(整理)§33解对初值的连续性和可微性定理.

1、精品文档精品文档3.3 解对初值的连续性和可微性定理dy f(x,y)在初值问题dx中我们都是把初值(x0, y0 ) 看成是固定的数值，然后再去讨论方程y0 y(x0 )dyf (x,y) 经过点(x0, y0)的解. 但是假如(x0,y0) 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是dx说初值问题的解不仅依赖于自变量x , 还依赖于初值(x0, y0) . 例如： f (x, y) y 时 , 方程y'y的解是 ycex, 将初始条件y(x0)y0带入, 可得 yy0exx0. 很显然它是自变量x和初始条件(x0, y0)的dy f(x, y)函数 . 因此将对初值问题dx的解记为

2、y (x, x0, y0), 它满足y0(x0,x0, y0) .y0y(x0 )当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程 (3.1) 满足初始条件y(x0)y0的解是唯一的, 记为 y(x, x0 , y0) , 则在此关系式中,(x, y)与 (x0, y0) 可以调换其相对位置. 即在解的存在范围内成立关系式y0(x0, x, y)证 明 在 方 程 (3.1) 满 足 初 始 条 件y(x0)y0 的 解 的 存 在 区 间 内 任 取 一 点x1 , 显 然y1( x1, x0,

3、 y0,)则由解的唯一性知, 过点(x1,y1) 的解与过点(x0, y0) 的解是同一条积分曲线, 即此解也可写为y(x, x1, y1)并且 , 有y0(x0,x1, y1) . 又由(x1, y1)是积分曲线上的任一点, 因此关系式y0(x0,x, y) 对该积分曲线上的任意点均成立.2 、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当(x0, y0)变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来

4、看一个引理：引理 ：如果函数f (x, y) 于某域 D 内连续，且关于y 满足 Lipschtiz 条件( Lipschtiz 常数为 L ) ，则对方程(3.1 )的任意两个解(x) 及 (x) ，在它们公共存在的区间内成立着不等式| (x)(x)| | (x0)(x0)|eL|x x0|( 3.17)其中x0为所考虑区域内的某一值.证明 设 (x) ,(x) 于区间 a x b 上均有定义, 令2V(x) (x)(x)2,a x b则V (x)2 (x)(x) f(x,)f (x,)于是 V (x) |V (x) |2 | (x)(x) | f (x,)f(x,) |2LV(x)V (x

5、)e 2Lx 2LV(x)e 2Lx 0从而d (V(x)e 2Lx) 0dx所以 , 对x0 a, b , 有V(x) V(x0)e2L(x x0),x0 x b对于区间a x x0 , 令 x t , 并记x0 t0 , 则方程(3.1) 变为dy f( t,y) dx而且已知它有解y ( t) 和 y ( t) .类似可得 V(x) V(x0)e2L(x0 x),a x x0因此 ,V(x) V(x0)e2L|x x0|,a x b,a x0 b两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设 f (x, y) 在区域 G 内连续，且关于

6、y 满足局部李普希兹条件，如果(x0 , y0 ) G ，初值问题dy f(x, y)dx有解 y(x, x0, y0) ，它于区间a x b上有定义( a x0 b ), 则对任意0 ，y0y(x0 )( ,a,b) 0 ， 使 得 当(x0x0)2(y0y0)22时, 方 程 (3.1) 满 足 条 件y(x0)y0 的解y(x, x0, y0) 在区间a x b上也有定义，并且有(x, x0, y0)(x, x0, y0), a x b .证明 记积分曲线段S: y(x,x0, y0)(x),a x b是 xy平面上一个有界闭集.第一步 : 找区域 D , 使 S D , 而且 f (x

