lf噪声的分析与补偿

1、1/f噪声在很大程度上是由器件中的杂质和缺陷引起的，它们制约了半导体器 件在低频工作时的性能。理论上可以通过改进制造工艺来抑制。但是，受到成本、 现有制造水平等实际条件的限制，现在无法从制造工艺的角度对1/f噪声进行根 本性的抑制。因此，从信号处理角度对1/f噪声进行分析和补偿，是一种实用经 济的方案。本文首先利用多种方法验证1/f噪声的混沌性，其中包括计算1/f噪声的 lyapunov指数，重构1/f噪声的相空间以观察是否具有混沌吸引子，这些结果都 验证了 1/f噪声确实具有混沌性。然后，本文提出使用基于混沌理论的预测方法 对1/f噪声进行处理，取得了较好的效果，实验证明，在psnr<

2、0db时，仍然可 以有效地消除1/f噪声，显现出其中的信号。由于采集仪器没有采用降低白噪声的措施，采集的数据具有较强的白噪声， 为了在滤除白噪声的同时保留1/f噪声中具有的混沌信息，本文提出使用小波变 换的方法进行处理，取得了较好的效果。关键词：1/f噪声混沌预测 小波变换abstractl/f noise is mainly produced by the impurity and defect in devices. 1/f noise ha great influence on the low-band performance characteristic of semiconducto

3、r, lln theor; this kind of noise can be suppressed by improving the manufacture arts. but, l/f nois can not be totally suppressed only by this because the real condition such as cost an manufacture skill restricts it from this, it is economic and practical to compensate th l/f noise by the signal pr

4、ocessing methodin this article, we first use several kind of method to testify that l/f noise iunquestionable a kind of chaos. those method include calculate the lyapunov exponer of l/f noise, reconstruct the phase space to see whether it is chaos attracto匚 then w propose to process the l/f noise us

5、ing predict method bases on chaos theory. from th experiment, we can see that even when the psnrodb, the l/f noise can be quietec signal hides in l/f noise will emergebecause the data acquisition instrument does not take any method to quite the whit noise, those data acquired comprises strong intens

6、ity white noise. in order to filter th white noise but preserve the chaos information contained in l/f noise. we use th wavelet to process those data acquired and get a good result.keyword: l/f noise chaos predict wavelet创新性声明，本人声明所呈交的论文龛我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其

7、他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资璋有不实之处，本人承担一切相关责任。本人签名：瞬日期少,2关于论文使用授权的说明本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件.允许査阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许釆用影印、缩

8、印或其它复制手段保存论文。（保密的论 文在解密后遵守此规定）本学位论文属于保密，在_年解密后适用本授权书。本人签名：芥日期导师签名：乏龙丄日期第一章绪论§1.1引言电子系统的内部噪声是制约其性能、质量、可靠性的关键因素。在微弱信 检测、红外探测、高保真音响等技术领域，如何降低半导体器件的噪声是关键 技术。半导体器件中的噪声，按照物理机构的不同，可以分成热噪声、散粒噪声、g-图12半导体噪声的频谱特性噪声、和本文所要介绍的1/f噪声四大类。在中、高频率范围内，热噪声和 粒噪声的功率谱密度与频率无关，通称为白噪声。热噪声起源于晶体中载流子 随机热运动，它的大小只与电阻和溫度有关，即使器件

9、中没有电流和电压，也 样存在。热噪声和散粒噪声是由器件的基本工作原理决定的，从本质上看是不 彻底消除的。但是由于它们是一种快起伏白噪声，可以通过现有处理白噪声的 型方式进行处理，即使是简单的进行时间累积，也可以得到比较好的处理结果fl而且，由于这两种噪声都与温度有关，所以可以通过降低温度的方法进行低噪 化（这一点，在红外制导导弹的导引头中得到了应用）。流或外电压有关，一旦电流或电压消失，噪声也就不复存在。它们制约了半导勺 器件在低频工作时的性能。例如在光电导薄膜型红外探测器中，在1000hz左羊 仍然显著存在。为了定量说明这种影响，首先定义噪声等效功率: 定义一：（红外探测器的噪声等效功率）噪

10、声等效功率nep是指：投射的探测器响应平面上的红外辐射功率产生的r输出信号恰好等于探测器本身的均分根噪声电压时的辐射功率值。这个定义表明，噪声等效功率就是为使探测器产生输出信噪比为1所必须2射的红外辐射功率。可以证明，在低频工作时，红外探测器的噪声等效功率nep存在如下的关另.neps公式1. 1其中丁是系统的响应时间。1/f噪声在很大程度上是由器件中的杂质和缺陷引起的，理论上可以通过r进制造工艺来抑制。但是，受到成本、现有制造水平等实际条件的限制，现在刁法从制造工艺的角度对1/f噪声进行根本性的抑制。因此，从信号处理角度对1/噪声进行分析和补偿，是一种实用经济的方案。长期以来，1/f噪声都被

