测量平差－yjzhang－5实用教案

1、一、条件平差原理(yunl)1、条件方程 （1） （1）式中A的秩是r，未知数的个数是n，由于rn，所以（1）式是不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？2、法方程及其组成2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数 （2）111110100rrnnrrrnnrWVAALA)(2WAVKPVVTT第1页/共56页第一页，共57页。补充：矩阵微分(wi fn)公式第2页/共56页第二页，共57页。2.2 求偏导 （3）2.3 法方程 （4） 改正数方程 （5）举例 水准网如右图：观测(gunc)值及其权阵如下： m ， 求各高差平差值022AKPVdVdTT01WKAAPTTL216. 1099.

2、 0078. 0142. 1114. 1023. 05 . 25 . 25 . 2111diagP KAPVT1第3页/共56页第三页，共57页。条件(tiojin)方程 法方程法方程的解：0432101100110010011001654321vvvvvv0432922292229321kkk11611504329222922291321kkk第4页/共56页第四页，共57页。按（5）求改正(gizhng)数V：观测值平差值：检核：2 .09 .01 .17 .23 .2011611501100111011000100015 .20000005 .20000005 .200000010000

3、001000000111KAPVTTVLL2162. 10999. 00769. 01393. 11163. 10230. 000769. 01393. 12162. 102162. 10999. 01163. 100999. 00769. 00230. 0436652641LLLLLLLLL第5页/共56页第五页，共57页。条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式； （2）组成(z chn)法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正数V； （5）求观测值的平差值 ； （6）检核。VLL第6页/共56页第六页，共57页。二、条件方程的列立列条件方程的原则:1、足

4、数；2、独立；3、最简水准网的条件方程1、水准网的分类(fn li)及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。2、水准网中必要观测数t的确定（保证足数） 有已知点： t 等于待定点的个数 无已知点： t 等于总点数减一3、水准网中条件方程的分类(fn li) 附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件第7页/共56页第七页，共57页。4、水准网中条件方程(fngchng)的列立方法（保证独立）（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一（3）、

5、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数(z sh)、独立、最简的原则。第8页/共56页第八页，共57页。5、水准网条件(tiojin)方程列立举例第9页/共56页第九页，共57页。14第10页/共56页第十页，共57页。第11页/共56页第十一页，共57页。GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程(fngchng)1、GPS基线向量网的观测值： 一条基线三个观测值，他们是 ,n=3s，s是基线数。2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 三个坐标基准 。必要观测数为 t

6、=3(m-1)，m 为总点数。所以条件方程(fngchng)的个数为：r = 3(s-m) + 33、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程(fngchng)的列立 按三角形列条件方程(fngchng)，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。ijijijzyx,zyx,第12页/共56页第十二页，共57页。4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例(j l) 图1 图2图1中r =3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。 )()()(CABCABzzzCABCAByyyC

7、ABCABxxxzzzvvvyyyvvvxxxvvvCABCABCABCABCABCAB第13页/共56页第十三页，共57页。4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件(tiojin)方程列立举例总观测值数n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42第14页/共56页第十四页，共57页。三角网(测角网)的条件方程1、三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。2、三角网的作用 确定待定点的平面坐标(zubio)。3、三角网的类型 单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三角网的基准数据 在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标(zubio

8、)，必须先建立平面坐标(zubio)系，只要已知任意一个点的坐标(zubio)、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标(zubio)系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标(zubio) ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 ）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标(zubio)。00, yx00S第15页/共56页第十五页，共57页。5、三角网中必要观测数 t 的确定(qudng) 有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2（z -

9、2）, z为三角网中的总点数。6、三角网中条件方程的类型图形条件（内角和条件）：三角形三内角和等于180度；圆周条件（水平条件）：圆周角等于360度；极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等。第16页/共56页第十六页，共57页。7、三角网中条件(tiojin)方程的列立举例图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件(tiojin)。图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件(tiojin)，一个极条件(tiojin)（两法）。第17页/共56页第十七页，共57页。 图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个(y )圆周条件，一个(y )极条件。

10、由以上三例知，三角形只有图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只有中点多边形才有全部的三类条件。第18页/共56页第十八页，共57页。用一般(ybn)符号列出图4的条件方程：n=33 t=14第19页/共56页第十九页，共57页。三边网(测边网)的条件方程1、三边网的观测(gunc)值 三边网的观测(gunc)值也很简单，全部是边长观测(gunc)值。2、三边网的作用 也是确定待定点的平面坐标。3、三边网的类型 单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测(gunc)值。由于在三边测量中，观测(gunc)值中就带有长度基准。所以，三边测量

11、中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ），即三个基准。00, yx0第20页/共56页第二十页，共57页。5、三边网中必要观测数 t 的确定 有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2z - 3, z为三角网中的总点数。 单三角形： t =2 3 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0 大地四边形：t =2 4 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1 中点N边形： t =2（N+1） 3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N- （2N-1）=1。 以上各式表明：在测边网中，单