7、, y) 在 D 上关于y满足Lipschitz 条件 .由已知条件, 对 (x, y) S , 存在以它为中心的开圆C, C G , 使 f(x,y) 在其内关于y满足Lipschitz 条件 . 因此 , 根据有限覆盖定理, 可以找到有限个具有这种性质的圆Ci (i 1,2, N)( 不同的NCi , 其半径 ri 和 Lipschitz 常数Li 的大小可能不同), 它们的全体覆盖了整个积分曲线段S,令 GCi,i1则 S G G , 对 0, 记 d( G, S), min( ,2),L max(L1, LN), 则以 S上的点为中心 , 以 为半径的圆的全体及其边界构成包含S 的有界

8、闭域D G G , 且 f (x, y) 在 D 上关于 y 满足 Lipschitz 条件 , Lipschitz 常数为 L .第 二 步 : 证 明( ,a b, )0 (， 使 得 当(x0x02)(y0y02)2时, 解y (x)(x,x0, y0 ) 在区间a x b 上也有定义.由于 D 是一个有界闭域, 且 f (x, y) 在其内关于y满足 Lipschitz 条件 ,由解的延拓定理可知, 解y (x)(x,x0, y0) 必 能 延 拓 到 区 域 D 的 边 界 上 . 设 它 在 D 的 边 界 上 的 点 为 (c, (c ) )和(d, (d) , c d , 这时

9、必有c a,d b . 否则设 c a,d b , 由引理有| (x)(x)| | (x0)(x0)|eL|x x0|,c x d1利用 (x) 的连续性, 对 1 e , 必有 20存在 , 使当 | x x0 |2 时有 | (x)(x0) |1 ,2取 min( 1, 2) , 则当(x0 x0)2 (y0 y0)22时就有| (x)(x)|2 | (x0)(x0)|2e2L|x x0|12(| (x0)(x0)| | (x0)(x0)|)2e2L|xx0|2(| (x0)(x0)|2| (x0)(x0)|2)e2L|x x0|(3.18)2(22 2L(b a)12 | y0 y0 |

10、2 )e2L(b a)4 12e2L(b a) 2 (c x d)于是对一切x c, d,| (x)(x) | 成立 , 特别地有| (c)(c)|, | (d)(d)|即点 (c, (c) 和 (d, (d) 均落在域D 的内部 , 这与假设矛盾, 故解 y (x) 在区间 a,b 上有定义.第三步 证明 | (x)(x) |, a x b .在不等式(3.18)中将区间c,d 换成 a,b ，可知当222(x0 x0 )(y0 y0 )时，就有(x,x0, y0)(x,x0, y0),a x b.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若 函 数 f (

11、x, y) 在 区 域 G 内 连 续 ， 且 关 于 y 满 足 局 部 李 普 希 兹 条 件 , 则 方 程 (3.1) 的 解y(x, x0, y0) 作为x, x0 , y0的函数在它的存在范围内是连续的.证 明 对(x0, y0)G , 方 程 (3.1) 过 (x0, y0)的 饱 和 解 y (x, x0, y0)定 义 于(x0 ,y0) x(x0 , 上y0 , 令)V ( x,x0, y0) | (x0,y0) x(x0,y0),( x0, y0) G下证 y(x, x0 , y0 ) 在 V 上连续 .对(x,x0,y0) V , a,b,使解 y(x,x0,y0)在

12、a,b上有定义 , 其中x,x0 a,b .222对0,1 0, 使得当(x0 x0)(y0 y0)1 时 ,(x, x0, y0)(x, x0,y0)2 ,axb又 y (x, x0 , y0 ) 在 x a, b 上对x 连续, 故20 , 使得当| x x| 2 时有(x,x0,y0)(x,x0,y0)2 , x,x a,b取 min( 1, 2) , 则只要 (x x)2 (x0 x0)2 (y0 y0)22就有(x,x0,y0)(x,x0, y0)| (x,x0,y0)(x,x0, y0) | | (x,x0,y0)(x,x0,y0) |22从而得知y(x, x0, y0)在 V 上

