第10章 稳恒磁场

1、第九章 稳恒磁场静止电荷在周围只产生电场静电场，而同一电荷在运动时周围既产生电场又产生磁场。由于运动和静止是相对的，所以关于电场和磁场的这种现象说明电场和磁场有相对性联系。磁场的性质用磁感应强度这一物理量来描述，磁感应强度通常随时间而改变，若磁感应强度不随时间而改变，则称为稳恒磁场。本章将研究稳恒电流产生的磁场，导出磁场中的高斯定理和安培环路定理，从而得到稳恒磁场的场方程，并阐明稳恒磁场的基本规律。最后，研究磁场对电流和带电粒子的作用以及磁场及磁介质的相互作用及影响。一、教学目标1、熟练掌握毕奥-萨伐尔定律2、掌握安培环路定律3、掌握磁场叠加原理4、理解洛仑兹力和安培力的公式，了解磁矩的概念二

2、、教学重点安培环路定律的应用三、教学难点毕奥-萨伐尔定律的应用四、教学方法讲授法、公式法、图象法、类比法五、教学过程§9.1 磁场 磁感应强度一、基本磁现象磁现象：1、天然磁体周围有磁场；2、通电导线周围有磁场；3、电子束周围有磁场。 (这三条表现为磁场使小磁针发生偏转)4、通电线能使小磁针偏转；5、磁体的磁场能给通电线以力的作用；6、通电导线之间有力的作用；7、磁体的磁场能给通电线圈以力矩作用；8、通电线圈之间有力的作用； 9、天然磁体能使电子束偏转。（后面这几条表现为相互吸引、排斥、偏转等）1820年，奥斯特发现了电流的磁效应。安培指出：天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动，

3、每个磁性分子内部，都自然地包含一环形电流，称为分子电流，每个分子电流相当于一个极小的磁体，称为分子磁距。电荷的运动是一切磁现象的根源，一方面，运动的电荷在其周围激发磁场；另一方面，运动电荷在空间除了受到电场力的作用外，还受到磁场力的作用。二、磁感应强度1、磁场1）磁力的传递者是磁场2）磁场对外的重要表现磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作功，表明磁场具有能量磁场与电场一样、是客观存在的特殊形态的物质。2、磁感应强度带电粒子在磁场中运动所受的力与运动方向有关，实验发现，带电粒子在磁场中沿某一特定方向运动时不受力，此方向与电荷无关。带电粒子

4、在磁场中沿其他方向运动时，垂直于与特定直线所组成的平面. 当带电粒子在磁场中垂直于此特定直线运动时受力最大。，的大小与无关。 定义磁场强弱的物理量磁感应强度。方向规定为小磁针N极所指的方向，单位为特斯拉T。，（高斯）运动电荷在磁场中受力三、磁通量1、磁力线磁场的分布可以用磁感应线来直观地描述，线上每点的切线方向代表该点的磁感应强度的方向，垂直通过单位面积的磁感应线数目，等于该点的大小：磁感应线的特点：1）、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，因此磁场是涡旋场。磁力线是无头无尾的闭合回线。2)、任意两条磁感应线在空间不相交。3)、磁感应线的环绕方向和电流方向之间可以用右手定则来表示。2、磁通量

5、穿过磁场中任一曲面的磁感线条数，称为穿过该曲面的磁通量。穿过任一面元的磁通量为:穿过任一曲面S的磁通量为 穿过任一闭合曲面的磁通量为 四、磁场中的高斯定理规定闭合曲面有里向外为法线正方向，穿过闭合曲面的总磁通量为由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，因此穿入闭合曲面的磁感应线数必然等于穿出该闭合曲面的磁感应线条数，所以 磁场中的高斯定理。磁场中高斯定理的微分形式这说明磁场是无源场。练习：1、求均匀磁场中半球面的磁通量。 2、在均匀磁场中，过YOZ平面内面积为S的磁通量。=3S五、毕奥-萨伐尔定律电流在其周围产生磁场，其规律的基本形式是电流元产生的磁场和该电流元的关系。以表示恒定电流的一电流元，以表

