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文档简介

1、三个著名无理数的有理表达式初等数学实数的分类中，有有理数 U 无理数 = 实数, 而有理数 n 无理数二，所以有理数与无理数既对立又统一。有理数可表成 （p， q 为互质的整数， 0 除外）的形式； 无理数是无限不循环的小数，它不能表成（p， q 为互质的整数）的形式，即在初等数学中，无理数与有理数不能互相表 示，二者也是不相容的。但在高等数学中，用极限、级数的思想 方法，无理数与有理数却能相互表示。 本文主要介绍三个著名无 理数n , e , ©的有理表达式。1圆周率nn是一个非常重要的数，它是指平面上圆周长与直径的比 值。1600年，英国威廉&#8226；奥托兰特首先使用

2、 n表示圆周 率；公元前 200 年间，古希腊数学家阿基米德首先用圆外切与内 接多边形的周长从大、 小两个方向上同时逐步逼近圆的周长， 从 理论上给出n值的求法；公元200年间，我国数学家刘徽用极 限方法割圆术，提供了求圆周率 n的科学方法；莱布尼茨、欧拉等数学家也找到了求圆周率的其它方法。n架起了三角与代数的桥梁，在初等数学和高等数学中是出现频率最多的无理 数。n是无理数，它不能表示成两个整数之商，但它能用无穷 个有理数既有规律又简明地表达。在 arctanx 的麦克劳林级数：中令x = 1,有：。即：2自然对数的底数ee是作为数列极限 而出现的，即，它是一个无理数，其近似值为 2.71 8

3、28，最先使用 e这 个符号的是瑞士数学家欧拉；最先猜测 e 是超越数的是法国数 学家刘维尔，而最早证明 e 是超越数的是法国数学家厄米特。 用 e 作对数的底数，可使关于对数的运算简单明了，如 等。 无理数 e 也能用有理数有序而和谐地表达。如在 e x 的麦克劳林级数：中令x = 1,有：。3黄金分割数©公元前 500 年,古希腊学者发现了“黄金”长方形, 即长方 形的宽和长之比© = 0.618时，看起来令人赏心悦目，这个比叫 黄金比（也称黄金数）。这神奇的黄金数, 为什么能使数学家和艺术家都对它“情有 独钟”呢？古希腊数学家、哲学家柏拉图说：“美就是恰当。” 德国数学家、 哲学家笛卡尔说： “美是一种恰到好处的协调和适中。黄金数©仍能仅用数“ T完整地表达。由线段的黄金分割比 。对等式右边分母 中的©以代替，如此类推，可得连分数： 有理数也能用无理数表达，如著名的裴波那契数列的每一项 都是自然数，但其通项公式为：有理数与无理数在高等数学的思想方法中达到了和谐统

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