2021年全国各地中考真题压轴题精选：四边形综合(带答案解析)

1、四边形综合题2小题ABCD的最大面积是C. 24vW二.填空题共选择题共1小题1. 2021?连云港如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中/ C= 120° .假设45 v3 2 D.m22. 2021?日照规定：在平面直角坐标系 xOy中，如果点P的坐标为a, b,那么向量?可以表示为：?= ( a, b),如果?与?互相垂直，？= (X1, y1), ?= (X2, y2),那么 X1x2+y1y2= 0.假设？?？与?互相垂直，？?= sin a, 1, ?= 2, - v3,那么锐角Z a=.3. 2021?上海如图，在正六边形ABCDEF中，设?= ? ?=

2、 ?那么向量?用向量?4. 2021?抚顺如图，点 E, F分别在正方形 ABCD的边CD, BC上，且DE = CF，点P 在射线BC上点P不与点F重合.将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG, 过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q .1如图1,假设点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP, QC , EC的数量关系为.2如图2,假设点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断1中的结论是否仍然成立假设成立，请写出证明过程；假设不成立，请说明理由.点A和点C),过点E的直线GH交直线AD于点G,交直线 BC于点H，且GH / DC ,点F在BC的延长线上，C

3、F = AG,连接ED , EF, DF .(1) 如图1，当点E在线段AC上时, 判断 AEG的形状，并说明理由. 求证： DEF是等边三角形.(2) 如图2,当点E在AC的延长线上时， DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你得厶AEF，连接CF, O为CF的中点，连接 OE, OD .(1) 如图1，当a= 45°时，请直接写出 OE与OD的关系(不用证明)(2) 如图2，当45 ° < aV 90°时，(1)中的结论是否成立？请说明理由.(3) 当a= 360。时，假设AB= 4辺，请直接写出点 O经过的路径长7. 2021?鄂尔多斯1【探究发现】如图

4、1，/ EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处， / EOF = 90°,将/ EOF 绕点O旋转，旋转过程中，/ EOF的两边分别与正方形 ABCD的边BC和CD交于点E 和点F 点F与点C, D不重合.贝U CE, CF , BC之间满足的数量关系是 .2【类比应用】如图2，假设将1中的“正方形 ABCD改为“/ BCD = 120°的菱形 ABCD，其他条 件不变，当/ EOF = 60°时，上述结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请猜测结论并说明理由.3【拓展延伸】如图 3，/ BOD = 120°, OD= 3, OB

5、 = 4, OA 平分/ BOD , AB=佰，且 OB>2OA,点C是OB上一点，/ CAD = 60°，求OC的长.& 2021?湘潭如图一，在射线 DE的一侧以AD为一条边作矩形 ABCD , AD = 5v3 , CD=5，点M是线段AC上一动点不与点 A重合，连结BM ,过点M作BM的垂线交射线DE于点N,连接BN.1求/ CAD的大小;(2 )问题探究：动点 M在运动的过程中， 是否能使 AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由. / MBN的大小是否改变？假设不改变，请求出/MBN的大小；假设改变，请说明理由.(3) 问题解决：

6、如图二，当动点 M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F, MN的中点为H，求线 段FH的长度.9. ( 2021?娄底)如图，点 E、F、G、H分别在矩形 ABCD的边AB、BC、CD、DA (不包 括端点)上运动，且满足 AE= CG , AH = CF .(1) 求证： AEH CGF ;(2) 试判断四边形 EFGH的形状，并说明理由.(3) 请探究四边形 EFGH的周长一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明 理由.10. (2021?陕西)问题提出：(1) 如图1， ABC，试确定一点D，使得以A, B, C, D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题

7、探究：(2) 如图2,在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 10,假设要在该矩形中作出一个面积最大的 BPC，且使/ BPC = 90°，求满足条件的点 P到点A的距离；问题解决：(3) 如图3，有一座塔A,按规定，要以塔 A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 BCDE .根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，/ CBE = 120°,那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE ?假设可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；假设不可以，请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)B團311. (2021?

