. 二次函数最值 例：探究函数f (x) x22

11、ax 1在区间0,1的最大值和最小值。例：探究函数f(x) x22x 1在区间a,a 1的最大值和最小值。5. 抽象函数单调性判断例：已知函数f(x)的定义域是(0,)，当 x 1 时，f(x) 0，且f(xy) f(x) f(y)求f(1)，证明f(x)在定义域上是增函数1 1如果f(-)1，求满足不等式f(x) f()2 的x的取值范围3x 28例：已知函数 f (x)对于任意 x，y R,总有 f (x) + f (y) = f(x+ y)，且当 x0 时，f (x)1 时，f (x)0. X2(1)求 f(1)的值；判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)二一 1,解不等式 f(|

12、X|)0 , a 工 1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=aX(a0 且 a 1)y=logax (a0 , a 工 1)定义域(-OO，+OO)(0,+O)值域(0,+O)(-OO，+ OO )过定点(0,1)(1,0)图象指数函数 y=ax与对数函数 y=logax (a0 ,a 工 1)图象关于 y=x 对称尸卩加yI _j71ogaK(al) floga(oa 1,在(-O，+O)上为增函 数0va1,在(0,+O)上为增函数0va1 ?y0?y0?2比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果 底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相

13、同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较 大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论 复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、 （ 1） y JgX lg（5 3x）的定义域为_；1（2）_y汙的值域为；（3）y lg（ x2x）的递增区间为 _ ，值域为 _12、（ 1）log21x -0，贝 U x _243、要使函数y 1 2x4xa在x ,1上y 0恒成立。求a的取值范围。4、若 a2x+1 ax10 且 a 1），求 y

14、=2a2x 3 ax+4 的值域._ 2 2_十.(1)1、平移变换:(左+右-，上 + 下-）即yf (x)h 0 ,右移；h 0 ,左移yf (xh)yf (x)k 0 ,下移;k0 ,上移yf (x)k 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）yf(x)x 轴yf(x)yf( x )y 轴yf (x)yf( x )原点yf（x）yf( x )y xyf1(x)yf( x )y 轴右边不变，左边为右边部分的对称图yf dx|)yf( x )保留x 轴上方图，将x 轴下方图上翻y 1 f(x)|1. f（x）的图象过点（0,1），则 f（4-x）的反函数的图象过点（）A.(3,0)B.(

15、0,3)C.(4,1)D.(1,4)122作出下列函数的简图:(1) y=|log2| ; 2) y=|2x-1| ;(3) y=2|x|;函数图像的变换函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、 基本函数(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(5)对数函数、(6)三角函数。2、 图象的变换(1)平移变换(左加右减)1函数 y=f(x+2)的图象是把函数 y=f(x)的图像沿 x 轴向左平移 2 个单位得到的；反之向右移2 个单位2函数 y=f(x)-3(的图象是把函数 y=f(x)的图像沿 y 轴向下平移 3 个单位得到的；反之向上移3 个单位(2)对称变换函数 y=f(x)与函数 y=f(-x) 函数 y=f(x) 与函数 y=-f(x) 函数y=f(x)与函数 y=-f(-x)如果函数 y=f(x)对于一切 x R 都有 f(x+a)=f(x-a)3y=f-1(x)与 y=f(x)关于直线 y=x 对称