13、连续 .4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数的微分方程y f (x, y, )G : (x, y) G,(3.19)dx如 果 对 (x , y ,) G ， 都存在 以 (x ,y, 为)中 心 的 球 C G ， 使 得 对 任 何(x, y1, ),( x, y2 , ) C ，成立不等式| f (x, y1,)f (x, y2, ) |L | y1 y2|其中 L 是与 无关的正数，称函数f (x, y, ) 在 G 内关于 y一致地满足局部的李普希兹条件. 由解的唯一性，对每一0( , ) ，方程(3.19 )通过点(x0, y0) G 的解是唯一确定的，记这个解为y(x,

14、x0, y0, 0) .设 f (x,y, ) 在 G 内 连 续 , 且 在 G 内 关 于 y 一 致 地 满 足 局 部 的 李 普 希 兹 条 件 , (x0, y0, 0) G , y (x, x0, y0, 0) 是方程 (3.19) 通过(x0, y0) 的解, 在区间 a x b 上有定义, 其中a x0b , 则对0,( , a, b) 0 , 使得当(x0 x0)2 (y0 y0)2 (0)22时 , 方程(3.19) 通过点(x0,y0)的解y (x, x0, y0, ) 在区间 a x b 上也有定义,并且(x,x0,y0, )(x,x0, y0, 0),x a,b5、

15、解对初值和参数的连续性定理设函数 f (x, y, ) 在区域 G 内连续，且在G 关于 y 一致地满足局部李普希兹条件, 则方程 (3.19)的解 y (x, x0, y0, ) 作为x,x0, y0, 的函数在它的存在范围内是连续的.6、解对初值的可微性定理如果函数f (x,y) 以及 f (x, y) 都在区域G 内连续，则对初值问题dx f (x, y) 的解yy0y(x0 )y(x,x0,y0) 作为x,x0, y0的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.证明 由 f (x, y) 在区域 G 内连续，可知f (x, y) 在 G 内关于 y 满足局部Lipschitz 条件，根据解

16、y对初值的连续性定理，y (x, x0, y0) 在它的存在范围内关于x, x0, y0是连续的.下面证明函数y (x, x0 , y0) 在它的存在范围内的任一点偏导数, 存在且连续.x x0 y0f (x, ), 显然存在且连续.x先证 存在且连续.x0(x0, y0 )和 (x0x0 , y0 )所确定的解分别为y(x, x0 , y0), y(x,x0x0 , y0 ),f (x, )dx,y0f (x, )dx,y0x0x0 x0xf (x, )dx f (x, )dxx0xx0 x0其中 0x0x0x0f (x, )dxx f (x,() ( )dxx01, 注意到f 及 , 的连

17、续性, 有yf (x,() f (x, )r1这里当x00时,r10, 且x00时, r10. 类似有1x0x0 x0x0f(x, )dxf(x0,y0) r2其中r1与 r2具有相同性质,因此对x00有x0 f(x0,y0) r2 x0f(xy, ) r1( x0 )dx即 z是初值问题x0r1zdxdz f (x, ) dxyz(x0)f (x0, y0) r2 z0解 ， 显然当x00时 , 上述初值问题仍然有解. 根 据 解 对 初 值 和 参 数 的 连 续 性 定 理知 z 是 x, 0x, 0z, 的连续函数 0x从而存在 ,x0imx0 0 x0x0而 是初值问题x0dz f (x, ) zdx yz(x0) f(x0,y0), 容易得到f(x0,y0)exp( x f(x, )dx)x0x0 y显然它是x,x0,y0的连续函数.同样可证存在且连续.y0设由初值(x0,y0)和 (x0,y0y0)所确定的解分别为y(x,x0,y0), y(x,x0, y0y0),类似上述方法可证z是初值问题y0dz f(x, ) dx yr3zz(x0) 1. 因而x f(x )exp( x0 y,r3dx)其中r3 具有性质: 当y00时, r30, 且y00时, r30. 所以有limexp( x f(x, )dx)