6、示从此电流元指向某一场点P的径矢，与间的夹角为。实验指出，此电流元在P点产生的磁场由下式决定：式中叫真空磁导率。此公式是1820年首先由毕奥萨伐尔根据对电流的磁作用的实验结果分析得出的，现在就叫毕奥萨伐尔定律。是矢量，的方向垂直于与所决定的平面，指向从的方向（与电流方向相同）经（）转向时右手螺旋前进的方向(右手螺旋定则)，的大小为：任意形状的载流导线所产生的磁感强度为：六、毕奥-萨伐尔定律的应用1、载流直导线的磁场【例1】求距长直导线为的任一点P的磁感强度。解：如图1，根据毕奥-萨伐尔定律，电流元产生的元磁感强度的大小为： 方向垂直纸面向里。每一电流元产生的方向都相同，因此求总磁感应强度B的大

7、小时，只需要求的代数和： 消去r得：，图1式中和和分别是A1和A2两端处角的数值。若导线为无限长，则有：上式表明，无限长的载流直导线周围的磁感强度B与距离的一次方成反比。若导线为半无限长，则若在直导线的延长线上，B=02.圆形电流轴线上的磁场【例2】半径为R的圆形载流导线在圆心O点的磁感应强度。解：如图2，在圆电流上任取一电流元，它在轴上P点产生的大小为图2，每一对位置对称的电流元在P点产生的抵消，可知P点的磁场只有沿x轴。若，；当时则得圆心处的磁感应强度为：；对于圆心角为度时圆心处的磁感应强度为：。3.载流直螺线管内部的磁场如图所示，螺线管的半径为R，总长度为L，单位长度内的匝数为n. 计算

8、此螺线管轴线上任一场点P的磁感应强度B.op+解 在距P点l处取一小段dl，则该小段上有ndl匝线圈，对点P而言，这一小段上的线圈等效于电流强度为Indl的一个圆形电流. 该圆形电流在P点所产生的磁感应强度dB的大小为 讨 论：（1）若 ，对无限长的螺线管 （2）对长直螺线管的端点 【例3】如图3，载流线圈DABCD，其中CD段是以OC为半径的圆弧，圆心角为，且。求线圈中通有电流I时在O点所产生的磁感应强度。图3解：可将线圈分为AB、BC、CD、DA四段来考虑，各段在O点产生的磁场分别为、。因为BC和DA的延长线通过O点，故它们在O点磁场为零。CD段电流的磁场等于一圆形电流在圆心处的，即。AB

9、段电流的磁场由于与的方向相反，故O点的磁感应强度为七、匀速运动点电荷的磁场由于电流是运动电荷形成的，所以可以从电流元的公式导出匀速运动电荷的磁磁场公式。设电流元的截面为S，其中载流子的数密度为n，每个载流子的电荷都是q，并且都可以漂移速度v运动，v的方向与的方向相同。整个电流元在P点产生的磁场可以认为是这些以同样速度v运动的载流子在P点产生的磁场的同向叠加。由于，而且此电流元内共有个载流子，所以每个载流子在P点产生的磁场就应该是由于和方向相同，所以，因而有的方向总是垂直于和，其大小为式中为和之间的夹角。当时，即在运动点电荷的正前方和正后方，该电荷的磁场为零；当时，即运动点电荷的两侧与其运动速度

10、垂直的平面内，有最大值。一个静止电荷的电场为，在电荷运动速度较小时，此式仍可近似地用来求运动电荷的电场。将此式与对比，并利用的关系，可得这就是在点电荷运动速度为的参考系内该电荷的磁场与电场的关系。八、载流线圈的磁矩 对于通电平面载流线圈，引入磁矩的概念来描述其磁性。磁矩的定义为电流的磁矩的大小为电流与电流所环绕的面积的乘积，方向为线圈的法线方向。若线圈有N匝，则此线圈的磁矩为 练习：求圆心O点的B。（1） （2） （3） （4）（1） 向里 （2） 向外 （3） 向外（4） 向里 （这里的角度是）§9.2 安培环路定理一、安培环路定理研究真空中一无限长载流直导线的磁场，取一平面与载流