8、贵阳)(1)数学理解：如图 , ABC是等腰直角三角形，过斜边 AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系;(2)问题解决：如图 ，在任意直角 ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF ,分别交BC , AC于点E, F，假设AB= BE+AF，求/ ADB的度数；(3 )联系拓广：如图 ，在(2)的条件下，分别延长 ED, FD，交AB于点M , N,求旋转90°,得到线段CQ,连接 BP, DQ.CP绕点C顺时(1) 如图1，求证: BCPBA DCQ;(2) 如图，延长BP交直线DQ于点E.如图2,求证：BE丄DQ ;如图3,假

9、设厶BCP为等边三角形，判断 DEP的形状，并说明理由.13. (2021?吉林)如图，在矩形 ABCD 中，AD = 4cm, AB = 3cm, E 为边 BC 上一点，BE=AB,连接AE.动点P、Q从点A同时出发，点P以v2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线 AD - DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x (s),在运动过程中，点 P,点Q经过的路线与线段 PQ围成的图形面积为 y (cm2).(1) AE =cm,/ EAD =° ;(2) 求y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围;14. ( 2021?长春)如图，在 Rt ABC

10、中，/ C= 90°, AC= 20 , BC= 15.点 P 从点 A 出发，沿AC向终点C运动，同时点 Q从点C出发，沿射线 CB运动，它们的速度均为每秒 5 个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动当点 P不与点A、C重合时，过点P作PN丄AB于点N,连结 PQ,以PN、PQ为邻边作？PQMN .设？ PQMN与厶ABC重 叠局部图形的面积为 S,点P的运动时间为t秒.(1) AB的长为;PN的长用含t的代数式表示为 .(2 )当？PQMN为矩形时，求t的值；(3) 当？PQMN与厶ABC重叠局部图形为四边形时，求 S与t之间的函数关系式；(4) 当过点P且平行于BC的直

11、线经过？PQMN 边中点时，直接写出 t的值.如图，在等腰三角形ABC 中, / ACB = 120°,那么底边AB与腰AC的长度之比为 理解运用(1 )假设顶角为120°的等腰三角形的周长为 8+4匕，那么它的面积为 ;(2) 如图，在四边形 EFGH中，EF = EG= EH . 求证：/ EFG + / EHG = / FGH ; 在边FG, GH上分别取中点 M , N，连接 MN 假设/ FGH = 120° , EF = 10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为用含a的式子表示£数学中，常对同一个量图

12、形的面积、点的个数、三角形的内角和等用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次.“算两次也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.【理解】1如图1，两个边长分别为 a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；2如图2, n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=;【运用】3 n边形有n个顶点，在它的内部再画 m个点，以m+n个点为顶点，把 n边形剪 成假设干个三角形，设最多可以剪得 y个这样的三角形.当 n= 3, m= 3时，如图3,最多 可以剪得7个这样的

13、三角形，所以 y= 7. 当 n= 4, m= 2 时，如图 4, y=;当 n= 5, m=时，y = 9; 对于一般的情形，在 n边形内画m个点，通过归纳猜测，可得 y= 用含m、n的代数式表示请对同一个量用算两次的方法说明你的猜测成立.11<MHHII rr25SH> 7-17. 2021?鸡西如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边 AB在x轴上，AB、BC的长分别是一兀二次方程x2 - 7x+12 = 0的两个根BC > AB) , OA= 2OB，边 CD 交 y 轴于点E,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段 ED - DA向点A运动,运动的时间

14、为t (OWtv 6)秒，设 BOP与矩形AOED重叠局部的面积为 S.(1) 求点D的坐标；(2) 求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3) 在点P的运动过程中，是否存在点 卩，使厶BEP为等腰三角形？假设存在，直接写出18. (2021?舟山)小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、 推理与拓展.(1) 温故：如图 1,在厶ABC中，AD丄BC于点D，正方形 PQMN的边 QM在BC上， 顶点P, N分别在AB, AC上，假设BC = a, AD = h,求正方形PQMN的边长(用a, h表 示).(2) 操作：如何画出这个正方形 PQMN呢？如图2,小波画出了