11、当作一种随机噪声进行处理，但由于它是一种低闪烁噪声，用传统的基于随机理论的处理方法，难以取得到十分满意的结果。i是利用wiener滤波器对信号进行滤波的结果,为了解其中的yule-walker ?可以看出？预测的结果是很差的，基本没有起到补偿的作用。利用传统的处理随机信号的方法无法对1/f噪声进行有效的处理，这就迫 我们寻找新的理论和新的处理手段，对1/f噪声进行分析和补偿。本文以现代 线性科学中的混沌理论为基础，验证了半导体器件、红外器件内的1/f噪声存; 有内在的确定性非线性动力学模型，通过本文的实验表明，利用这种非线性动. 模型对1/f噪声进行处理，可以得到较好的结果。§1.2

12、 1/f噪声的产生机理1/f噪声的基本特征表现为：在一个相当宽的频率范围内，1/f噪声的功率-密度与频率成反比。1/f噪声的上限频率依1/f噪声与白噪声融合的频率点而完 而下限频率在实际中己经测量达到了 lofdz。、从广义上来讲，凡是功率谱密度与频率成反比的涨落现象均可称为1/f噪声, 电子器件中的1/f噪声电压的功率谱密度可以写成如下形式：s严a卩i公式4.2其中，i为通过器件的电流，f为频率，a、0、尸都是由器件决定的参数, 由于噪声也存在此种关系,而且，g寸噪声也是由器件中的杂质和缺陷引起耶 所以，本文将噪声也算作一种广义的1/f噪声，下面提到的1/f噪声，都是?广义的1/f噪声。国内

13、外对半导体器件中1/f噪声的微观产生机理研究已进行多年，1925年' johnson在电子管中首次观察到1/f噪声；1926年，肖特基对其进行了詹释；19： 年，mcwhorter对错单晶丝中的1/f噪声进行了研究后，提出了表面载流子涨落； 型，认为1/f噪声是由于半导体导带和价带的载流子通过隧道贯穿与表面氧化丿 中的陷阱相互作用引起的；1969年，hooge提出了迁移率涨落模型来解释1/f i 声的生成原因，这个模型在很多场合都与实际的噪声性质相吻合讥虽然模型不同，但是，比较统一的认识是1/f噪声是由器件表面的氧化层陷i 和晶格错位所造成的。当器件制作完成后，其内部的杂质分布和工艺缺

14、陷）§1.3研究工作的概要1.3.1主要工作与成果本文对器件中的1/f噪声的产生机理进行了分析，发现了其中存在的混沌性,并通过各种方法，验证了这种假设。然后通过相空间重构技术，重构出相空间, 对1/f噪声进行补偿，取得了比校好的结果。当1/f噪声与白噪声共存时，由于白噪声是快起伏、随机的，它的存在会破丸 1/f噪声的混沌性，通过分析可以发现，小波理论与1/f噪声在模型上有一定的刑 似性，用于分离1/f噪声和白噪声是非常合适的。因此，我们把小波理论用于u 噪声与白噪声的分离，实验证明，这种方法是非常有效的。1.3.2章节安排=1第一章为绪论，简单介绍1/f噪声的概念和产生机理，根据产生

15、机理，我们夕 析并提出了猜想：1/f噪声是一种混沌信号。第二章介绍混沌理论在1/f信号处迅 中的应用，引入了混沌的概念，介绍了混沌性检验方法，并将这种方法用于l噪声，从而说明1/f噪声确实是一种混沌信号，最后介绍了利用混沌理论对1/f哮 声进行补偿的方法。第三章介绍了基于小波的1/f信号滤噪方法混沌理论在1/f韦 号处理中的应用。根据小波理论介绍了小波理论，推导出利用小波理论分离h 噪声和白噪声的理论依据，并从硬件实现的角度讨论了算法的可行性。第二章 混沌理论在4/f信号处理中的应用§2.1混沌的基本理论2.1.1混沌研究的历史混沌(chaos)是一种貌似无规则的运动，它存在于确定性

16、非线性系统中，不附加任何随机因素就可以出现类似随机的行为。混沌系统的最大特点就在于系 的演化对初始条件十分敏感。人们开始涉足混沌研究的领域，可以追溯到19世纪末，法国数学家h.poinca 在研究利用数学证明太阳系的稳定性问题时发现，所采用的决定论方程式，即 缩小到三体运动的模型也找不到稳定模式，或者说，决定论方程本应产生明显 随机结果，但实际结果却总是处于混乱状态。后来他发表了文章"determinisnon-periodic flow»,首次指出，在三阶自治非线性系统中可能出现混乱解。混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术出现和普: 应用基础上发展起来