12、三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。6、三边网中条件方程的列立 可按角度闭合(b h)、也可按边长闭合(b h)、还可按面积闭合(b h)列立。 按角度闭合(b h)：0321第21页/共56页第二十一页，共57页。测边网条件（只有图形条件） 在测边网中，按角度闭合时条件方程为： 对于以上按角度表示的条件方程，可以用余弦定理解出各个角度，再按台劳级数展开(zhn ki)至线性形式。但习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系，然后代入 那么，角度改正数与边长改正数的关系？03210321wvvv第22页/共56页

13、第二十二页，共57页。如图，由余弦定理(y xin dn l)知：微分得：而由图知ASSSSScbcbacos2222/sin2)cos22()cos22(2AdASSdSASSdSASSdSScbcbcbcbaa)cos()cos(sin1/cbcbcbaacbdSASSdSASSdSSASSdABSASSCSASShShSASSabcacbaabbcbcoscoscoscossin第23页/共56页第二十三页，共57页。故有：将微分换成改正(gizhng)数，得：上式称为角度改正(gizhng)数方程。它具有明显的规律： 任意角度的改正(gizhng)数，等于其对边的改正(gizhng)数

14、分别减去两邻边的改正(gizhng)数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的高，并乘以常数 。按此规律，可得：)coscos(1/cbaaBdSCdSdShdA)coscos(cbaSSSaABvCvvhv第24页/共56页第二十四页，共57页。大地(dd)四边形将其代入 ，得)coscos()coscos()coscos(314332622151321SSSSSSSSSADBvABDvvhvADCvACDvvhvACBvABCvvhv0321wvvv0coscoscoscoscoscos654321213232113wvhvhvhvhADChADBvhACDhACBvhABChABDSS

15、SSSS第25页/共56页第二十五页，共57页。中点多边形将其代入 ，得)coscos()coscos()coscos(463365225411321SSSSSSSSSDACvDCAvvhvDCBvDBCvvhvDBAvDABvvhv0321wvvv0coscoscoscoscoscos654321322131321wvhDCAhDCBvhDBChDBAvhDAChDABvhvhvhSSSSSS第26页/共56页第二十六页，共57页。单一附合导线(doxin)的条件方程1、导线(doxin)的观测值 导线(doxin)的观测值由角度和边长两类观测值组成。2、单一附合导线(doxin)的形状（左

16、转折角）3、单一附合导线(doxin)的必要观测数 t =2m，m为待定点点数。已知控制点待定控制点第27页/共56页第二十七页，共57页。4、单一(dny)附合导线的条件方程个数观测值的个数：角度m+2个；边长m+1个；观测值总数 n=2m+3个。条件方程个数： r = n-t = 2m+3- 2m=3即不论待定点点数m为多少，单一(dny)附合导线的条件方程个数固定为3。5、单一(dny)附合导线的条件方程列立一个方位角条件两个坐标条件（再往下写容易吗？） 21221180)3(0miBBiAAmmwwvvv001111miBiAmiBiAyyyxxx第28页/共56页第二十八页，共57页

17、。GIS数字化数据采集中，条件方程的列立（本内容待研究？）1、观测值 观测值为顶点坐标(zubio)2、必要观测个数 t=N+13、多余观测个数 r=n-t=2N-N-1=N-14、条件方程的类型 N-1个直角条件。 hjkhjk90jhjk第29页/共56页第二十九页，共57页。摄影(shyng)测量影像(yn xin)中的几何信息地物几何(j h)位置模型重建几何量测xyXYZ第30页/共56页第三十页，共57页。XYZa (x,y)xyzS(Xs, Ys, Zs)A(X,Y,Z)共线(n xin)条件SSSZZYYXXzyxR第31页/共56页第三十一页，共57页。)()()()()()

18、()()()()()()(333222333111ssssssssssssZZcYYbXXaZZcYYbXXafyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxcoscoscossincossinsinsinsincoscossinsincoscossincoscossincossinsinsincossinsinsincoscosR第32页/共56页第三十二页，共57页。立体摄影立体摄影(shyng)测量：测量：目的目的x1y1XYZ已知量未知量x2y2第33页/共56页第三十三页，共57页。XYZa1(x1,y1)x1y1z1S1A(X,Y,Z)a2(x2,y2)z2y2x2S2前方前方(qin

19、fng)交会交会第34页/共56页第三十四页，共57页。三、非线性条件方程的线性化 1、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约束GPS平差中的条件方程，以及测角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件、测边网中角度闭合条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为(yn wi)条件平差原理中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非线性条件方程的线性化。 2、线性化的方法 将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。第35页/共56页第三十五页，共57页。 若设非线性条件方程

20、为： 为了将其按台劳级数展开(zhn ki)，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即： 于是，有令0),(21nLLLiiivLL0),(),(),(221121221121LLnLLLLnnnnLvLvLLLLvLvLvLLLLLLiinLhLLLw21, ),(第36页/共56页第三十六页，共57页。 于是(ysh)，非线性条件方程 的线性形式为： 3、几种非线性条件方程的线性形式极条件：在图5-4中，极条件为线性化得：0),(21nLLL02211wvhvhvhnn1sinsinsinsinsinsin321321bbbaaa0cotsinsinsinsinsinsincotsin

