GPS定位问题数学建模

1、数学建模gps定位问题摘要本次建模中要解决根据gps卫星位置来确定gps信号接收机位置的问题， 在木次建立的模型中主要用到的是点定位的数学模型，用码伪距进行点定位。再 用matlab编程解得地点位置，最后转换成其经度和纬度。对于问题一，我们采用gps定位中单点定位的方法(单点定位利用一点采集的观测数据和广播星历确定点的坐标)。题目中假定了卫星所在的空间位置是准确值因此不考虑广播星历。往往伪距方程解算的基本思路是将非线性观测方程进行taylor级数展开至一阶，忽略二阶及以上的高阶项，得到线性观测方程。我们将2上面的每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到c .个四元4 2 2 2 2

2、一次方程。在此基础上派生出c个线性方程组并用兀+y +z =r6i i i进行验证选择最符合的坐标，得到四个地点在地心空间直角坐标系的坐标是 (-2179,4373,4081) ； (-2174, 3,4381,4090);(-2169, 4410.1,4123);(-2159, 4382.4, 4142.3);再转换成经度和纬度就是(40:08:38.58167n , 116:10:14.01669e); (40:05:39.12131n , 116:23:48.72859e); (40:10:46.58408n , 116:11:20.9029ie); (40:29:04.2979in ,

3、 116:13:23.03773e)然后再在地图上标出各个点的位置 对于问题二，由于添加了一个点，多出了一个数据，可以同样的继续采用上述方2法，只是每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到c个四元4 2 2 2 2一次方程。在此基础上派生出c 个线性方程组并用x+y +z二进行10i i i验证选择最符合的坐标(2129, 4361, 4125)转换成经纬度(40。337 05.71354 n, 116° op 10.64958" e)关键词：点定位码伪距钟差单点定位matalab编程一、问题重述全球定位系统（gps）是美国国防部研制的导航定位授时系统，由24颗

4、等间 隔分布在6个轨道面上20200公里高度的卫星组成。gps用户从接收的gps信号 可以得到足够的信息进行精密定位和定时。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参 数确定，为简化问题，木题题目里假定它是准确值。题目中为了简化问题，假定 卫星所在的空间位置是准确值。gps信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟钟差是未知的。住色原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定,今给出了 4颗卫星在地心空间直角坐标系上的 坐标（地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点o与 地球质心重合，z轴指向地球北极，x轴指向经度原 点e, y轴垂直于xoz平面构成右手坐标系）,地球的 半径，光速，以及4颗卫星的gps信号到达四

5、个gps 接收机地点处的时间。根据4颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标 见表a.1,以及4颗卫星的gps信号到达四个gps 接收机地点处的吋间见表a.2,求得四个gps接收 机地点处在地心空间直角坐标系上的坐标。然后将坐 标转换成经度与纬度。对于多于四颗卫星的问题，怎么建立一个更好的模型，才能精确的确定某个 地点的位置，并将其转化为经纬度在图中标出。对于多点定位问题，应该考虑周 全，误差值，偏差值，并使得每颗卫星都能准确的将其地位。二、问题分析在问题一的求解上，已知四颗卫星的地心直角坐标系位置，并且知道每颗卫 星gps信号到达每个地点的时间，由于卫星在发送时有时延，并且gps接收仪在接 收的过

6、程中也会有吋延，但这题题目中假定了卫星所在的空间位置是准确值，那 我们就直接通过码伪距进行点定位，用派生出的线性方程组求解得到4个gps接 收仪在地心空间直角坐标系上的坐标，并通过google地球在地图上标明位置所 在；对于第二问，在通常的情况下，地面的gps接收机能收到58颗卫星的信4号，对于多于4颗卫星的情况，应该周全考虑派生出的eg个线性方程组，因此 在模型一的基础上，在码伪距的测量上对其时间误差进行考虑，从而得到 r广沙卜小,并通过卫星坐标列岀四个方程组成方程组，求得新加点的坐 标，并在google地球上表明。特别耍注意的是，在地球上，每个点的空间直角2 2 2 2坐标x, y, z都