17、的新型交叉学科。在1963年由美国气象学家lorenz.e.n : 数值实验发现国，在确定性系统中有时会出现类似随机的行为，他釆用了简化: 体对流模型一lownz方程，虽然是一个完全确定的三阶常微分方程，却得到了: 舌l的解。lorenz方程如下：公式2.1z xy-bz中，当cr=16,尸=45.92, 6=4,微分方程会出现混沌解。取出微分方程的x 量形成一组时间序列x(f),构造向量k(r) = x(r), x(t +1), x(r + 2),绘制三维 象，可得如图2.1的轨线。可以看出，图象的轨道具有很强的自相似性，而且 即使是非常相邻的轨道，在一段时间后也迅速地分离。研究标志着混沌学

18、的正式诞生。混沌现象非常普遍,几乎可以说，自然界存在的绝大部分运动都是混沌运冈。下面是一些自然界存在的混沌的例子 小行星带与流星小行星带存在间隙，称为kirkwood,它是由于木星对与它有简单有理数周 比的小行星有强的扰动作用。长期的扰动使小行星作混沌运动，使小行星的轨 与地球轨道相交，从而使kirkwood间隙中丢失的小行星称为地球上的流星。地磁场的反向运动:kt地磁资料表明，地球的磁场不断地改换极性，而且每种极性维持的时间间 是无规则的。人们认为，这是由子地球内部物质与电荷的经向与纬向的两种运耦合产生的。经向运动产生纬向磁场，纬向运动产生经向磁场，两个方向的运 及两个方向的磁场相互作用产生

19、混沌运动，可以用下面简单的方程组来模拟这作用:d®”dtmwnm,n = l,2 公式 2.2van der pol提出了 bvp方程来描述这种振荡【刃：公式23y = c(x + ° by)这个方程具有极大的非线性，通过研究发现，当将实际条件抽象成参数带入方 是，可以看到，方程恰好具有混沌解。上述例子说明，混沌现象是广泛存在的，大到天体运动、地质变迁；小到子运动、化学反应；从自然现象到社会现象，都存在有混沌。2.1.2混沌的定义和性质2.121非线性动力学基础知识动力学研究的是系统如何随时间变化的规律。系统的性质或特征是由一些态变量所表征的，动力学就是要研究这些状态变量随

20、时间变化的规律。动力系 有两个元素，一是系统所有状态的集合，称为相空间，二是状态随时间变化的 律。庞卡莱给出了动力系统的定义: 定义二：（动力系统）如果映射满足以下两个条件: （0, x） = x v x e 2?" e（r + $,兀）=卩（,x） vt,sg rn 则称映射卩为it中的动力系统，或流。 对于映射，我们有如下定义，定义三：（同胚）设映射f ： i t j ,如果/（x）是一对一的、满的、连续的，且厂（x）也连续 则函数/（x）是一个同胚。动力学理论的基本目的是了解叠代方程的最终或渐近态，对应于函数的各状态，有如下定义:2.122混沌的定义混沌的定义是伴随着混沌研究的

21、发展而逐步完善的，通过对大量混沌现參 研究，人们把某些确定性非线性系统中，不需要任何附加的随机因素，由于舆 统内部存在着非线性的相互作用所产生的类随机现象称为“混沌s这里给出混沌的定义: 定义五：设卩是一个度量空间，映射若满足下列三个条件，便新在/上是混沌的:1、初值敏感依赖：35>0,v>0以及任意的xgk ,在兀的£邻域内存石和自然数算，使得dfn (x), f (y) > s 02、拓扑传递性：对孑上任意一对开集x, k,存在k>0,使得厂(x)cfh3、f的周期点集在卩中稠密。对初值敏感依赖性，意味着无论工和y离得多么近，在/的作用下两者於 道都可能分

22、开较大的距离，而且在每个点工的附近都可以找到离它很近但在j 作用下终于分离的点y,对于这样的/,任何微小的初始误差，经过数次迭屮 都导致计算结果的失效。为了验证这一点，选取虫口模型进行验证。虫口模茸 一个简单的生态学模型，它描述了昆虫数目随时间变换的规律。设某种昆虫，第舁年的数量为£,每只成虫可以产。个卵。同时由于虫孑斗而产生减员，由于虫子咬斗都是发生在两个虫子之间的，所以发生的虫子e的事件总数为当xw»l时，近似为舟分，设虫子咬斗的死亡系娄26,则第幵+ 1年的虫子总数为：当"拆+1时，系统出现混沌。取a=4, &=10,当初始点斗分别为0和0. 时，函

23、数值随叠代次数的变化如图2.2所示。近周期轨道。2.1.23混沌的性质混沌运动最重要的特点突出表现在它在相空间轨线的收缩区域（吸引子） 不同于通常的规则运动。可以从三个方面刻划这种运动：奇异吸引子、分维 lyapunov指数。lyapunov指数将在后面的章节进行详细的讨论，这里只讨论 异吸引子和分维。混沌定义的前两条性质表现了一定的随机性，但第三条一周期点集的稠密电却又表明系统具有很强的确定性和规律性，绝非混乱，形似紊乱实则有序。而 述这种有序最直观的方法就是奇异吸引子。保守系统在相空间运动过程中，始终保持能量或者说，相体积不变。对于 散系统，当有阻尼时，其相体积要逐渐收缩，即n维相空间的轨