15、图1的厶ABC，然后按数学家波利亚在?怎样解题?中的方法进行操作：先在 AB上任取一点 P'，画正方形 P'Q'M'N',使点Q', M'在BC边上，点 2在厶ABC 内，然后连结 BN'，并延长交 AC于点N,画NM丄BC于点M , NP丄NM交AB于点P, PQ丄BC于点Q,得到四边形 PQMN .(3) 推理：证明图 2中的四边形PQMN是正方形.(4) 拓展：小波把图 2中的线段BN称为“波利亚线，在该线上截取 NE= NM，连结EQ, EM (如图3),当/ QEM = 90°时，求“波利亚线 BN的长(用a,

16、 h表示). 请帮助小波解决“温故、“推理、“拓展中的问题.19. (2021?海南)如图，在边长为 1的正方形 ABCD中，E是边CD的中点，点 P是边AD 第8页(共91页)上一点(与点 A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点 Q.(1) 求证： PDE QCE;(2) 过点E作EF / BC交PB于点F,连结AF，当PB= PQ时，求证：四边形 AFEP是平行四边形;请判断四边形 AFEP是否为菱形，并说明理由.20. (2021?益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB= 4, BC = 6.假设不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点 A在x轴的正半轴上左右

17、移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.(1) 当/ OAD = 30。时，求点 C的坐标;(2) 设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为一时，求OA的长;2(3) 当点A移动到某一位置时，点 C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并21. (2021?天水)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1 )概念理解：如图 2,在四边形 ABCD中，AB= AD , CB= CD，问四边形 ABCD是垂美四边形吗？请说明理由;(2) 性质探究：如图1,四边形ABCD的对角线 AC、BD交于点O, AC丄BD .试证明：2 2 2 2ab2+cd2

18、= ad2+bc2；(3) 解决问题：如图3,分别以Rt ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE，连结CE、BG、GE. AC = 4, AB = 5,求GE的长.22. (2021?无锡)如图1,在矩形ABCD中，BC = 3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作 PAB关于直线PA的对称 PAB'，设点P的运动时间为 t (s).(1 )假设 AB = 2v3 . 如图2,当点B'落在AC上时，显然 PAB'是直角三角形，求此时 t的值； 是否存在异于图2的时刻，使得 PCB '是直角三角形？假设存在

19、，请直接写出所有符 合题意的t的值？假设不存在，请说明理由.(2)当P点不与C点重合时，假设直线 PB '与直线CD相交于点M，且当tv 3时存在某 一时刻有结论/ PAM = 45°成立，试探究：对于t>3的任意时刻，结论“/ FAM = 45° 是否总是成立？请说明理由.匿II囹2番用圍DC D c DC23. (2021?岳阳)操作体验：如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C '处.点F为直线EF 上一动点(不与E、F重合)，过点F分别作直线BE、BF的垂线，垂足分

20、别为点 M和N, 以PM、FN为邻边构造平行四边形 FMQN .(1) 如图1，求证：BE = BF;(2) 特例感知：如图 2,假设DE = 5, CF = 2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3) 类比探究：假设 DE = a, CF = b.如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示 QM与QN之间的数量关系，并证明；如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示 QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)D - 1cI ;F c24. (2021?盐城)如图 是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(I) 将矩形纸片沿

21、 DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图；(n)在第一次折叠的根底上，过点C再次折叠，使得点 B落在边CD上点B '处，如图，两次折痕交于点 O;(川)展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD，如图.【探究】式.图25. ( 2021?苏州)矩形 ABCD中，AB= 5cm,点P为对角线 AC上的一点，且AP= 2v5cm.如 图，动点M从点A出发，在矩形边上沿着 AtBC的方向匀速运动(不包含点C).设 动点M的运动时间为t (s), APM的面积为S (cm2), S与t的函数关系如图 所示.(1) 直接写出动点 M的运动速度为 cm/s, BC的长度为 cm；(2) 如图，动

