CH平面向量陆广地

1、课题名称71平面向量的概念授课班级授课时间13中专课题序号14授课课时第 到 授课形式讲练结合、自觉指导使用教具教学目的（一）知识与技能：1.了解向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及向量的几何表示。2. 理解相等向量与共线向量概念。3.由向量相等的定义，理解平行向量与共线向量是等价（二）方法与过程：经历向量与标量（数量）的差别与建构过程，感受和体会实际问题中体会思想方法，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力（三）情感态度与价值观：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索乐趣。教学重点平面向量，相等向量和共线向量的概念教学难点向量的相关概念更新、补充、删减内容课外作业P38-1、2

2、授课主要内容或板书设计因为学生基础比较差，本部分知识比较难，但是又特别重要，所以比原来教参多安排时间，为四课时。主要是开始内容，期待学生能打下 良好的基础。教学后记课 堂 教 学 安 排主 要 教 学 内 容 及 步 骤教学过程 师生活动 设计意图等 导语：小船顺流而下或逆流而上，知道了静水速度和船速就可以得到小船相对陆地的速度象速度、位移这样的向量是既有大小又有方向的量.它是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，利用向量可以研究经济活动、数学、物理、工程技术等领域的相问题. 学习本章内容可以帮助同学了解向量的实际背景，理解平面向量的运算法则及其意义，学会用向量的思想和方法解决一些实际问题，为今后

3、的学习奠定方法和能力基础.§7.1平面向量的概念第一课时导入现实生活中，有些量在选定度量单位后，只用一个实数就能表示，这种只有大小的量叫做数量（也称为标量），如身高、距离、质量、面积等；还有一些量，仅用数值无法准确表示它们，它们不但有大小，还有方向。如：力、速度、位移等。 （冒泡：一个物体（质点）从点A沿直线运动到点B所发生的位置变化通常称为位移（如图7-2（1）。A，B两点间的距离是它的大小，它的方向是由起点A指向终点B而确定的。我们把规定了起点A和终点B，并在终点处标上箭头的线段叫作有向线段，记作。）2、 新授（一）平面向量的概念 1. 探究：如图7-1，某人在标准400米运动场

4、上的百米起点A（1道）处出发，沿跑道跑完400米到达终点（起点）A处。1. 该生所跑的路程是多少？所发生的位移是什么？2. 如果该生从A处出发，跑完1500米，所跑的路程是多少？位移是什么？3. 位移和路程这两个量有什么差别？ 图7-12.定义：在数学上，我们把既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）。上面提到的力、速度、位移等就是向量。我们常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记为向量也可以用小写黑体字母表示，如、等，手写时写成带箭头的小写字母，如：、等如图2所示 图2向量的大小称作向量的长度（或称为模）。向量的长

5、度，记作；向量的长度，记作，手写时可以写成。向量的长度是一个数量，是非负实数。长度为0的向量叫零向量，记作。零向量没有确定的方向。长度为1个单位长度的向量叫单位向量，记作.3. 例题例1：如图7-3（1）所示，每个小正方形的边长均为1个单位长度.分别以点A、B、C为起点或终点，可以构成哪些向量？用有向线段表示这些向量并求出它们的模.（1） （2）图7-3解：分别以点A、B、C为起点或终点可以构成以下向量：如图7-3（2）所示；它们的模分别为：3、 练习 P424、 小结5、 作业第二课时1、 复习概念（做学案内容）1、 向量的实际背景有下列物理量:位移,路程,速度,速率,力,功,其中位移,力,

6、功都是既有_又有_的量.路程,速率,质量,密度都是_的量.2、平面向量是_的量,向量_比较大小. 数量是_的量,数量_比较大小.3、向量的几何表示(1)由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常用_表示,而且不同的点表示不同的数量.(2)向量常用带箭头的线段表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的_,箭头的指向表示向量的_.(3)有象线段是_的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点,B为终点的有向线段记作_.起点要写在终点的前面.有向线段的长度,记作_.有向线段包含三个要素_知道了有向线段的起点,长度,和方向,它的终点就惟一确定.(4)向量可以用有向线段表示.也