24、线都要收缩的 维面（丘“）上，至于收缩的方式和程度与系统的性质有关。有些收缩至一个 动点，其维数为0；有些收缩的闭曲线上，其维数为1；有些收缩的环面上。 们称这些时间足够长后系统在相空间所收缩的有限区域为吸引子。下面给出吸 子的定义： 定义六：（吸引子） 设x是映射rnrn的非空不变集(若集合x满足/(x戸x*,称x-r丄一 ed k-卄 n厂 ” ” sv -ttrr / -ri i r -a /j- - * 厶kf t i柿=1+今”一此公式2.5当a=0.3, b=1.3时，利用计算机计算此函数可以看到，在一定区域内的任意初值，都将收敛于下列周期为7的解:-1.031-> 0.01

25、4 t 0.69 -> 0.376 t 1.023 t -0.248 t 1.227 f j .031此时可以说，系统的吸引子有7个元素，它们分别是上述的7个值。但是，混沌运动的吸引子与此完全不同。对于一个混沌动力系统，初始僅的微小差别可以导致运动轨道的迥然不同。这表明虽然耗散作用从整体上说虎 种稳定因素，它使轨道收缩；但从局部看，这时的相邻轨道却又具有相互排戶 分离的作用。于是对于耗散系统的混沌运动，存在着看似相反的两个过程：一方面耗葡 用要使轨道收缩；另一方面，轨道又要相互分离。由于收缩是由方程自身决戻（存在耗散项），对于相空间整体而言，它要使远处的轨道趋向于有限范围（ 引子）；但同

26、时，在局部又存在发散，使已靠近的轨道要相互排斥而分开。这; 就使所有轨道集中在相空间的有限范围内，靠拢又分开，分开后折叠.靠拢, 成了复杂的混沌。因此，混沌运动的吸引子才比如具有复杂的无穷层次的自右 结构。通过分析，我们发现，混沌的吸引子与普通的吸引子之间有如下的重大区扌h从整体上看，系统是稳定的，吸引子外的一切运动都要收缩的吸引子 .但从局部看，吸引子内部的送动又是不稳定的，相邻的运动轨道要相互排斥, 终按指数型分离。2、吸引子不是添满某一区域，而是具有许多空洞，除了较大的空洞外，3 不同层次的空隙，使得吸引子具有无穷层次的自相似结构。3、与稳定的周期点不同，混沌的吸引子不断分开和折叠，使其

27、上的运动地依赖初始条件。体。例如如图2的lorenz吸引子形成的几何体，它是三维平面上的结构，我们 然不能说它们是二维的，因为它已不是一个平面，但也不能认为它是三维的， 为通常的三维几何体（球、柱、锥）都是三维平面上的连续实体。1919年数学 hausdorf把维数推广到不限于整数，就可以定量地表征奇异吸引子的自相似结申 具有分数维也是混沌的重要特征，分数维的计算在混沌运动分析中起着重要的ppi具体的计算和讨论我们在后面的章节将涉及到。由上述理论可知，一方面，由于混沌系统对初值的敏感性，加上计算机计时不可避免的误差，使得长期地预测混沌系统的行为变得不可能。但是从另一面看，由于混沌运动是由确定性

28、系统产生的，遵循确定性的规律奇异吸引子存;高度的自相似性，貌似复杂的系统可能遵循简单的规律，使得混沌系统的短期 测变得可能。在利用混沌理论进行信号处理之前，为防止处理手段与模型不匹配，我们先要找到一种标准，来区分信号是否是混沌的。§ 2.2 1/f信号混沌性的判别根据上述关于混沌性特征的描述，导出了多种判别混沌性的思路。思路一：根据奇异吸引子与平凡吸引子的区别之2、4,可以发现，在空间!构上，奇异吸引子具有特殊的形态，它具有无穷层次的自相似性。通过观察系!的运动轨线的形状，来判定是否是奇异吸引子，从而判定系统是否混沌。思路二;，根据奇异吸引子与平凡吸引子的区别之1,可以发现，混沌系统

29、i 轨道呈指数性分离，或者说，轨道的距离随时间变化的函数是指数函数，这个! 数，就称之为lyapunov指数。在多维混沌系统中，由于lyapunov指数是针对: 统的运动轨道而言的，所以空间中每一个分量都对应一个lyapunov指数，但: 由于轨道是分离的，所以至少有一个lyapunov指数是正的。因此，存在正i lyapunov指数的系统，就是混沌系统 2.2.1利用相空间重构判别混沌性一般地，我们采集到的1/f噪声信号都是一个时间序列，为此证实信号的混;包含的系统的全部状态变量的信息，就要将其扩展到高维空间，该高维空间称由时间序列重构岀的混沌系统相空间。【91根据takens的理论，假设混

