复变函数总复习资料复习课程

1、复变函数总复习资料22、复数的表示复数的表示 直角坐标：z=x+iy 复平面与直角坐标平面上的点一一对应 向量表示 模 幅角 三角表示： 指数表示：0 xy)(x,yiyxzOxyqPz=x+iy|z|=r2200|Argarg2arg ,zrxyzzkzqqqz=0时辐角不确定(cossin)zriqqcossinieiqqqizreq6区域区域：平面点集：平面点集D D称为区域称为区域, , 必须满足下列两个条件：必须满足下列两个条件： 1 1）D D是一个开集。是一个开集。 2 2）D D是连通的。是连通的。不连通单连通域：单连通域：区域区域B B中任做一条简单闭曲线，曲线内中任做一条简

2、单闭曲线，曲线内 部总属于部总属于B B，称，称B B为单连通区域。为单连通区域。多连通域：多连通域：不满足单连通域条件的区域。不满足单连通域条件的区域。单连通域多连通域区域的概念区域的概念7复变函数复变函数 w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)单值函数：单值函数：z 的一个值对应一个的一个值对应一个w值。值。多值函数：多值函数：z的一个值对应两个或以上的一个值对应两个或以上w值。值。反函数：反函数：z=g(w)两两个个实实变变函函数数的的讨讨论论复复变变函函数数的的讨讨论论 复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定81、

3、极限、极限lim( ) ( )zzf zAzzf zA00或，。都都要要趋趋于于同同一一个个常常数数论论从从哪哪个个方方向向趋趋近近；的的方方式式是是任任意意的的，即即无无Azfzz)(0定理一：定理一：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0lim( )( )lim( )( )lim( ), lim( ):( )lim( )zzzzzzzzzzfzg zABfzg zA BfzAg zBfzAg zB00000有lim( )lim( , ), lim ( , )zzxxxxyyyyf zAu x yuv x yv0000000的充分必要 件：条定理

4、二：定理二：92、连续性、连续性000lim( )(),( )zzf zf zf zz如果称在 处连续。( )D( )Df zf z如果在区域 内处处连续,称在 内连续。),(),(lim),(),(lim)(000000000yxvyxvyxuyxuzzfyyxxyyxx 为为：处处连连续续的的充充分分必必要要条条件件在在定定理理三三、)(, 0)()()(),()(),()()()(000zgfzgzgzfzgzfzgzfzzzgzf 处处都都连连续续。处处连连续续，下下列列函函数数在在在在，定定理理四四、如如果果( )( )( )( )nnnwzw P zaa za zP zwQ zQ

5、z010多 式：=有理式：=在复平面内，下列各式连续：复平面内，下列各式连续：项10导数定义形式与实变相同，求导法则与实变相同。121 ( )02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzgzf zg zfz g zf z gzf zfz g zf z gzg zg zf g zfw gzwg z 、正整数、17( ),( )( ),( )0.( )fzwf zzwww、与是两个互为反函数的单值函数 且3、导数、导数()()( ) lim( )zf zzf zw

6、f zzDzf zz 00000，如果存在， 在00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 定义在区域D内，称 可导11为为奇奇点点。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )f zwfzzzz及 的邻域内处处可,则在点导在解析内内每每一一点点解解析析。在在内内解解析析：在在区区域域DzfD)(可导解析可导解析z0点：区域D：4、解析、解析00( )( )( )( )( ), ( )( ), (g(z)0), ( ) ( )f zg zzf zf zg zf zg zf g zzg z定理五：如果，在 处解析,则 在 处都解析。01( )( )0( )nnwP za

7、a za zP zwQ z有理多项式 在整个复平面上解析。有理分式 （两个多项式的商）除分母不为 的点外， 处处解析,使分母为零的点是它的奇点。12( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一点可导的充分必要条件为：（ ）在点可微(可导)；（ ）满足柯西 黎曼(方程：重要定理：重要定理：函数解析的条件函数解析的条件柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yv x y iDu x

8、y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在区域 内解析的充分必要条件为：）在 内可微(可导)；）在 内（方程）：( )uvvufziixxyy求导公式:13连续、可导、解析的关系：内内解解析析在在 D)z(f可可导导在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f内内可可导导在在 D)z(f连连续续在在0z)z(f高高层层中中层层低低层层14初初 等等 函函 数数, Ln , , sinzaezzz注意性质：周期性; 多值性; 奇偶性; 解析性1.指数函数：( ) exp(cossin )zxf zzeeyiy12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i处