7、可以用黑体小写字母a、b等表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如字母_4、向量的模:向量的大小,也就是向量的长度,称_,记作_.5、零向量是_的向量,记作_.零向量的方向任意.6、单位向量是_的向量.二、例2:如图7-4设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？图4解：的所有边可以构成以下向量：、。 它们的模分别为：，。思考交流：（1）向量能比较大小吗？（2）与是否为同一向量？ 为什么 ？三、练习：1.判断下列说法是否正确，并说明理由(1) 大小和方向是确定向量的两个要素(2) 向量的模表示了向量的大小(3) 零向量是一个向量,所以它的方向是确定的

8、(4) 零向量的长度不确定(5) 单位向量没有方向(6) 因为（7）单位向量都相等.（8）0和相等.2.如图所示，每个小正方形的边长均为1个单位长度.分别以点A、B、C、D为起点或终点，可以构成哪些向量？用有向线段表示这些向量并求出它们的模.(第2题)3、 小结4、 作业第三第三课时 平面向量的比较一、探究：为达成国家体育锻炼标准测试项目表中的训练要求，体育课上老师对学生进行50米（25米×2往返跑）测试.学生甲、乙两人为一组分别从起点A、B跑到25米处的点C、D后折返跑回到A、B点.如图7-5所示. 1.每个人从起点跑到折返处，再从折返处跑回起点（终点）所发生的位移分别是哪些？试用

9、向量表示出来. 2.表示从点A到点C所发生的位移的向量与表示从点B到点D所发生的位移的向量有什么关系？ 3.表示从点A到点C所发生的位移的向量与表示从点C到点A所发生的位移的向量有什么关系？ 图7-5二、概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（或同一向量）。向量与相等，记作=长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量与相反，记作=-如果两个非零向量方向相同或相反，我们就说这两个向量互相平行，叫做平行向量（或共线向量）（图7-6）。向量与平行，记作： 图7-6 规定：零向量与任何向量平行，即三、例题例3：如图7-7(1)所示，在4×5方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点

10、作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外）(1) (2)图7-7解：如图7-7（2）所示：当向量的起点是图中所圈格点时，可以作出与相等的向量.这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等. 除外与长度相等的共线向量共有（个）例4：如图7-8，设是正六边形的中心，分别写出与相等的向量、相反的向量、平行的向量图7-8解：与相等的向量有：相反的向量有： 与平行的向量有：四、思考交流：1 相等向量是平行向量吗？相反向量呢？ 2任何一组平行向量是否都可以平移到一条直线上？五、练习：1、 图中4×4方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点

11、作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外）（第1题）2、 如图，分别写出菱形ABCD中与、相等的向量、相反的向量、平行的向量.（第2题）3.物体从点出发，第一次沿水平线向东移动3米到点，然后继续向南移动4米到点.（1） 试用向量表示这两次位移；（2） 如果物体从点出发向南移动4米到点D，能否说与相等？为什么？第四课时 1、 概念复习（学案知识填写）7、相等向量是_。向量与相等，记作_。任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示。相反向量是_。若与是一对相反向量，则_8、平行向量（共线向量）:_ _叫做平行或共线向量与平行,通常记作_我们规定:零向量与任一向量

12、平行,即对于任意的向量,都有_二、练习1 在下列结论中，哪些是正确的? （ ）(1) 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；(2) 模相等的两个平行向量是相等的向量；(3) 若和都是单位向量，则=；(4) 两个相等向量的模相等。2设O是正ABC的中心，则向量、是（ ）A相等向量 B模相等的向量 C共线向量 D共起点的向量3.求出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）（第题）4、已知是正方形ABCD对角线的交点，在以A、B、C、D、O这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量。（第题）5. 任作一等腰梯形，对角