30、沌系统奇异吸引子的分数维为d,若要完整 描述混沌系统状态变化轨迹地形态，可以清楚的看出吸引子轨道的形状，嵌入 空间的维数加应大于2d。在这种条件下，在重建的相空间中，奇异吸引子的轨 没有伪邻近点（轨迹在低嵌入维数下形成的投影焦点）。从单变量时间空间中重构奇异吸引子相空间，可以釆取时间差法，它的 本思想是：系统中的任一分量的演化都是由与之相互作用着的其他分量决定的 因此这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中，为了重构一个“等彳 的状态空间，只需考察一个分量,并将它在某些固定的时间延迟点上的测量作 新维处理，就可以保存许多吸引子的性质。时间差法其中包含三个步骤:算法1：（时间差法重构相空间

31、）stepl利用互信息爛计算延迟时间i； step2利用关联维数来计算计算嵌入维数加；step2按间隔1从时间序列构成奇异吸引子的轨迹向量：儿二（厂，x;+r 旺+（x）r）；、2.2.l1延迟时间的计算延迟时间的选择标准处在一个矛盾中：r必须足够大，使得原动力系统的 有自由变量都有机会影响到向量儿，否则每个坐标的相关性过强，轨迹向同一 向挤压，无法解读出包含的信息。或者说很小时，儿的每一个分量不能保证 供新的关于动力系统的信息，重构结果不能代表动力系统的全貌；r也不能过: 否则，连续两点在动力系统特性将不连续，重构的向量变成了随机向量序列， 就无法反映动力系统的特性。因此，j的选择只能是一个

32、折衷的方案，程序中 们釆用计算互信息爛的方法来计算十o«) = e px(f + i c, x(f + 斤 + c log 2公式2.7px(t 4-zr), x(z + /r + r)p(x(/+/ r)px( + / r + r)统计x(t) 的分布区间a, b延迟时间为i一般地，选取/(<)的第一个最小值点作为延迟时间。将区间a, b 划分成k个等宽 的子区间统计k个子区间 中x(t)的个 数，求出近似 分布概率将区域 at b x a, b 划分成kxk个子区域计算时间，还会使邻近点被错误地排除掉。在没有任何先验知识的情况下，本 中我们采取利用多种方法进行计算来保证结果

33、的正确性。方法一：利用关联维数计算嵌入维数当已知了延迟时间t以后，可以利用计相空间向量的关联积分来计算嵌入 数，相空间轨迹向量的关联积分c(尸)的定义为：2n n灾)=市二 i 1?(-必-兀|)公式28其中：t,严n_(t是由长度为n的时间序列所能构成的n维相空间中向的个数；r为判定距离是否相邻的距离门限值；|匡-£为向量与尢的距卡 &(x)为 heaviside 函数:0(x) =0 (x<0) , &(x) =1(x10)。若d为时间序列的关联维数，对于给定的距离门限c(r)=rd,即: djg2(%尸公式2.9增大相空间的维数n,若时间序列有分数维的奇异

34、吸引子存在，随着n的、大，关联维数的d也应增大，且增加率逐步减少。当n增大到一定程度时，d 始趋于饱和值q就是时间序列奇异吸引子的关联维数，获得q的最小n, 是所需的嵌入维数m。方法二：利用盒维数来计算嵌入维数我们知道，测量一个维数为<7的物体的大小所得的数值m与测量所有的长 单位有关，此关系可表示为：例如，如图6,为了覆盖长度为1的一维曲线，需要m(£)=4个单元，为了? £盖面积为1的二维面，需要m(£)=g个单元，如图7。就被称为盒维数，； 沌吸引子的盒维数表征了混沌吸引子在几何上的粗糙程度。定义七:(盒维数)设a是卍空间上的任意非空的有界子集，对于每

35、一个£>o, n(am表示丿e -inssmg为a的盒维数.来覆盖a的半径为£的最小闭球数，如果极限："jn叩辺存在，则;d= un5 -ln£轴描出点-ins维数。设：为了计算一个时间序列工(f)的盒维数，可以构成若干长度为£的小段，然后 算$不同时与班/)相交的个数n(x(r),£),然后以-111£为横轴，lnn(x(f),£)为: innxte),然后利用最小二乘法，来估计时间序列兀的=y ,无穴丄工比，则b的估计值为: n幷£ （兀-可（只-刃/ £（旺-汙$= _: 公式211

36、a=y-bxx具体算法为：算法2：(盒维数的计算方法)stepl确定用于覆盖时间序列x(f)的线段£长度，确定最小二乘的拟和长度step2用e来覆盖x(f),计算所需的小段数n(x(r)，£),将innx(ts)的值存入 组 box dim 中。step3改变线段£的长度，返回第二步，重复l次；ftf 八.当嵌入维数过低时，吸引子的轨道由于投影而产生重叠，在重叠点上，无法禾 现有的知识预测轨道的走向，此时，任何预测方法都将变得无能为力。但是，去除伪邻近点的方法很简单：只需简单增大相空间维数，看原来 近点的点对是否还是邻近的。这是由于，随着嵌入维数的增大，由于投影产