22、点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点 N从点D出发，在矩形边上沿着 DtCtb的方向匀速运动，设动点 N 的运动速度为 v (cm/s).两动点 M , N经过时间x (s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M , N相遇后立即同时停止运动，记此时厶APM与厶DPN的面积分别为 S1(cm2), S2 ( cm2) 求动点N运动速度v ( cm/s)的取值范围； 试探究Si?S2是否存在最大值，假设存在，求出S1?S2的最大值并确定运动时间x的值;假设不存在，请说明理由26. (2021?资阳)在矩形ABCD中，连结AC,点E从点B出发，以每秒1个单位的

23、速度沿着At C的路径运动，运动时间为 t (秒).过点E作EF丄BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形 EFGH .(1) 如图，当 AB = BC = 8时,假设点H在厶ABC的内部，连结 AH、CH，求证：AH = CH ;S,求S与t的函数关系当Ov t< 8时，设正方形 EFGH与厶ABC的重叠局部面积为式;1: 3两局部，求t的值.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,27. (2021?宁波)这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1，在 ABC中，AB = AC, AD是厶ABC的角平分线，E, F分别是BD , AD上的点.求证：四边形 ABEF是邻余四边形.(

24、2)如图2，在5X 4的方格纸中，A, B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E, F在格点上.(3) 如图3,在(1 )的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q ,延长EF 交AC于点N.假设N为AC的中点，DE = 2BE, QB= 3，求邻余线 AB的长.ABC 中，AB = 6cm，动点28. (2021?衡阳)如图，在等边厶P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点 Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为t (s).过点P作PE丄AC于E，连接PQ交AC边于D 以CQ

25、、CE为边作平行四边形 CQFE .(1 )当t为何值时， BPQ为直角三角形;(2)是否存在某一时刻t,使点F在/ ABC的平分线上？假设存在，求出t的值，假设不存在，请说明理由;(3 )求DE的长;(4) 取线段BC的中点M，连接PM，将 BPM沿直线PM翻折，得 B' PM ,连接AB',29. (2021?绵阳)如图，在以点 O为中心的正方形 ABCD中，AD = 4,连接AC,动点E从点O出发沿OTC以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 到达点C停止.在运动过程中， ADE的外接圆交 AB于点F,连接DF交AC于点G,连接EF，将 EFG沿EF翻折， 得到 EFH .(

26、1) 求证： DEF是等腰直角三角形；(2) 当点H恰好落在线段 BC上时，求EH的长；(3) 设点E运动的时间为t秒， EFG的面积为S,求S关于时间t的关系式.第辽问图备用團30. 2021?扬州如图，四边形ABCD是矩形，AB= 20, BC = 10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角 GDC,/ G = 90 ° .点M在线段AB上，且AM = a,点P沿折线AD -DG运动，点Q沿折线BC - CG运动与点G不重合，在运动过程中始终保持线段 PQ/ AB.设PQ与AB之间的距离为 X.(1 )假设 a = 12. 如图1,当点P在线段AD上时，假设四边形AMQP的面积为48

27、,那么x的值为; 在运动过程中，求四边形 AMQP的最大面积；2如图2，假设点P在线段DG上时，要使四边形 AMQP的面积始终不小于 50,求a的取值范围.31. 2021?泰州如图，线段 AB = 8，射线BG丄AB, P为射线BG上一点，以 AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E,使/ EAP=/ BAP ,直线CE与线段AB相交于点F 点F与点A、B不重合.1求证： AEP CEP;2判断CF与AB的位置关系，并说明理由；3 求厶AEF的周长.遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(1)温故：如图 1,在厶ABC中，AD丄BC于点D，正方

28、形 PQMN的边 QM在BC上, 顶点P, N分别在AB, AC上，假设BC= 6, AD = 4，求正方形PQMN的边长.(2 )操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在?怎样解题?中的方法进行操作：如图2,任意画 ABC, 在 AB上任取一点 P',画正方形 P'Q'M'N'，使Q', M'在BC 边上，2在厶ABC内，连结 BN'并延长交 AC于点N，画NM丄BC于点 M , NP丄NM交AB于点P, PQ丄BC于点Q,得到四边形 PPQMN .小波把线段 BN称为“波利亚线.(3) 推理：证明图 2中的四边形PQMN

