(word完整版)正余弦定理知识点及题型归纳,推荐文档

1、解三角形 .正弦定理: a b c sin A = sin B = sin C =2R 其中 R 是三角形外接圆半径 正弦定理的如下变形常在解题中用到 1. (1) a=2Rs inA (2) b=2Rs inB (3) c=2Rs inC 2. (1) si nA二a/2R (2) si nB二b/2R (3) si nC二c/2R 3. a : b： c=sinA : sinB:sinC 二.余弦定理： 1. aA2 =bA2 + cA2 -2 b c cosA 2. bA2 = =aA2 + cA2 - -2 a c cosB 3. cA2 =aA2 + bA2 -2 a b cosC

2、余弦定理的如下变形常在解题中用到 1. cosC =(aA2 + bA2 - cA2) / (2 a b) 2. cosB = (aA2 + c2-匕八2) / (2 a c) 3. cosA = (cA2 + bA2- aA2) / (2 b c) 三. 余弦定理和正弦定理的面积公式 1 丄 丄 SAABC= 2 absinC二 2 bcsinA二 2 acsinB (常用类型：已知三角形两边及其夹角) 判断三角形的形状 有两种途径： (1) 将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解 (2) 将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解 三解三角形的实际应用 测量中相关的名称术语 仰

3、角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所 成的角叫做仰角。 俯角： 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫 俯角 方向角：从指定方向线到目标方向的水平角 (一) 已知两角及一边解三角形 例 1 已知在 ABC 中，c= 10，A = 45 C = 30 求 a、b 和 B. (二) 已知两边和其中一边对角解三角形 例 2 在厶 ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C，若 a=2 V3，b= V 6，A=45。，求边长 C (三) 已知两边及夹角，解三角形 例 3 ABC 中，已知 b= 3， c= 3 寸 3，B = 30求

4、角 A，角 C 和边 a. 例四：在厶 ABC 中，若/ B=30 , AB=2, AC=2，则 ABC 的面积 是 _ 例五判断三角形的形状 (1) 正弦定理判断 在厶ABC中，若 a2tan B= b2tanA,试判断 ABC勺形状. (2) 余弦定理判断 在厶 ABC 中，若 b2sin2C+ c2sin2B= 2bccosBcosC，试判断三角形的形状. 例六判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数: (1) a=5,b=4,A=120 度 (2) a=7,b=14,A=150 度 (3) a=9,b=10,A=60 度 (4) c=50,b=72,C=135 度 考试类型 一

5、、求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进 而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 1、 ABC中，A -, BO 3,贝卩ABC的周长为() 3 A . 4 3sin B 3 B . 4.3sin B 3 C . 6sin B 3 3 6 3 D. 6sin B 3 6 2、 在厶ABC中，已知AB 心，cosB , AC边上的中线BA.5，求 si nA 3 6 的值. 3、 在厶 ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c,若/ C=120 , c= 2 a，则 系不能确定 在锐角ABC中，BC 1,

6、B 2代则的值等于 cos A 围为 ABC中，代B, C所对的边分别为a,b,c , tan C sin A sin B , sin( B A) cosC . cos A cos B (1)求代C; (2)若 SABC 3 3,求 a,c. 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形 状. 1、在 ABC 中，已知 2sin AcosB sinC，那么 ABC一定是（） A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角 2、18.若厶ABC的三个内角满足sin A:si nB:si nC 5:11:13，贝卩厶ABCA.a b B.a v b C.

7、a= b D.a 与 b 的大小关 4、在厶 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 a2 b2 . 3bc , sin C 2、3sin B , 则 A= (A) 300 (B) 600 (C) 1200 (D) 1500 5、在ABC中, a=15,b=10,A=60。，贝卩 cosB 6、 在厶 ABC 中, 若 b = 1 , c =3 , 7、 在 ABC 中，已知 B=45 AD=10,AC=14,DC=6 求 AB 的长. D -1 3 C ，贝U a = 3 ,D 是 BC 边上的 ，AC的取值范 9、 O (A) 定是锐角三角形 (B) 定是直角三角形

8、(C) 一定是钝角三角形. (D) 可能是锐角三角形，也可能是钝 角三角形 三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的 面积公式来解题. 1、在 ABC 中，若 A 120o, AB 5 , BC 7 则 ABC 的面积 S= _ 四、 求值问题 1、 在ABC中，A、 B、 C所对的边长分别为a、b、c, 设a、b、c满足条件b2 c2 bc a2和-1 .3，求A和tanB的值. b 2 2、 在锐角三角形 ABC A B、C 的对边分别为a、b、c, - - 6cosc，则 a b 哑 tanC= _ 。 tan A tan B 3、 在 ABC 中，a, b, c

9、 分别为内角 A, B, C 的对边，且 2asin A (2a c)sinB (2c b)sin C. (I)求 A 的大小； (H) 求 sin B sinC 的最大值. 五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、 航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： (一.)测量问题 1、如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选 图 1 定 A、B 两点，望对岸标记物 C,测得/ CAB=30 , / CBA=75 , AB=120crp 求河的宽度。(A) 定是锐角三角形 (B) 定是直角三角形 （二 ）遇险问题 2、某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向， 此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30 分 钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行