37、勺 轨道重叠也将减少，当相空间维数增大到一定限度时，所有的轨道都不重叠， 时的伪邻近点也就消失了。所以，可以利用消除伪邻近点的方法计算嵌入维娄 当彻底消除了伪邻近点时，此时的相空间维数就是嵌入维数叭假定嵌入维数为d,而延迟时间为一则重构向量儿=x”, xw+r，£+（妇）的邻近点zm=xm, x”，陥（妇）。设儿与之间朋离为:r（d）=工 |x«+（i-i）r公式 2.13若昭+1）比r（d）大很多，说明儿与z,是伪邻近点。进行计算时，首先迪样本域以及需要寻找邻近点的观察域，然后根据实验，确定门限值g设对寸-陥），认为当max dist = max（lx一qi<d 丨

38、max_ dist < gx 公式 2.14儿与召是邻近点，为了判定是否是伪邻近点，需要确定另一个门限值g2,兰max dist>g2 公式2j5点等于零作为判定是否到达嵌入维数的条件。但是，当相空间维数大于嵌入维娄 时，这些点被错误地嵌入到相空间中，由于这些点的特殊性，它们大多孤立地石 在于相空间中，被称为孤点。随着d的增大，所以在记录伪邻近点的个数的同时，还应注意观察域的点克否都能在样本域找到邻近点，也就是说，孤点越少越好，要在满足以上之间折宏 考虑。具体算法如下： 算法3 （利用伪邻近点计算嵌入维数）stepl:确定观察域、样本域的范围，设定门限值g； step2:设置嵌入维

39、数d,根据公式2.14> 2.15判定伪邻近点、孤点，并记环个数，重复若干次;step3:从得出的数据中选择合适的d作为嵌入维数;对于henonl4.dat,当设置观察域为从点2000至点4000,样本域为从点5000至6000, $"刃兀（%（2 =0.3时: d=2, fhn/mn=103%,孤点数=0； d=3, fon/mn=5.11%,孤点数=0；kd=4, fhn/rnn=2.61%,孤点数=62；d=5, fhn/mn=l53%» 孤点数$95： 根据以上数据，取d士3。221.3重构相空间判别混沌性的结果综合上述实验，确定数据data2（henon吸引

40、子）的嵌入维数为3,延迟时间为1,利用此数据重构出henon吸引子的相空间如图2.6。类似地，计算数据datal（lorenz吸引子）的嵌入维数为4,延迟时间为1。利斤利用上述算法对实际数据进行处理，可以得到如下结果。对于数据data3,计算可得嵌入维数为m=4,延迟时间t=1,利用重构向量儿=（x 厂”，厂心）的前3维进行绘图，可得如图2.8i对于数据data4,计算可得嵌入维数为m=4,延迟时间t=1,利用重构向量儿=（兀 x" 勺+3）的前3维进行绘图，可得如图2.9。对于数据data4,计算可得嵌入维数为m=5,延迟时间t =2,利用重构向量儿=（兀 x冲，勺心）的前3维进行

41、绘图，可得如图2.10。通过观察可以发现，它们都具有比较标准的自无穷层次的自相似性。由此们可以判定，半导体器件中的1/f噪声,图27：重构出的1 orenz吸引子«104以及红外器件中的1/f噪声，它们都是”,222利用lyapunov指数来验证混沌性2.221 lyapunov指数的定义和意义考虑一个线性微分方程:dxl公式x =，它是以指数规律增长的。设有初始时刻相邻的两条轨道，当c其解为时，它们的距离在下一时刻以指数旷分离；当avo时，距离按指数严减小；- °=0时，距离永远保持不变。在耗散的非线性系统中，状态变量兀不可能趋于无穷，只有在给定状态附j 实行线性化，才能

42、使局部存在类似式2.16的关系。一般的，x是矢量，°是雅1 比矩阵，且与给定的线性化点有关。该矩阵的特征值决定了相邻点的伸长和压经 其速率可能在相空间各点处不同，只有对运动轨道各点的伸长和压缩速率进行- 期平均，才能刻划动力系统的整体效果，这就是lyapunov指数的概念。lyapunov指数是定量表征混沌最主要的参数°从信息论的观点看，信息就;对事件不确定性的消除。例如将区间0,1划分成n个相等的子区间，设心是初： 条件，这一事件以等概率p严丄出现在区间0,1内，此时测量心的信息量为：m31!微小差异看出一种信息的话，随着时间的推移，信息迅速的流失，很短的时间 就看不出两