29、是正方形.(4) 拓展：在(2 )的条件下，在射线 BN上截取NE= NM，连结EQ , EM (如图3).当tan/ NBM=3时，猜测/ QEM的度数，并尝试证明.S120333. (2021?台州)我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3)，可以由假设干条对角线相等判定它是正多边形.例女口，各条边都相等的凸四边形，假设两条对角线相等，那么这个四边形是正方形.(1)凸五边形 ABCDE的各条边都相等. 如图1,假设AC= AD = BE = BD = CE,求证：五边形 ABCDE是正五边形； 如图2,假设AC= BE= CE,请判断

30、五边形 ABCDE是不是正五边形，并说明理由：(2 )判断以下命题的真假.(在括号内填写“真或“假)如图3,凸六边形 ABCDEF的各条边都相等. 假设AC= CE = EA,那么六边形 ABCDEF是正六边形；() 假设AD = BE = CF，那么六边形 ABCDEF是正六边形.()S334. (2021?天津)在平面直角坐标系中，O为原点，点A (6, 0),点B在y轴的正半轴上，/ ABO= 30° .矩形 CODE 的顶点 D, E, C 分别在 OA, AB, OB 上, OD = 2.(I)如图，求点E的坐标；(n)将矩形 CODE沿x轴向右平移，得到矩形 C '

31、; O ' D' E',点C, O, D , E的对 应点分别为 C ' , O ' , D ', E '.设OO'= t,矩形C' O' D ' E '与 ABO重叠部 分的面积为S.如图，当矩形C ' O ' D '与厶ABO重叠局部为五边形时， C ' E ' , E ' D'分 别与AB相交于点M , F，试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围；35. (2021?青岛)：如图，在四边形ABCD 中，AB/ CD，/ ACB =

32、 90°, AB= 10cm,BC= 8cm, OD垂直平分A C .点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1cm/s； 同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另 一个点也停止运动. 过点P作PE丄AB，交BC于点E,过点Q作QF / AC,分别交AD , OD于点F , G.连接OP, EG .设运动时间为t (s) (0v tv 5),解答以下问题：(1 )当t为何值时，点E在/ BAC的平分线上？(2 )设四边形PEGO的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；3在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形 PEGO的面积最大？

33、假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由；4连接OE, OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE丄OQ ?假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由.36. 2021?白银阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图 ，在等边厶ABC中，M是BC边上一点不含端点 B, C, N是厶ABC的外角/ ACH的平分线上一点，且 AM = MN .求证：/ AMN = 60°.点拨：如图 ，作/ CBE = 60°, BE与NC的延长线相交于点 E,得等边 BEC,连接EM .易证： ABM EBM ( SAS),可得 AM = EM,/ 1 = Z 2 ;又 AM =

34、 MN，贝U EM=MN，可得/ 3 =/ 4;由/ 3+ / 1 = / 4+ / 5= 60 °,进一步可得/ 1 = / 2=/ 5,又因 为/ 2+/ 6 = 120°,所以/ 5+ / 6= 120°,即：/ AMN = 60°.问题：如图 ，在正方形 A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点(不含端点 B1, C1), N1 是正方形 A1B1C1D1的外角/ D1C1H1的平分线上一点， 且A1M1= M1N1 .求证：/ A1M1N1 =90°. 37. 2021?济宁如图1,在矩形 ABCD中，AB= 8, AD = 10,

35、 E是CD边上一点，连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于1求线段CE的长；2 如图2, M , N分别是线段 AG, DG上的动点与端点不重合，且/ DMN =Z DAM ,设 AM = x, DN = y. 写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值； 是否存在这样的点 M，使 DMN是等腰三角形？假设存在，请求出x的值；假设不存在,请说明理由.38. 2021?连云港问题情境：如图1 ,在正方形 ABCD中，E为边BC上一点不与点B、C重合，垂直于AE的一条直线 MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的

