勾股定理知识点+对应类型

1、第二章 勾股定理、平方根专题勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根实数近似数、有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算开立方运算定义、性质 第一节 勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数：满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

2、 *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边

3、上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。5.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为的线段二、平方根：（1119的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。2、平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个

4、正数a的正的平方根，记作“”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“”，这两个平方根合起来记作“±”。（ a叫被开方数，“”是二次根号，这里“”，亦可写成“”）0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。负数没有平方根。3、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。4、（1）平方根是它本身的数是零。（2）算术平方根是它本身的数是0和1。（3）（4）一个数的两个平方根之和为0三、立方根：（19的立方）1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x3=a，那么x就叫做a的立方根。记作“”。2、立方根的

5、性质：任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.互为相反数的数的立方根也互为相反数，即=3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方及立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是1，0，-1。5、平方根和立方根的区别：（1）被开方数的取值范围不同：在中，在中，a可以为任意数值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。6、立方根和平方根：不同点：（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±中的被开方数a是非负数；中的被

6、开方数可以是任何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根； （3）立方根等于本身的数有0、1、1，平方根等于本身的数只有0共同点：0的立方根和平方根都是0四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，）。 有理数：有限小数或无限循环小数 注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：实数有理数无理数 （无限不循环小数）整数分数有限小数或无限循环小数 实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义及在有理数范围内的意义是一样的。实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。两

7、个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法四舍五入法4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数及数轴上的点是一一对应的。勾股定理：（一）结合三角形：1.已知ABC的三边、满足，则ABC为三角形2.在ABC中，若=（+）（-），则

8、ABC是三角形，且3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为 1.已知 及互为相反数，试判断以、为三边的三角形的形状。2.已知：在ABC中，三条边长分别为、，=，=2，=（>1） 试说明：C=。3.若ABC的三边、满足条件，试判断ABC的形状。4.已知则以、为边的三角形是（二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动米（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距

9、离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x及y的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米2. 直角边及斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ）A. B. C. D. 变：如图，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，C

10、D=h。求证：（1）（2）（3）以为三边的三角形是直角三角形试一试：（1）只需证明，从左边推到到右边（2）（3），注意面积关系的应用3. 爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱的中点E，再连结AE、，昆虫乙如果沿途径爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2）如图b，假设昆虫甲从点以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿向下爬行，同时昆

11、虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2.如图，一块砖宽AN=5，长ND=10，CD上的点F距地面的高FD=8，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点

12、B，则它走过的路程最短为（ ）A. B. C. D.4.折叠问题：1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点B及点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）A. B. C. D. 1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水平距离是米。 3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC50米

13、，B60°，则江面的宽度为。（三）求边长：1. （1）在R中，、分别是A、B、C的对边，C=已知：=6，=10，求； 已知：=40，=9，求；2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。（五）方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得MAN30°，当他到B点时，测得MBN45°，AB100米，你能算出AM的长吗？2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米 此时轮船离开出发点多少km? 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那

14、么在此过程中轮船共耗油多少升?（六）利用三角形面积相等：1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得ABC，则边AC上的高为（ ）A. B. C. D. （七）旋转问题：1.如图，点P是正ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A旋转后，得到，则点P及点P之间的距离为，APB=2.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=，将ABH绕点A逆时针旋转到AC处，若AH=3，试求出H、两点之间的距离。3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：以PE为边长的正方形的面积已知直角三角形ABC中，ACB=，CA=CB，圆心角为

15、，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别及直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，试说明MN的理由。如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一点，求证：BD。已知AOB=90°，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点及点C重合，它的两条直角边分别及OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。当三角板绕点C旋转到CD及OA垂直时，如图，易证：；当三角板绕点C旋转到CD及OA不垂直时，如图、这两种情况下，上述结论还是否成立？若成立，请给及证明；若不成立，线段OE、OC、OD之间有怎样的等量关系？请写出你