11、直导线垂直，并以这平面与导线的交点O为圆心，在平面上作一半径为R的圆周，则在圆周上任意一点的磁感应强度B的大小均为，若选定圆周的绕行方向为逆时针方向，则圆周上每一点的B的方向与线元的方向相同，B沿上述圆周的积分为：式中，积分回路L的绕行方向与电流方向呈右手螺旋关系，电流取正值，反之电流取负值。在恒定电流的磁场中，磁感强度B沿任何闭合环路L的线积分，等于路径L所包围的电流强度的0倍，这就是安培环路定理。式中电流的正负规定如下：右手四指沿回路L的绕行方向，穿过回路L的电流方向与伸直的拇指方向相同时I取正，相反时I取负，式中为B与回路L绕行方向之间的夹角。二、安培环路定理的应用1.长直载流螺线管内磁

12、场分布 【例4】无限长直螺线管的磁场解：如图4，密绕着线圈的圆管称为螺线管。螺线管无限长，单位长度的匝数为n，线圈内通以电流I。图4由于螺线管无限长，所以管外磁场为零，管内磁场是均匀的，磁感强度B与管的轴线平行。2.环形载流螺线管内磁场分布 【例】载流环形螺线管内的磁场分布已知：I，N，R1，R2。其中N导线总匝数计算环流利用安培环路定理 则 且 则3.无限长载流圆柱导体内外磁场分布 【例】无限长圆柱载流导体的磁场，已知I，R，电流沿轴向在截面上均匀分布。电流和磁场都是轴对称分布，在圆柱外面r处沿磁感线方向作圆形积分环路L，利用安培环路定理 得 则若，利用安培环路定理 则 讨论：若是长直载流圆

13、柱面则 【例】同轴的两筒状导线通有等值反向的电流，内外半径分别为求B分布 【例】如图11，有一个边长为b的正方形线框，共绕2匝，通有电流I，求线框中心O处的磁感应强度。解：线框每一边电流在O点产生磁场的方向图11均相同，故O点的磁场为每一边线段所产生的磁场和。、，所以每一边电流在O点的磁感应强度为：§9.3 磁场对载流导线的作用一、安培定律安培力：电流元在磁场中所受到的力 大小 方向：应用右手螺旋定则确定载流导线受到的磁力 直导线磁场对载流导线的作用力，其本质是磁场对导线中形成电流的运动电荷的洛仑兹力。欲求磁场对载流导线的作用力，先分析一个电流元在磁场中受力。电流元中电荷数，所受洛仑

14、兹力整个导线受力（安培力）二、无限长两平行载流直导线间的相互作用力 设有两根平行长直导线，分别通有电流I1和I2，它们之间的距离为d，如图10。导线直径甚小于d。求每根导线单位长度段受另一电流的磁场的作用力。电流I1在电流I2处所产生的磁场为：载有电流I2的导线单位长度线段受的安培力为：同理，载流导线I1单位长度线段受电流I2的磁场的作用力也等于这一数值，即当电流I1和I2方向相同时，两导线相吸；相反时，则相斥。在国际单位中，电流的单位安就是根据上式规定的。三、磁场对载流线圈的作用平面载流矩形线圈在均匀磁场中，磁场对线圈的作用即磁场对线圈各边作用的总效果；由，磁场对ab和cd边的作用力分别为F

15、1、F1¢但此二力相互抵消，不会引起线圈转动。磁场对ad和bc边的作用力分别为F2、F2¢，方向如图9，此二力形成的力矩为图9此式用矢量积表示为如果定义：并称之为载流线圈的磁偶极矩，简称磁矩则：对磁矩的说明：是线圈的法向(和线圈中的电流方向成右手螺旋关系)的单位矢量。磁矩单位：A×m2原子、电子、质子等微观粒子也有磁矩。在此力矩的作用下，线圈将发生转动。注意：力矩的方向是沿轴的方向，不是指“顺时针”或“反时针”方向。大小：时，(时线圈为稳定平衡状态；时为不稳定平衡状态)时，【例9】求均匀磁场对图中半圆形导线的作用力。解：在半圆形导线上任取电流元，受力大小为半圆形导