13、线相交，任意找出三个向量，求其相等的向量、相反的向量、共线的向量。3、 小结4、 作业课题名称72平面向量的线性运算授课班级授课时间13中专课题序号14授课课时第 到 授课形式讲练结合使用教具教学目的（一）知识与技能：理解向量加减法和数乘向量的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算（二）方法与过程：经历向量加减法和数乘向量的概念、法则建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力（三）情感态度与价值观：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐教学重点向量加法

14、的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和与差向量教学难点作图更新、补充、删减内容课外作业P48-2、3授课主要内容或板书设计教学后记主 要 教 学 内 容 及 步 骤教学过程 师生活动 设计意图等第一课时 1、 引入我们知道，数是可以进行加、减、乘、除等运算的，同样，向量也可以进行运算二、平面向量的加法探究：2008年，上海浦东国际机场和台北桃园国际机场首次开通了上海-台北的直航，既缩短了距离，又节约了时间。民航客机的每次飞行都可以看成是一次位移。如图7-11所示，直航前由上海（点A）到台北（点C），需先经香港（点B），再到台北，位移是由A到B，再由B到C；直航后由上海直接到台

15、北，位移是由A到C。(1) 在图中用向量表示每一次的位移。(2) 飞机由上海飞往香港再由香港飞至台北位移的结果与飞机直接由上海飞至台北的位移结果相同吗？图7-11一般地，已知向量和，如图7-12所示，在平面内任取一点A，作，则向量叫作与的和（或和向量），记作。即求两个向量和的运算叫做向量的加法。图7-12三、法则：根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。对于任一向量，有向量的加法满足交换律、结合律，即+=， 四、例题例1：如图7-13所示，已知向量，用向量的三角形法则作和向量+.（1） (2)图7-13 (1) (2) 图7-14解：（1）当两向量，首尾相接时，其和向

16、量是以向量的起点指向向量的终点的向量，如图7-14（1）所示（2）在平面内任取一点A,作，则向量叫做与的和，即+=。如图4（2）所示例2：如图7-15，已知两个共线向量 与，用三角形法则求它们的和向量.图7-15解：(1)当两向量，同向时，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，即+=。如图6（1）所示.（2）当两向量，反向时，在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，即+=。如图6（2）所示. 图7-16五、思考交流：如果平面内有个向量依次首尾连接组成一条封装折线，那么这个向量的和是什么？六、练习：1.如图，已知向量，作出+。 （1） （2）（第1题）2. 如图，已知向量，作出+。 （1）

17、（2）（第2题）3.如图，已知平行四边形，填空。（第3题）(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;（6） .七、小结第二课时一、探究：小明从家O点出发到学校B点，周边的道路如图7-17所示，四点O、A、B、C构成。1.小明从家到学校有几种途径？所发生的位移如何表示？2.如果=，与，分别相等的向量有哪些？3. ，+之间位置关系如何？图7-17图7-17表明，对于两个不共线的非零向量，我们还可以作平行四边形来求两个向量的和，以任意点O为起点分别作，以为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线向量就是向量与的和。我们把这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.三、例2：如图7-18

18、（1）所示，已知向量与，用平行四边形法则求作向量+. （1） A B O C （2） 图7-18 解：如图7-18（2）所示：以任意一点O为起点分别作，以为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是向量与的和。四、思考交流：1.用平行四边形法则能求出共线向量的和向量吗？2.平行四边形法则与三角形法则有什么区别与联系？ 请与同伴进行交流。 五、问题解决：平行四边形法则在物理学求合力时经常遇到.如图7-19，一个拉紧的弓箭，受到两个方向的力，最终形成合力，使箭向耙心飞行.1. 用平行四边形法则作出弓箭所受两个方向力F1，F2的合力F；2. 如果力F1，F2的大小为100牛顿，它们的夹角为900，它