9、处解析满足加法定理：周期性：周期为ze 的性质：152.对数函数：lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 主值： 分支： LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k性质性质:1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(4) (), , , 在除去负实轴 包括原点 的复平面内 主值支和其它各分支 处处连续 处处可导 且11(ln ),(Ln ).zzzz13LnLnLnLnnnznzzzn（ ）16乘幂乘幂 Ln . bbaae Lnln(arg2) , .baaiaka由于是多值的 因而也是多值的3bbaz.乘幂与幂函数：、a

10、bikbaiabeeln2)arg(ln 单值(2) (, 0): pbpqqq与 为互质的整数ln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeeelnarg cos2 sin2 ppaiaqqppekikqq q个值: 0,1,2,(1) kq(1) b 为整数:)2arg(lnLn kaiababbeea3 ba( )除此以外，具有 无穷多个值17Lnbbzwze11 , .nnnbnwzwzzn当与 时 就分别得到复数的幂及根运算：及幂函数幂函数幂函数的解析性幂函数的解析性(1) nz幂函数在复平面内是单值解析的：1().nnznz

11、1(2) , . nzn幂函数是多值函数 具有 个分支各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:1111.nnzzn各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:1(3) ( ) , bwzbnn幂函数与也是一个多值函数1().bbzbz ,. b当为无理数或复数时 是无穷多值的1811sin()sin ,cos()cos .22sin(2 )sin ,cos(2 )cos .3 sincos , cossin4cossin5 cos(izzzzzzzzzzzzzezizz （ ） 奇偶性： （ ）周期为的周期函数： （ ）在复平面内处处解析：（ ）欧拉公式仍然成立：（ ）一些三角公式仍然成立

12、：22212),sin(),sincos1, sin1& cos1zzzzzzz但不成立三角函数性质：4. 三角函数cos2izizeezsin2izizeezi19一、曲线积分计算：1212(1) ( )()()(2) ( ),( )( )( )(3) ( )( )( )( )(4) ( )(nCCCCCnCCCCf z dzuiv dxidyudxvdyivdxudyCzz ttf z dzf z tz t dtCCCCCf z dzf z dzf z dzf z dzf zf 通过两个二元线积分求：当曲线 可表示为参数方程时：为分段光滑曲线：为解析函数时，若可求得1010)( )

13、 ( )( )()zzzF zf z dzF zF z的原函数则有：第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分习题3-8(1)20二、闭路积分问题：1-( )0 ( )Cf z dzCf z（）柯西 古萨定理：其中 所包围区域为单连通域，在该区域内解析12( )( )CCf z dzf z dz（ ）闭路变形原理：在多连通域解析的函数，不因闭曲线作连续变形而改变积分值。11( )( )( )0 knCCknf z dzf z dzf z dzCCC （）3（ ）复合闭路定理：在多连通域解析的函数CC1DC1C2C3C000( )0104( )1( ),( )2!( ) ( )(1,2,)2Cn

14、nCf zBCzf zCBf zdzizznf zfzdznizz（ ）柯西公式、高阶导数公式： 在 上处处解析， 为围绕的一条闭曲线，且 的内部全含与 则： 习题3-7(8)、3-9(1)21三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( );() CCkf z dzkf z dzk为常数(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z dz(4) , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML设曲线的长度为函数在上满足

15、那么估值不等式估值不等式221、调和函数的定义2222 ( , ) , 0, ( , ) .x yDxyx yD如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数 并且满足拉普拉斯方程:则称为区域内的调和函数四、解析函数与调和函数的关系 2、解析函数和调和函数的关系定理：定理：任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数，即有：2222 0,uuxy22220,vvxy( )wf zuiv23, , , .uvuvDxyyxvu换句话说 在内满足方程的两个调和函数中称为 的共轭调和函数3、 共轭调和函数 ( , ) , ( , ) ( , ) .u x yDuivDv x yu

16、x y设为区域内给定的调和函数 把使在内构成解析函数的调和函数称为的共轭调和函数区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. .4、 偏积分法和不定积分法求解析函数（简单了解即可简单了解即可）如果已知一个调和函数u, 利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数v, 从而构成一个解析函数u+vi的方法称为偏积分法. ( , ) ( , ), .u x yv x y已知调和函数或用不定积分求解析函数的方法称为不定积分法24一、一、 复数项级数的一些基本概念复数项级数的一些基本概念 1、复数列 收敛的充要条件: 同时收敛.2、复级数: 收敛的充要条件: 同时收敛