16、线两分力大小(为所对的圆心角)考虑所有电流元的贡献由电流分布的对称形或计算均可知于是只有方向：向上············abcdIa/b/四、磁力的功1.载流导线在磁场中运动时磁力所做的功如图，ab长为l，电流I，ab边受力 方向向右。磁力F所做功为：在匀强磁场中当电流不变时，磁力的功等于电流强度乘以回路所环绕面积内磁通量的增量，即2、载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功设线圈在磁场中转动微小角度dj时，使线圈法线n与B之间的夹角从j变为j+ dj,线圈受磁力矩 则M作功，

17、使j减少，所以磁力矩的功为负值，即线圈从j1转到j2时对于变化的电流或非匀强场 或§9.4 磁场对运动电荷的作用一、洛伦兹力产生磁力的场叫磁场。一个运动电荷在它的周围除产生电场外，还产生磁场。另一个在它附近运动的电荷受到的磁力就是该磁场对它的作用。如图5，在某一惯性参考系S中观察一个运动电荷在另外的运动电荷周围运动时，它受到的作用力F一般总可以表示为两部分的矢量和。图5其中：电场力，磁场力或磁力，洛伦兹力。式中矢量B是由此式定义的描述磁场本身性质的矢量，叫磁感应强度。单位是特斯拉，另外还常用高斯，其中。产生磁场的运动电荷或电流可称为磁场源。在有若干个磁场源的情况下，它们产生的磁场服从

18、叠加原理。以表示第个磁场源在某处产生的磁场，则在该处的总磁场B为 在说明磁场的规律时，类比电通量，也引入磁通量的概念。通过某一面积的磁通量的定义是：它等于通过该面积的磁感线的总条数。二、带电粒子在磁场中的运动图6设一个质量为m带电量为q的正离子，以速度v沿垂直于磁场方向进入一均匀磁场中，如图6。受到的磁场力半径R为：周期如图7，如果一个带电粒子进入磁场时的速度V的方向不与磁场垂直，则可将此入射速度分解为沿磁场方向的分速度和垂直于磁场方向的分速度，后者使粒子产生垂直于磁场方向的圆周运动，运动半径，运动的周期。粒子平行于磁场方向的分速度不受磁场的影响，因而粒子将具有沿磁场方向的匀速分运动。两种分运

19、动的合成是一个轴线沿磁场方向的螺旋运动，这一螺旋轨迹的螺距为图7如果在均匀磁场中某点A处引入一发散角不太大的带电粒子束，其中粒子的速度又大致相同，则这些粒子沿磁场方向的分速度大小就几乎一样，因而其轨迹有几乎相同的螺距，这样经过一个周期后，这些粒子将重新会聚穿过另一个点。这种发散粒子束汇聚到一点的现象叫做磁聚焦。三、霍尔效应如图8，所示宽为b，厚度为d，载流子浓度为n金属试样，若在x方向通以电流Is，在z方向加磁场B，则在y方向即试样A、A'电极两侧就开始聚积异号电荷而产生相应的附加电场。电场的指向取决于试样的导电类型。显然，该电场是阻止载流子继续向侧面偏移，当载流子所受的横向电场力与洛

20、仑兹力相等时，样品两侧电荷的积累就达到平衡，故有其中EH为霍尔电场，v是载流子在电流方向上的平均漂移速度。图8§9.6 磁介质一、磁介质的分类 能与磁场产生产生相互作用的物质称为磁介质。磁介质在磁场作用下能发生的这种变化，成为磁化。描述不同磁介质磁化后对原外磁场的影响的物理量为磁导率。磁介质放入磁场后产生附加磁场，设无磁介质时某处的磁感应强度为，放入磁介质后因磁化而产生的附加磁场为，那么该处的磁感应强度为 而 根据的大小和方向，可将磁介质分为四类1、顺磁质 (铝、氧、锰等)2、抗磁质 （铜，铋，氢等）3、铁磁质 （铁、钴、镍等）其中，顺磁质和抗磁质是弱磁质，铁磁质是强磁质。二、顺磁质