19、们的合力F的大小是多少？ （1） (2) 图7-19六、练习：1. 如图，已知向量与，用平行四边形法则求作向量+. （1） (2) （第1题）2如图，已知平行四边形，填空。（第2题）(1) (2) 3.为正六边形的中心,求出下列向量(1)= ；(2)= ；(3)= ；(4)= .7、 小结8、 作业第三课时 一、探究：如图7-20所示，在长江南岸某渡口A处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地驶过长江，1.渡船的实际速度是多少？2.其航向如何确定？ 图7-20如图7-21，已知向量，作=，则由向量求和的三角形法则，得+=.向量叫做向量与的差，记作-，即=-

20、=. 图7-21二、定义求两个向量差的运算，叫做向量的减法.向量的减法是向量加法的逆运算。-=+(-).可见，当向量，的起点相同时，两个向量的差-是减向量的终点到被减向量的终点的向量.三、例题例3：如图7-22（1），已知向量，求作向量，（） （）图7-19解：如图7-21（2），在平面内任取一点O，作=，=，作=，=-. 例4：如图7-22，已知，用，分别表示.图7-22解：连接，DB，由向量求和的平行四边形法则有.由向量减法定义得-.四、思考交流：试画图说明-=+(-)五 、练习：1、如图，已知向量，共线，求作向量-（）（）（第1题）2如图，已知向量，不共线，求作向量-.（）（2）（）（第

21、2题）3填空：；4如图，在矩形ABCD中，已知=，在图中画出向量与（第4题图）小结作业第四课时 平面向量的数乘运算1、 复习巩固二、探究：如图7-23所示，质点从点出发向东做匀速直线运动，若经过秒的位移所对应向量用表示，那么该点在同方向经过3秒的位移所对应的向量应该如何表示呢？（）作出质点向东经过3秒的位移向量；，这个向量的大小、方向与相比有什么关系？（2）如果质点出发的方向改向西，试回答（1）中的各问题.（3）质点向东或向西经过3秒的位移向量的结果还有其它表示形式吗？图7-233、 概念 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（）（）当时，与方向相同；当时，与方向相

22、反；当时，实数与向量相乘，叫做向量的数乘四、根据向量数乘的定义，可以验证向量数乘满足下面的运算律：（）；（）；（） （为任意实数）五、例题例5：如图7-24已知向量和向量，求作向量1.5，向量和向量 图7-24解：向量1.5的长度是的长度的1.5倍，方向与相同如图7-25（1）所示；向量-2的长度是的长度的倍，方向与相反如图7-25（2）所示；以O为起点，分别作2，3，连接BA，则2-3如图7-25（3）所示.（1） （2） （3）图725例6：计算：（）（）；（）（）（）；（）（）（）解：（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）六、思考交流：对于非零向量，如果有一实数，使得，则由数乘向量的定

23、义可知，平行；反之是否也成立？非零向量平行是（）的什么条件？ 问题解决：如图7-26：已知的两条对角线相交于点，设，试用，表示. 图7-26七、练习： 如图，已知向量，作向量使=2，=-3，=3（第题） 如图，点C、D、E将线段AB四等分，则（第题）（）=；（）=；（）=；（）=计算：（）（）；（）（）（）；（）（）（）已知一个非零向量，将下列各题中的向量表示为实数与向量的乘积（）=2，=8；（）=3，=-6七、小结八、作业 第五课时（机动）1、 复习巩固2、 处理练习和习题填空题（）在数学上，既有又有的量叫作向量（）以B为起点，A为终点的有向线段表示向量，记作，它的模记作（）如图，四边形中，

24、如果，那么的模，方向，四边形是，的相等向量有，相反向量有，平行向量有（第（）题）（）一架直升飞机向北飞行KM，然后改变方向向东飞行KM后着陆，如果另一架飞机直接飞去同一地点，可直接向方向飞行KM。判断题（）方向相同且长度相等的向量不一定是相等向量（）（）单位向量与单位向量一定是相等向量（）（）零向量与零向量必然相等（）（）平行的向量不一定是共线向量（）（）向量与向量是同向向量（）（）向量与向量是平行向量（）选择题（）下面的量中不是向量的是（）A力B长度速度D位移（）在平行四边形中，下列式子错误的是（）A（）下列命题中，正确的是（）A若，则B，则若，则且D若，则或计算（）；（）（）（）；（）（）