43、个状态有任何的相关性。这样，系统就表现岀初值敏感性，也就贞 混沌性。例如分段线性映射：.:°；入皿公式“2(1 -xn) 0.5 <xn < 1图2,11显示了 x经映射后信息的变化，ar是兀轴的间隔，经映射后变成y轴於隔v。由于斜率骨>1，所以av>ax,概率增加一倍，引起分辨率下降，故提住信息变少，这就是信息量的损失。其一次叠代后信息的变化为：a/ /0 = yin + vin =ln2 =in台巾 nndydx可以看出，信息损失的速率与函数的导数有关。为映射 r 的 lyapunov 指数，其中 f e c'a,/?,2.222 维系统的lyap

44、unov指数设一维系统的非线性微分方程为:£+i = /（£）公式 2. 21由于一维映射下只有一个拉伸或折叠的方向，对上式给以扰动，在初值心处得-阶近似式为= |/（o +） - /（x。）卜 a 矶 公式 2. 22其中，a=dx,n次叠代后，两点之间的距离变成:观=|/5)(心 +- 严)(x0 )| 二妙:® &。公式 2. 23用一个常数/来表示每迭代一次两点距离被拉伸的倍数，则可以近似地得到:&cn = exn &c.公式 2. 24公式2.24说明这两点要以指数分离，这就是对初始条件敏感。式中ze称肓 lyapunov指数。由

45、此可以推出，一维映射的lyapunov指数的定义式：护妝）n 3kq ndx公式2.25可以看出,le代表了相邻点之间距离的平均辐射率。利用复合函数的求导法则le =-lnn伫1 m口八兀)=丄»|八兀)|公式226(=0为了求出确切的规律，需要对系统进行长时间的观察，即:公式 2 27(-0i维映射只有一个lyapunov指数，它可能大于、等于、小于0。当生<1 dx根据公式2.27可以看出此时有le<0t此时任何两点经多次叠代后，相互的距都趋向收敛于0,所以无论起点在哪里，经过多次叠代，趋于一个稳定值称为不动点；当dx=1时，le=0,函数/(x)从某次叠代开始，进入

46、有限个:字的无穷重复状态；当|务|>1时，le>0,无论起始点多么靠近，经过多次叠,后，相互距离都被无限地放大，也就是说，此时的£+1对初值十分敏感。由于数定义域中的点都相互“排斥”，所以，无论初始点选择在哪里，在“排斥” 作用下，它将密布整个函数定义域。此时，函数出现混沌现象。例如虫口模型：兀讪=1一 “x： a (0,2, x e -1,1当“=0.5时，璽不论初值差异多大，最终都趋于一个定值0.73205, dxdf两点之间看不出任何联系。而且，由于此时函数具有排斥的作用，所以无论起,在哪里，经多次叠代，函数轨迹密布整个函数的定义域，各次叠代的函数值如i图2.12：

47、抛物线映射的不动点图2.13：抛物线映射的周期点mfrftmi ibma 2.14：抛物线映射的混沌2.14所示。2.223多维系统的lyapunov指数对于多维系统，（1）式中的x、/分别为:f =公式2.29其中，农是维数，而公式2.22中的雅可比矩阵a可以表示为:公式2. 31若初始点=（兀°,，£）7的偏差为&° =（时，,由初始点出发,口 公式2.30得到逐次叠代点为:（x；,x；,（斗,（彳用,#）厂前（ml）个雅克比矩阵为：4）=心，球，£）, £ = /（x；,x；,x：）, &=a（x1,xj，疔）且有：=an

48、- x=x a-2 x凡丹"2 ax21加丿=-1 x n-2 xx&公式2. 32若设矩阵:ze, = - ln|入 i n公式2. 33len =丄1啪”|这n个数被称为lyapunov谱。对于n维动力系统,穿"（和f7）s at公式2 34二九(兀1，兀2,百)双0 =(曲,兀2，£)是一个n维状态变量,构成了一个n维的相空间。f是一个n维非线性向量，(11)式的解由班0)出发在相空间形成一条轨道班0。若初始值双0)有一个偏差炉(0),则由班0) + "(0)出发形成了一条轨道。用炉(/)表示f时刻两条轨道的偏差，将必(0,心1,2,5所构

49、成酬间称为切空间，0(f)为切空间中的向量。具体的图形如图2.15。btl若比足够小，则偏差炉的增长率应满足下列线性微分方程:wj=jwi 21,2,，n 公式 2. 35其中，7是系统(11)的雅克比矩阵。若初始时刻叭(0)的长度为阿(0)|，则汁 刻后见的长度为|叫(f)|。根据雅克比矩阵丿的特征值可以求出某个确定时刻e 量长度在该特征方向上的指数变化率。le,iim - inimi阿公式2. 36在n维切空间中，由于lyapunov指数是针对系统的运动轨道而言的，所以切兰间中的每一个分量都有一个对应的lyapunov指数。上述只是考虑了轨道间的“长度”辐射率。为考虑轨道间的“面积”辐射率

