施图姆刘维尔本征值问题PPT学习教案

1、会计学1施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题施图姆施图姆- -刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题构成构成施图姆施图姆- -刘维尔刘维尔( (Sturm- -Liouville) )本征值问题本征值问题( (本征值的全体称为给定问题的本征值的全体称为给定问题的“谱谱”) )。例：例：( (1) ) a=0，b=l，k( (x) )=常数，常数，q( (x) )=0， ( (x) )=常数常数)()( 0)()()(条件类、第三类或自然边界第一类、第二附加边界条件bxayxyxqdxdyxkdxd为本征值；为本征值；( (x) )为权重因子为权重因子( (权函数权函数) ) 0)(0)0(0

2、lyyyy，lxnCxylnnnsin)(222第1页/共16页( (2) ) a=- -1，b=1，k( (x) )=1- -x2，q( (x) )=0，( (x) )=1( (3) ) a=- -1，b=1，k( (x) )=1- -x2，q( (x) )= m2/(/(1- -x2) )， ( (x) )=1阶勒让德多项式或正整数为本征值llll)0( ) 1(有限) 1(0)1 (2yydxdyxdxd有限) 1(01)1 (222yyyxmdxdyxdxd连带的勒让德函数本征值) 1(ll第2页/共16页( (4) ) a=0，b=0，k( () )=，q( () )=m2/ /，

3、( () )=贝塞尔方程贝塞尔方程( (本征值问题参阅本征值问题参阅11章章详细讨论详细讨论) )( (5) ) a=- -，b=+，k( (x) )= ，q( (x) )=0，( (x) )= ( (即厄米特方程即厄米特方程 y- -2xy+y=0 ) )0)( )0(002yyyymddydd有限22 xxee2/2220 xxxeyxyedxdyedxd的增长不快于，第3页/共16页 ( (见见P409) )( (6) ) a=0，b=+，k( (x) )= ，q( (x) )=0，( (x) )= ( (即拉盖尔方程即拉盖尔方程 xy+( (1- -x) )y+y=0 ) ) ( (见

4、见P411) ) 注意：注意： 以上各例中，以上各例中，k( (x) )、q( (x) )和和( (x) )在区间在区间( (a，b) )(44xHn厄米特多项式的倍数为偶数但不是的倍数或为xxexe 2/)0(0 xxxeyxyyedxdyxedxd的增长不快于，有限，)(xLn拉盖尔多项式为整数第4页/共16页上都取正值；上都取正值；关于自然边界条件是否存在：关于自然边界条件是否存在：如端点如端点a或或b是是k( (x) )的一阶零点，在该端点就存在的一阶零点，在该端点就存在自然边界条件自然边界条件( (参阅参阅P214) )；如果端点变为如果端点变为，则要求未知解在，则要求未知解在x时有

5、界，时有界，或者趋向于与或者趋向于与x的有限次乘幂的同阶无穷小。的有限次乘幂的同阶无穷小。二、施图姆二、施图姆- -刘维尔本征值问题的性质：刘维尔本征值问题的性质：共同条件：共同条件： k( (x) )、q( (x) )、( (x) )0定理定理1：k( (x) )、k( (x) )、q( (x) )在在( (a，b) )上连续，且上连续，且最最 多以多以x=a，x=b为一阶极点，为一阶极点，则存在则存在无限多无限多 个本征值个本征值第5页/共16页 1234.n. 且且 n0 n=1，2.相应有相应有无限多个本征函数无限多个本征函数 y1( (x) )、y2( (x) )、y3( (x) )

6、、y4( (x) ).证明证明 n0 n=1，2.设：设：本征值本征值n对应的本征函数为对应的本征函数为yn，是方程的根。，是方程的根。 则则0)()()(nnnnyxyxqdxdyxkdxdbanbannbanndxyxqdxdxdyxkdxdydxyx22)()( )(第6页/共16页banbanbxnnaxnnbanbanbanndxyxqdxykykyykydxyxqdxdxdykyky2222)()()()()(0)( 022banbandxyxqdxdxdyk讨论：讨论：对第一、第二类边界条件：对第一、第二类边界条件：bxnnaxnnykyyky)()(0)(0)(0)(0)(by

7、byayaynnnn，第7页/共16页对第三类边界条件：对第三类边界条件：上式大于零上式大于零( (见见P216) )，因为第一项，因为第一项同理第二项同理第二项 得得 n0 0)( 0)( bxnnaxnnyhybxyhyax端，端，0)( )()(22axnaxnnnnaxnnykhyhkyyhykyky0)( )()(22bxnbxnnnnbxnnykhyhkyyhykyky第8页/共16页定理定理2：相应于不同本征值相应于不同本征值n的本征函数的本征函数yn( (x) )在在区间区间 a、b 上带权重正交，上带权重正交，即即证明：证明：两式分别乘以两式分别乘以yn、ym，相减，相减mn

8、dxxyxyxbanm 0)()()(0)(0)( nnnnmmmmyqyykdxdyqyykdxd0)()()(nmnmnmmnyyykdxdyykdxdy第9页/共16页逐项积分逐项积分讨论讨论( (证明同上证明同上) )：banmnmbamnnmbanmmndxyydxydxdykydxdykdxykdxdyykdxdy)( )()(此项为零此项为零0)( )()()()(banmnmaxnmmnbxnmmnbanmnmbanmmndxyyykyykyykyykydxyydxykyykydxd0)(bxnmmnykyyky0)(axnmmnykyyky第10页/共16页 又又定理定理3：

9、所有的本征函数所有的本征函数y1( (x) )、y2( (x) ).是是完备的完备的， 即若函数即若函数f( (x) )满足满足广义的狄里希利条件广义的狄里希利条件： ( (1) )具有连续一阶导数和逐段连续二阶导具有连续一阶导数和逐段连续二阶导 数；数； ( (2) )满足本征函数族满足本征函数族yn( (x)()(n=1、2、.) )所所 满足的边界条件，满足的边界条件，则必可展为则必可展为绝对绝对且且 一致收敛一致收敛的广义傅立叶级数的广义傅立叶级数1)()(nnnxyfxfnm0)()()( banmdxxyxyx第11页/共16页 fn称为广义傅立叶系数；称为广义傅立叶系数； 其中其

10、中模方模方证明：证明： 当当m=n时，时，正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要问题正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要问题bannndyfNf)()()(12banndyN22)()(1)()(nnnxyfxf1)()()()()()(nbamnbamdyffdyfbannndyfNf)()()(12第12页/共16页关于归一化问题：关于归一化问题：对对 yn ，当，当Nn1时，可时，可 yn/ /Nn 用作为新的本征用作为新的本征函数族，即归一化本征函数族。函数族，即归一化本征函数族。正交关系正交关系复数本征函数族复数本征函数族一般定义：一般定义：模：模：正交关系：正交关系：mnnmbanmNdxxxyxy2)()()(或mnmnmn 0 1bannndyyN)()()(20)()()(banmdyy第13页/共16页广义傅里叶级数及系数公式：广义傅里叶级数及系数公