17、.3、复级数绝对收敛: 绝对收敛的充要条件: 同时绝对收敛. nnnaib ,nnab 1nn 11nnnnba1 nn收敛11,nnnnab第四章第四章 级级 数数lim0nn1lim0.nnnn级数发散1nn复数项级数收敛的必要条件是25 收敛范围为圆域收敛范围为圆域,圆内绝对收敛圆内绝对收敛,圆外发散圆外发散,圆上不定圆上不定.0nnnc z1 1、收敛定理：、收敛定理： ( (阿贝尔阿贝尔AbelAbel定理定理) )如果级数 在 收敛,那么对满足 的z, 级数必绝对收敛绝对收敛,如果在 级数发散, 那么对满足 的z, 级数必发散。0nnnc z0( 0)z z0zz0zz0zz二二

18、、幂级数：、幂级数：幂级数的收敛半径的情况有三种幂级数的收敛半径的情况有三种: :(1) (1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛. . 级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛: :(2) (2) 对所有的正实数除对所有的正实数除z z=0=0外都发散外都发散. . 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散: :例如例如, ,级数级数 nnznzz2221RR0(3) (3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, , 也存在使级数收敛的正实数也存在使级数收敛的正实数. . 级数在收敛圆内处处绝对收敛级数在收敛圆内处处绝对收敛 0R+262

19、、收敛半径求法、收敛半径求法:11010limlimnnnnnncifRcifcR比值法：根值法：0( )nnnfzc z如果如果:001.0, .2. (), 0 ,0.nnnnnnc zRc zzzR 则级数在复平面内处处收敛,即 极限不存在 则级数对于复平面内除 以外的一切 均发散 即 3、性质、性质:和函数和函数 在收敛圆内在收敛圆内: 解析解析,可逐项求导可逐项求导,可逐项积分可逐项积分. 习题4-6274 4、幂级数的运算和性质、幂级数的运算和性质(1)(1)幂级数的有理运算幂级数的有理运算1200( ),( ),nnnnnnf za zRrg zb zRr设000( )( )()

20、nnnnnnnnnnf zg za zb zab zRz 00( )( )() ()nnnnnnf zg za zb z01 100()nnnnna baba b zzR12min( ,)r r12min( ,)r r(2) 幂级数的代换幂级数的代换( (复合复合) )运算运算如果当如果当rz 时时, ,)(0 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那么当那么当Rz 时时, , 0.)()(nnnzgazgf说明说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.习题4-1128答案答案:. 为为中中心心的的圆圆域域是是以以

21、az 幂级数幂级数 0)(nnnazc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.答案：答案：问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?有关幂级数的两个关键问题：有关幂级数的两个关键问题：29三三 、泰勒级数、泰勒级数:定理定理:在以在以 为中心的圆域内解析的函数为中心的圆域内解析的函数 f(z) ，可以在该圆域内展开成可以在该圆域内展开成 的幂级数。的幂级数。 泰勒级数展开式求法泰勒级数展开式求法:直接法直

22、接法,间接法间接法.0z0()zz( )00000()( )()()!nnnnnnfzf zczzzzn30,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z311020100( )( )()1( )0, 1, 2,2()

23、nnnnncf zRzzRf zczzfcdnizcz 定理： 在圆环域内处处解析，则：其中：为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。四、洛朗级数：四、洛朗级数：洛朗级数展开式求法洛朗级数展开式求法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 在计算闭路积分中的应用：在计算闭路积分中的应用：1( )2cf z dzic101( ) d2()nnCfciz令n=-1, 得11( )d2Ccf zzi或习题4-16(2)32的的负负幂幂项项。多多个个、本本性性奇奇点点：含含有有无无穷穷级级极极点点。为为，称称幂幂项项，最最高高负负幂幂项项为为：、极极点点：只只含含有有限限个个负负的的负负幂幂项项。、可可

24、去去奇奇点点：不不含含)(3)(2)(10000zzmzzzczzmm 一、孤立奇点的三种类型：第五章第五章 留数留数为为本本性性奇奇点点不不存存在在且且不不为为、为为极极点点；、为为可可去去奇奇点点；存存在在且且有有限限、：孤孤立立奇奇点点类类型型判判断断方方法法000)(lim3)(lim2)(lim1000zzfzzfzzfzzzzzz 33零点与极点零点与极点 ： 零点定义：零点定义：f(z)=0f(z)=0的点的点 0)()1.,1 , 0(0)(,)(0)(0)(00zfmnzfmzzzfmn必必要要充充分分级级零零点点为为解解析析在在定定理理一一：级级零零点点的的是是级级极极点点的的是是系系）定定理理二二：（零零、极极点点关关mzfzmzfz)(1)(00习题5-1(1、2、4)340000001001000001:,:Res( ),lim() ( )2:,:1Res( ),lim()( )