36、数量关系，并说明理由.问题探究：在“问题情境的根底上.1如图2，假设垂足P恰好为AE的中点，连接 BD，交MN于点Q,连接EQ，并延长 交边AD于点F .求/ AEF的度数；2如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将 APN沿着AN 翻折，点P落在点P'处，假设正方形ABCD的边长为4, AD的中点为S,求P'S的最小值. 问题拓展：如图4,在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点， 将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C恰好经过点 A ,C'N交AD于点F .分别过点A、F作AG丄MN , FH丄MN，

37、垂足分别为 G、H .假设AG= |，请直接写出FH的E1C39. 2021?威海如图，在正方形 ABCD中，AB= 10cm, E为对角线 BD上一动点，连接第18页共91页AE, CE,过E点作EF丄AE,交直线BC于点F . E点从B点出发，沿着 BD方向以每秒 2cm的速度运动，当点 E与点D重合时，运动停止.设 BEF的面积为ycm2, E点的运 动时间为x秒.(1) 求证：CE = EF;(2 )求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量 x的取值范围；(3) 求厶BEF面积的最大值.40. (2021?达州)箭头四角形模型规律如图 1,延长 CO 交 AB 于点 D，那么/ BO

38、C = Z 1 + Z B=Z A+ / C+Z B.因为凹四边形 ABOC形似箭头，其四角具有“Z BOC=Z A+ Z B+ Z C这个规律，所以 我们把这个模型叫做“箭头四角形.模型应用(1) 直接应用： 如图 2,Z A+Z B+ Z C+ Z D+Z E+ Z F =. 如图3,Z ABE、Z ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF交于点F，Z BEC =120 ° ,Z BAC = 50°，那么Z BFC =. 如图 4, BOi、COi 分别为Z ABO、Z ACO 的 2021 等分线(i= 1, 2, 3，2021,2021).它们的交点从上到下依次为O

39、1、O2、O3、O2021.Z BOC= m°,Z BAC=n °，那么Z BO1000C=度.(2) 拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD中，BC= CD , Z BCD = 2Z BAD . O是四边形ABCD内一点，且 OA = OB = OD .求证：四边形 OBCD是菱形.41. 2021?自贡1如图1 , E是正方形 ABCD边AB上的一点，连接 BD、DE,将/ BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G . 线段DB和DG的数量关系是 ; 写出线段BE, BF和DB之间的数量关系.2当四边形ABCD为菱形，/ ADC

40、 = 60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将/ BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G . 如图2,点E在线段AB上时，请探究线段 BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论 并给出证明； 如图3,点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M,假设BE = 1, AB = 2, 直接写出线段GM的长度.四边形综合题参考答案与试题解析一选择题共1小题1.【解答】 解：如图，过点 C作CE丄AB于E,那么四边形 ADCE 为矩形，CD = AE = x,Z DCE = Z CEB = 90°,那么/

41、BCE=Z BCD -Z DCE = 30°, BC = 12 - x,在 Rt CBE 中，tZ CEB = 90°,1 1 BE=尹C = 6- 2x,v311 AD = CE= v3BE= 6- x, AB = AE+BE = x+6- x= x+6,梯形 ABCD 面积 S= ( CD+AB)?CE= ( x+ 1x+6)?6v3-导x)= - 3-?x2+3v3x+18v3 =2+24 霭,当 x= 4 时，S最大=24.即CD长为4m时，使梯形储料场 ABCD的面积最大为24v3m2;2. 【解答】 解：依题意，得 2sin a+1 x - v3 = 0,v3解

42、得 sin a=2 Ta是锐角， a= 60°.故答案是：60°.3. 解答】解：连接CF .多边形 ABCDEF是正六边形,AB/ CF , CF = 2BA,?= 2?TTT/ ?= ? ?,?. ?= 2?+ ?故答案为2T?+ ?三.解答题共38小题4. 【解答】 解：1 BP+QC= EC;理由如下：四边形ABCD是正方形，.BC= CD，/ BCD = 90°,由旋转的性质得：/ PEG = 90 ° , EG= EP,/ PEQ+ / GEH = 90°,/ QH 丄 GD,/ H = 90°,/ G+ / GEH =