25、（）已知向量，求作下列向量：（）；（）；（）；（）（第题）3、 小结4、 作业学生参与讨论，回答教师的即时问题，自主完成思考；学生独立思考，被抽检学生回答教师提问，学生评价，发表不同的看法，教师和学生进行形成性评价。探究2：学生自主完成，教师板书探究3：学生自主完成，小组交流并呈现交流结果。探究4：学生自主完成，小组交流讨论，并选出代表回答。当堂导练2、3：学生自主完成，学生呈现，学生评价课题名称73平面向量的坐标表示授课班级授课时间13中专课题序号12授课课时第 到 授课形式讲练结合使用教具教学目的知识与技能：识记平面向量的直角坐标的含义，能根据定义求所给向量的直角坐标，会通过平面向量的直角

26、坐标求模。 过程与方法：通过探究向量加法的平行四边形法则的过程，进一步培养学生的归纳猜想类比运用数学知识解决实际问题等能力，和探究性学习的能力。 情感、态度、价值观：结合实际问题，激发学生学习数学的兴趣，通过小组讨论的形式来培养学生的合作交流的学习方式及自主学习的态度教学重点会写出给定向量的坐标（解决办法：通过 物理学中速度的分解帮助学生认识平面向量的坐标形式，通过例题讲解让学生掌握向量的坐标表示。）教学难点理解平面向量的坐标表示（解决办法：从实际物理量“速度”的分解引入，利用向量加法的平行四边形法则对坐标系内向量进行分解，赋予向量坐标几何意义。）更新、补充、删减内容课外作业P48-2、3授课

27、主要内容或板书设计教学后记主 要 教 学 内 容 及 步 骤教学过程 师生活动 设计意图等第一课时 一、引入在平面直角坐标系内，平面内的每一点都可以用一对有序实数来表示，这对实数就是点在平面内的坐标，反之，每一对有序实数对都能确定一个点.在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也能用一对实数来表示呢？1.平面向量的坐标表示探究:如图7-27(1)，导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度.如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量,导弹飞行速度用向量 表示，若以点为起点，作向量=,过点分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为和.(1)分别用单位向量,表示向量；（2）用

28、向量表示向量；（2）用单位向量,表示向量.（1） (2)图7-27 二、概念在平面上，建立一个直角坐标系，若设轴正方向上的单位向量为，轴正方向的单位向量为，则轴上的向量总可以表示成的形式，轴上的向量总可以表示为的形式，其中分别是它们在数轴上的坐标. 如图7-28所示，一般地，对于直角坐标平面上任意向量，将它的起点移至原点O，其终点的坐标为P.以OP为对角线，作矩形，、分别表示成与.由向量加法的平行四边形法则可知，即+ 图7-28 事实上，平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一地表示成=+ 的形式.我们把=+叫做的坐标形式，把叫做在轴上的分向量，把叫做在轴上的分向量.把有序数对叫做向量在直角坐标系中的坐标，记作=，其中叫做的横坐标，叫做的纵坐标，=叫做向量的坐标表示. 例如：=-3+2，即的坐标是（-3，2），可以写成：=（-3，2）向量的求模公式为：例如=+=， +=，=+=（0，1）.它们的模长分别为：0，1，1.3、 例题例1：写出下列向量的的坐标表示 （1）=5-3； （2）=-5； （3）=.解：（1）=5-3=（5，-3）； （2）=-5=（-5，0）； （3）=（0，）.例2：如图7-29所示，写出向量的坐标，并求它们的模. 图7-29解：+3=（1，3），；-3+=