50、设初始值x(0)有两个偏差 (0)和(0)，则从班0) + w (0)和x(0) + w2 (0)岀)形成两条轨道x(f) +硏(f)和环)+忆(/)，对每一条轨道有:炉&)=子叭闿(0)公式2. 37将&=%(/)护2(°定义为“面积”，则由上式可得:a(t) = /(0) x e®*皿 公式 2. 38于是有:4(0)为了得到系统的稳态性质，需要对系统进行长时间的平均:lel + le2+颯一阻弘忌公式2 4。由于系统(11)的相空间体积随时间变化率或向量场的散度就是雅克比矩f</的迹，所以有:出十fj吨詈公式2. 41其中，7；是雅克比矩阵丿的迹

51、。上式对积分可得:in tj (f)dr公式2.42比较公式2.42与公式2.40,可得：le1 + le2 + + ze” = * f trj(tdt222.4 lyapunov指数的计算设实际系统为式2.34,釆样所得到的信号为$(幵)，$(町是对系统的状态向j兀(。=(旺，兀2,x”)的一个观测釆样，并有:s(«) = g(xj (f), x2 (r),心(0)公式 2. 43g()表示某种映射关系。具有正指数的分量将在由于得到的信号都是各维向量叠加的结果，所以，即使系统只在某一维上:有正的lyapunov指数，设为厶那么经过数次叠代, 测结果s(n)中占据主导地位。因此，根据

52、重构相空间中函数的轨道是否呈指数: 离，就可以判定系统是否存在正的lyapunov指数。为了计算lyapunov指数，首先进行相空间的重构，根据2.2.1中提到的相? i.亠一r m j. i. / a. ul/f . “ir »t m i和范数心=工帆-s小于一个阈值时，就认为&和s,是相邻的。经过时间加的演化，开始的邻近点分别运动到了 s肋和“，此时，向章距离变成此=|sj+加-sj仙,根据lyapunov指数的定义式，in车=c, c是常数。在定义式中，需要对系统进行无限长时间的观测来确定lyapu】 指数。在实现时，我们釆用最小二乘拟和的方法求出斜率lyapunov指

53、数描述的是整个系统的特性，因此，需要对多条轨道进行观狈 取得厶e的平均值。为此，应选取n个初始点。根据上述讨论，可以得到计算lyapunov指数的算法“ 算法4：时间序列lyapunov指数的计算方法stepl:根据信号重构相空间，在重构后的相空间以和范数为标准，选取n邻近点对（ss7）定义n个邻近点对的平均距离为:必=扌刃&-sjstep2:经过间隔皿，邻近点对兀、巧分别演化至和朋、xy+m ,此时的平於 离为：记录间隔m =1, 2m时邻近点对的平均距离变化。step3:用最小二乘法计算s车随斯变化的曲线斜率k。4step4:设采样时间为由于实际的实际间隔为，2事，lyapunov

54、指数a =k/lt o当2为正数时，原信号必为混沌信号。间t=1,嵌入维数m=4。利用算法设计4计算轨迹向量的in如随m变化的曲结4如图2.17。可以看出，当间隔m增大到一定程度时，由于此时的轨道已经极大雄图2. 5： datal的lyapounov指数计算2.4： data2 的 lyapounov 指数计算分离，轨迹向量x叶、初已经可以看成是不相关的，可以近似看成是随机向量所以平均距离孟与m是无关的。反映在曲线上，就是趋于一个饱和值。此时利芹 最小二乘法拟合计算非饱和部分的斜率，可得k=0. 3804,由于采样时间心=1,所以lyapounov指数几=k/& =03804,真实值为

55、0.412。对于随机序列，虽然也可以通过相空间重构的算法计算出嵌入维数和延迟毎间，例如数据data8,通过计算得到延迟时间i=78,嵌入维数m=4,但是利用箏 法4计算得到的轨迹向量的in车随m变化的曲线如图218。可以看出，由于疥«0随机序列，无论m为何值，轨迹向量s-和s*都是不相关的，所以平均距関 加与m是无关的。反映在曲线上，就是趋于一个饱和值，所以lyapounov指数= k/3=0。在m二78时，间隔m恰好延迟时间仇由于相空间是延迟重构的，出时的轨迹向量兀打、那与邻近点对驻、厂只相差一个分量，所以必然出现一彳2. 6： data8 的 lyapounov 指数计算11 别

56、 i i i 人 ' i i ，一皿皿0 lo2o3o4osd0nieq9dtqq图2.7： data3的lyapounov指数计算随m变化的曲线如图2.19。斥嵌入维数m-4o利用算法4计算轨迹向量的in纟d0最小二乘法拟合可以得到斜率&0.2177,由于釆样时间a/=0. 01 ,所以lyapouno指数 2 =k/af =21.77因此，半导体器件产生的1/f噪声是一种确的性系统产生的混沌信号。相同地，对于实际的半导体1/f噪声信号date4,利用相空间重构技术，可卑延迟时间t=l,嵌入维数m=4o利用算法4计算轨迹向量的in丰随m变化的w«0线如图2.20o用最小二乘法拟合可以得到斜率k-03213,由于采样