16、的猜想，不需证明。试一试：对于第1问，OD=CE，问题的实质是，对于第二问，通过作辅助线，将问题转化为第1问可解决。（8） 折叠问题：1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D及点B重合，那么折叠后DE的长是多少？2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE及AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30，求折叠的AED的面积4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=

17、6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且及AE重合，你能求出CD的长吗？5.如图，B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6（1） ACD是什么三角形？为什么？（2） 把ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。一、平方根：（一）文字类题目：一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方根等于它本身，这个数是；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是一个数的立方根等于它本身，这个数是；一个正数的两个平方根的和是_一个正数的两个平方根的商是_（二）. 定义：1.（1） 81 的平方根是的数学表达式是（ ）A. B.

18、 C. D.的平方根是（ ）A. 9 B. C. D.表示，=。16的数是，将16开平方得，因此平方及互为逆运算。 4的平方根是；的平方根是。的平方根是0.81。（2）数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由。（1）-64； （2）（-4）； （3）-5 （4）（3）若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是若3x-6总有平方根，则x的取值范围是。若式子x的平方根只有一个，则x的值是。（4）已知，那么-=已知a为实数，那么等于（ ）A. a B. a C. -1 D. 0（5）若，则+=已知，那么+=已知、满足：，那么-8的立方根为（6）代数式的最大值是，这时、之间的关系是（7

19、）若，则=；若，则的平方根是（8）若，则x=，则x=（9）下列个数中：没有平方根的有个2. 已知ABC的三边分别是a、b、c，且满足，求c的取值范围。已知、为实数，且，解关于的方程：（+2）+=-1。已知4-49=0，求的值。3. 列方程求值： （1）=196； （2）5-10=0； （3）36（-3）-25=04. （1）已知一个正数的平方根是2-1和3-，求这个数（2）已知及是一个数的两个平方根，求的平方根。5. 估算：（1）比较大小：及及（2）a、b为两个连续的整数，且，则=满足-<x<的整数是；实数的绝对值是。（3）若=，则估计的值所在的范围是（ ）A. B. C. D.6

20、. 计算：（1）（2）、下列计算正确的是（）A、 B、 C、 D、7. 平方根的性质：二、立方根1. 定义：（1）如果a是x的立方根，那么下列说法正确的是（ ）A. a也是x的立方根 B. a是-x的立方根C. a是-x的立方根 D. a和a都是-x的立方根（2）下列各式：，其中错误的有 个2. 根据定义求值：（1）求值： （2）（2）方程：3. 估算：（1）估计68的立方根大小在（ ）A. 2及3之间 B.3及4之间 C.4及5之间 D.5及6之间（2）通过估算的整数部分为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9（3）估算到个位=4. 平方根及立方根相结合：（1）若2x+1的平方根是，那

21、么5x+4的立方根是（2）已知，求的值。（3）已知m满足，k、n满足，求的值三、实数：1. 实数的定义：1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）无限小数是无理数； （2）有理数都是是有限小数；（3）无理数都是无限小数；（4）带根号的数都是无理数（5）任何实数的偶次幂都是正实数； （6）在实数范围内，若，则=。 （7）0是最小的实数； （8）0是绝对值最小的实数； （9）数轴上的点及有理数是一一对应的（10）数轴上的点及实数是一一对应的2.下列说法正确的是 （ ）A.不存在最小的实数 B.有理数是有限小数C.无限小数都是无理数 D.带根号的数都是无理数3.下列说法正确的是（ ）A.无限小数是无理数 B.不循环小数是无理数 C.无理数的相反数还是无理数 D.两个无理数的和还是无理数4. 把下列各数填入相应的集合内：、0、3.14159、-0.020190002 0.12121121112（1）有理数集合 （2）无理数集合 （3）正实数集合 （4）负实数集合 2. 有效数字、科学记数法、近似数：注意：2000有4个有效数字，精确到个位有1个有效数字，精确到千位1. 有几个有效数字，保留几个有效数字：用四舍五入法，按要求取近似值：.地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字）25.8万（保留2个