43、90°,/ PEQ=/ G,又/ EPQ+ / PEC= 90°,/ PEC+ / GED = 90°,EPQ=/ GED,/ ? / ?在厶 PEQ 和厶 EGD 中， ? ?,/ ?/ ? PEQBA EGD ASA, PQ= ED, BP+QC = BC- PQ = CD - ED = EC,即 BP+QC = EC;故答案为：BP+QC = EC;21中的结论仍然成立，理由如下：由题意得：/ PEG= 90°, EG = EP,/ PEQ+ / GEH = 90°,/ QH 丄 GD,/ H = 90°,/ G+ / GEH

44、= 90°,/ PEQ=/ G,四边形ABCD是正方形，/ DCB = 90°, BC= DC,/ EPQ+ / PEC = 90°,/ PEC+ / GED = 90°,/ GED = / EPQ ,/?=? / ?在厶 PEQ 和厶 EGD 中， ? ?,/ ?=?/ ? PEQBA EGD ASA, PQ= ED, BP+QC = BC- PQ = CD - ED = EC,即 BP+QC = EC; 3 分两种情况： 当点 P 在线段 BC 上时，点 Q 在线段 BC 上，由2可知：BP = EC- QC ,/ AB= 3DE = 6, DE =

45、 2, EC = 4,bp= 4 - 1 = 3;3 所示： 当点 P 在线段 BC 上时，点 Q 在线段 BC 的延长线上，如图同2可得： PEQEGD AAS, PQ= DE= 2，QC = 1, PC= PQ- QC= 1 ， BP=BC- PC=6- 1=5； 综上所述，线段 BP 的长为 3或 55. 【解答】(1)解： AEG是等边三角形；理由如下：四边形 ABCD是菱形，/ BAD = 120 ° ,1 AD / BC, AB = BC= CD = AD , AB/ CD，/ CAD = BAD = 60°,/ BAD+ Z ADC = 180°,

46、Z ADC = 60°,/ GH / DC , Z AGE=Z ADC = 60°, Z AGE=Z EAG=Z AEG = 60 ° , AEG是等边三角形；证明： AEG是等边三角形， AG= AE,/ CF = AG, AE= CF ,四边形ABCD是菱形， Z BCD = Z BAD = 120 ° , Z DCF = 60°=Z CAD,?= ?在厶 AED 和厶 CFD 中，Z ?Z ?= ? AED CFD ( SAS) DE = DF , Z ADE =Z CDF ,vZ ADC = Z ADE+ Z CDE = 60°

47、;, Z CDF + Z CDE = 60°,即Z EDF = 60 ° , DEF是等边三角形；(2) 解： DEF是等边三角形；理由如下：第24页(共91页)同1得： AEG是等边三角形, AG= AE,/ CF = AG, AE= CF ,四边形ABCD是菱形，/ BCD = Z BAD = 120 °，/ CAD= -/ BAD = 602/ FCD = 60°=/ CAD,?= ?在厶 AED 和厶 CFD 中，/ ?/ ?= ? AED CFD ( SAS), DE = DF , / ADE =/ CDF ,/ ADC = / ADE -/

48、CDE = 60°,/ CDF -/ CDE = 60°,即/ EDF = 60 ° , DEF是等边三角形.6. 【解答】 解：(1) OE= OD , OE丄OD ;理由如下：由旋转的性质得： AF = AC, / AFE = / ACB ,四边形ABCD是正方形， / ACB=/ ACD = / FAC= 45°,1 / ACF =/ AFC= 同理：OD= -CF, - OE= OD= OC = OF , / EOC= 2/ EFO = 45°,/ DOF = 2/ DCO = 45 / DOE = 180°- 45°

49、;- 45°= 90° , OE丄 OD; ( 180°- 45°)= 67.5° , / DCF/ EFC = 22.5 ° ,/ FEC = 90 ° , O 为 CF 的中点，1 OE= 2cf = OC= OF ,(2)当45°V aV 90°时，(1)中的结论成立，理由如下：延长EO到点M，使OM = EO,连接DM、CM、DE，如图2所示：/ O为CF的中点，OC = OF,?= ?在厶 COM 和厶 FOE 中，/ ? / ?= ? COM FOE (SAS),/ MCF =Z EFC ,