21、和抗磁质的磁化 分子磁矩分为轨道磁矩和自旋磁矩，它们分别是由电子绕原子核的轨道运动和电子本身的自旋引起的。整个分子的磁矩，是它所包含的所有分子的轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和。1、顺磁质及其磁化 分子的固有磁矩不为零，。无外磁场作用时，由于分子的热运动，分子磁矩取向各不相同,整个介质不显磁性，。有外磁场时，分子磁矩要受到一个力矩的作用，使分子磁矩转向外磁场的方向。分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致，顺磁质磁化结果，使介质内部磁场增强。2、抗磁质及其磁化分子的固有磁矩为零，。在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩。电子绕核的轨道运动和电子本身的磁矩构成总磁矩，外磁场的作用下产生附加磁矩，附加磁矩总

22、与外磁场的方向反向，电子的附加磁矩总是削弱外磁场的作用。需要指出的是：抗磁性是一切磁介质共同具有的特性。三、磁场强度、磁介质中的安培环路定理1、磁化强度和磁化电流 为了描述磁介质在磁场中的磁化程度和磁化方向，我们引入磁化强度的概念，定义如下： 设一无限长直螺线管内充满各向同性的均匀顺磁质，线圈中通以电流后在螺线管内产生均匀磁场，磁介质被均匀磁化后磁化强度为。在磁介质内部任意位置处，分子电流成对出现，而且方向相反，结果互相抵消。只有在横截面的边缘处，分子电流为被抵消，形成与横截面边缘重合的圆电流，称为磁化电流。设沿轴线单位长度上的磁化电流为磁化强度M在量值上等于磁化面电流密度。 磁化强度对闭合回

23、路L的线积分，等于穿过以L为周界的任意曲面的磁化电流的代数和。2、磁场强度、磁介质中的安培环路定理分子磁矩（n表示单位体积分子磁矩数），定义磁场强度 则在稳恒磁场中，磁场强度矢量沿任一闭合路径的线积分（即环流）等于包围在环路内各传导电流电流的代数和，而与磁化电流无关。，介质的磁导率。 ，顺磁质；抗磁质；铁磁质，非常数【例10】一环形螺线管，管内充满磁导率为，相对磁导率为r的顺磁质。环的横截面半径远小于环的半径。单位长度上的导线匝数为n。求：环内的磁场强度和磁感应强度。解：由磁场的安培环路定理 则【例11】一无限长载流圆柱体，通有电流I ，设电流I均匀分布在整个横截面上。柱体的磁导率为，柱外为真

24、空。求：柱内外各区域的磁场强度和磁感应强度。解：在区域，由安培环路定理 区域， ，在分界面上H 连续, B 不连续四、铁磁质1、磁化曲线装置：环形螺绕环; 铁磁质Fe,Co,Ni及稀钍族元素的化合物，能被强烈地磁化。由安培环路定理，螺绕环内的磁场强度为 实验测量B,如用感应电动势测量或用小线圈在缝口处测量；由可以得出曲线，可以看出铁磁质的不是一个常数，它是H的函数。2、磁滞回线当铁磁材料的磁化达到饱和之后，如果将磁化场减小，则铁磁材料内部的和也随之减小，但其减小的过程并不沿着磁化时的OS段退回。从图可知当磁化场撤消，时，磁感应强度仍然保持一定数值称为剩磁。若要使被磁化的铁磁材料的磁感应强度减小到，必须加上一个反向磁场并逐步增大。当铁磁材料内部反向磁场强度增加到时（图上的点），磁感应强度才等于，达到退磁。图中的段曲线称作退磁曲线，为矫顽力。当按的顺序变化时，相应沿顺序变化。图中的段曲线称作起始磁化曲线，曲线段称为退磁曲线。所形成的封闭曲线称为磁滞回线。 实验指出：铁磁质反复磁化时要发热，这种耗散为热量的能量损