7、必须满足兀+y +z = r （r为地球的半径二6371公里），i i i我们将以这个式子来检验方程组解得的数据三、模型假设1假设每一颗卫星的发送时延都是一样的2假设每一个gps接收仪的接收时延都是一样的3假设每颗卫星到达每个地点的时间值天气状况一样，所得的结果都是准确 的4忽略gps信号在传播过程屮所收到的干扰5忽略大气层和电离层的残差对水平位置定位误差6假定单点定位的精度不受广播星历误差和钟信息（包括选择可用性误差） 的限制。!1!符号说明符号说明kr1卫星i与测站k的码伪距观测值8接收机钟差和卫星钟差之差c光速xi, yi,zi卫星在的地心坐标d i接收机和卫星z间的实际距离（兀.，y

8、.,z .）1ii随机一致性指标a系数矩阵b常数项矩阵 j i第j颗卫星到第i个地点的时间d i接收机和卫星z间的实际距离r地球半径五、模型分析、建立及求解5.1用码伪距进行点定位:码伪距的观测方程可表示为:rk = c（r-5）&为卫星i与测站k的码伪距观测值,c为光速，6为接收机钟差和卫星钟差之 差，几何距离2 2 2°十t心”)+血)2 2 2 2 并且满足：兀+y +z =ri i i根据以上可以列岀地点位置关于卫星位置的关系等式：i222i（x.兀.）+（丫一儿）+（z.-z.）二c*（門）v i ii ii ii可列出第一个地点的2 2 2（8747 ）+（151

9、50） +（10100 z） = 299792.458*（0. 054354-8 ）2 2 2（-9756-xp +（16898 打）+（5228 z” =299792.458*（0.0489226）2 2 2（一兀）+（10100 打）+（17494 z） = 299792.458*（0. 0491307.）(-12370-%p2 +(7142-yp2 +(14284-zp=299792.458 * (0. 0489224- 32 2 2 2 并用兀+打+z =r检验最后的结果。xxyz jt往往伪距方程解算的基本思路是将非线性观测方程进行taylor级数展开至 一阶，忽略二阶及以上的高阶项

10、，得到线性观测方程。我们将上面的每两个相减消 去二阶及以上的高阶项在此基础上派生岀来的方法有解线性方程组： a=37006 -3496 9744 1.0808e+00917494 10100 -14788 1.0434e+00942234 16016 -8368 1.0805e+0095228 19512 -18112 -32355e+005;b二-56125e+007-11415-5.4291e+007-7527-56109e+007-152111.5829e+004-3796;用matlab求解可以得到第一个地点在地心空间直角坐标系的坐标大致为(-2179,4373,4081)；同样的方法

11、可以得到剩下的三个地点的坐标分别是(-2174.3,4381,4090);(-2169,4410.1,4123); (2159,4382.4,4142.3);转换成经度和纬度，这四个地点就分别为40° 087 16.90161" n 116° 10 14.30207" e2. 40° 05 39.1213 n, 116° 23 48.72859e3.40° 10, 46.58408" n, 116° 1t 20.90291 e4. 40° 297 04.29791" n, 116

12、76; 13 23.03773" e5.2第二问对于多于4颗卫星的情况2 2 2(8747-兀厶)+(15150 )i)+(10100 z5) =299792.458*(0. 0547118- )2 2 2(-9756 - ji ) +(16898 y ) + (5228 - z ) = 299792.458 * (0. 0489472- 3 )j222(一兀5)+(10100-%)+(17494 z5) = 299792.458*(0. 0489068-(5 )i222(一12370-兀5)+(7142 5)+ (14284=299792.458*(0. 0488635-<5

13、 )2 2 2(-7669-x ) +(15723 y ) +(10100 z ) =299792.458*(0. 0633407-<5 ) 用matlab求解可以得到第五个地点在地心空间直角坐标系大致为(-2129, 4361, 4125)40° 337 05. 71354" n, 116° 01 10. 64958" e转换成经度和纬度，这个点就为六、模型评价6. 1缺点1. 伪距定位法是利用全球卫星定位系统进行导航定位的最基本的方法，其基 本原理是：在某一瞬间利用gps接收机同时测定至少四颗卫星的伪距，根据已知 的卫星位置和伪距观测值，采用距离交会法求出接收机的三维坐标和时钟改正 数。伪距定位法定一次位的精度并不高，存在着误差2. 对于伪距的测量与计算中，某些时候忽略了时间的误差，造成数据的偏差3. 对于点定位问题，往往考虑的更多的是点对点