50、CM = EF,四边形ABCD是正方形，AB= BC = CD，/ BAC = Z BCA = 45°, ABC绕点A逆时针旋转 a得厶AEF , AB= AE= EF= CD，AC=AF， CD = CM, / ACF = Z AFC ,/ ACF =/ ACD + / FCD , / AFC = / AFE + / CFE , / ACD = / AFE = 45/ FCD=/ CFE=/ MCF/ EAC+ / DAE = 45°, / FAD+ / DAE = 45° ,/ EAC=/ FAD在厶 ACF 中，V/ ACF + / AFC+ / CAF =

51、 180° ,/ DAE+2/ FAD+/ DCM+90°= 180°V/ FAD+/ DAE= 45°/ FAD+/ DCM = 45°/ DAE=/ DCM?= ?在厶 ADE 和厶 CDM 中，/ ?/ ?= ? ADE CDM (SAS), DE= DMV OE= OM OE 丄 OD ,?= ?在厶 COM 和厶 COD 中， / ?=?/ ?= ?第26页(共 91页) COM COD (SAS), OM = OD , OE= OD, OE= OD, OE 丄 OD ;(3) 连接AO,如图3所示：/ AC= AF, CO = OF

52、 , AO 丄 CF ,/ AOC= 90°,点O在以AC为直径的圆上运动，T a= 360°,点O经过的路径长等于以 AC为直径的圆的周长,/ AC= v2AB= v2 X4v2 = 8,点O经过的路径长为：nd= 8 n7. 【解答】 解：(1)如图1中，结论：CE+CF = BC .理由如下:四边形ABCD是正方形， AC丄 BD, OB = OC,Z OBE=Z OCF = 45/ EOF = Z BOC= 90°,/ BOE=Z OCF, BOEA COF (ASA), BE= CF , CE+CF = CE+BE= BC .故答案为 CE+CF = B

53、C .连接FJ .四边形 ABCD是菱形，/ BCD = 120 °1BC./ BCO=Z OCF = 60°,/ EOF+ / ECF = 180°, O, E, C, F四点共圆，/ OFE = Z OCE= 60°,/ EOF = 60 ° , EOF是等边三角形， OF = FE，/ OFE = 60°,/ CF = CJ,/ FCJ = 60°, CFJ是等边三角形， FC = FJ,/ EFC = / OFE = 60°,/ OFJ = / CFE , OFJ EFC ( SAS), OJ= CE,1

54、CF+CE = CJ+OJ = OC= 2BC,(3) 如图3中，由OB>2OA可知 BAO是钝角三角形，/ BAO>90°，作AH丄OB于在 Rt ABH 中，BH= 213- 3?字,/ OB= 4,V13- 3?3 OH =-或 2 OA= 2OH = 1 或 3 (舍弃)，/ COD + / ACD = 180°, A, C, O, D四点共圆，/ OA 平分/ COD , / AOC=/ AOD = 60°, / ADC = / AOC= 60°, + x= 4,31解得x= / CAD = 60°,或一，2 2 ACD是

55、等边三角形，由2可知：OC+OD = OA,&四边形ABCD是矩形,/ ADC = 90°,/ tan/ DAC =? ?5V3/ DAC = 30°(2)如图一(1)中，当 AN = NM时，/ BAN=/ BMN = 90°, BN= BN , AN= NM , Rt BNA 也 Rt BNM ( HL ), BA= BM ,在 Rt ABC 中，/ ACB = / DAC = 30° , AB= CD = 5, AC= 2AB = 10,/ BAM = 60°, BA= BM , ABM是等边三角形， AM = AB = 5, CM = AC AM = 5.如图一2中，当 AN= AM 时，易证/ AMN =/ ANM = 15s-/ BMN = 90°,/ CMB = 75°,vZ MCB = 30°,/ CBM = 180° 75°- 30°= 75°,/ CMB = Z CBM , - CM = CB= 5v3 ,综上所述，满足条件的 CM的值为5或5v3