21、sinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsin1sinsinsinsinsinsin1)sin()sin()sin()sin()sin()sin(321321321321332132123213211321321332132123213211321321321321321321 bbbaaabbbaaavbbbbaaavbbbbaaavbbbbaaavabbbaaavabbbaaavabbbaaabbbaaavbvbvbvavava第37页/共

22、56页第三十七页，共57页。两边同乘 ，得化简后的线性形式为：单一(dny)附合导线的坐标条件： 321321sinsinsinsinsinsinaaabbb0)sinsinsinsinsinsin1 (cotcotcotcotcotcot321321321321321321 aaabbbvbvbvbvavavabbbaaa1S132S2S34BS45B第38页/共56页第三十八页，共57页。上图的纵坐标条件为：式中 是方位角平差值和边长平差值的函数，即将上式按台劳级数展开，略去二阶以上(yshng)各项即可（用求全微分更好）04321BAxxxxxxix )cos()(cosiivvssxi

23、siiii第39页/共56页第三十九页，共57页。GIS中角条件(tiojin)：按台劳级数展开，取至一次项，得0)()()()(arctan)()()()(arctan0jhjhjkjkxjxhyjyhxjxkyjykvxvxvyvyvxvxvyvyjhjkkkjjykjkxkjkyjjkxjjkjkjkvyvxvyvxxxyy0000arctan0)(arctan00000hhjjykjhxkjhyjjhxjjhjhjhvyvxvyvxxxyy第40页/共56页第四十页，共57页。因为(yn wi)200220)()()(jkjkjkjkjkjjksyyyxxyyx2000)(jkjkjj

24、ksxy2000)(jkjkkjksxy2000)(jkjkkjksyx2000)(jhjhjjhsyx2000)(jhjhhjhsyx2000)(jhjhjjhsxy2000)(jhjhhjhsxy第41页/共56页第四十一页，共57页。所以，直角条件(tiojin)方程为：式中：0)()()()()()()()(200200200200200200200200 wvsxvsyvsxvsyvsxsxvsysyhhkkjjyjhjhxjhjhyjkjkxjkjkyjhjhjkjkxjhjhjkjk0arctanarctanjhjhjkjkxxyyxxyyw第42页/共56页第四十二页，共57页

25、。 特别强调：在计算测边网图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高的单位为km， 取2.0626，此时闭合差w的单位为秒。由观测(gunc)边长计算系数中的角值，可按余弦定理或下式计算式中高按下式计算 cbaSprCSprBSprA2tan,2tan,2tanpSpSpSprSSSpcbacba)()(,2/ )(ASBShASCShBSCShbaccabcbasinsin,sinsin,sinsin第43页/共56页第四十三页，共57页。四、精度(jn d)评定目的：（1）评定观测值的实际精度(jn d)；（2）观测值平差值函数的精度(jn d)1、观测值L的精度(jn d

26、)2、单位权方差的估值3、 的计算（1）、直接计算（2）、用常数项与联系数12020PQDLLLLrPVVT20PVVT)0()(WAVKWKAVKQAPVPVVTTTTTT第44页/共56页第四十四页，共57页。4、计算各观测值函数的协因数，进而计算其方差阵 条件平差中的基本向量W、K、V、 都是观测向量L的函数，且 由于观测向量L的协因数 已知，所以(suy)应用协因数传播律可得：L1 PQLL01101101110)(ANAQLANAQIVLLANAQALNAQKAQVANALNWNKAALWaaTLLaaTLLaaTLLaaTLLTLLaaaaaa第45页/共56页第四十五页，共57页

27、。的协方差阵以上可用于计算各函数LLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLaaTLLVVaaaaaaaaaaTLLaaKKaaTTLLWWAQNAQQAQNAAQNAQAQNAQAQNAQQAQNAIQANAQIQAQNAQAQNAAQNAQQNNNNNAAQNQNAAPAAQQ1111111111111111)()(LLaaTLLLLLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLLVaaTLLaaTLLLKTLLTLLLWAQNAQQAQNAIIQQAQNAQAQNAIQQNAQNAIQQAQAIQQ11

28、1111)(第46页/共56页第四十六页，共57页。0)(1111LLaaTLLLLLLaaTLLLWLLLLaaTLLWVaaTLLWKAQNAAQAQAQNAIAQQAQAQNAAQQINAAQQ0)(0)(1111111111111LLaaTLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLaaTLLLVLLaaTLLaaLLaaLLaaTLLaaLKLLaaLLaaTLLaaKVAQNAAQNAQAQNAQAQNAIAQNAQQAQNAAQNAQNAQNAIAQNQAQNAQNAAQNQ第47页/共56页第四十七页，共57页。令则dLAQNAIAQNANAAIdZLVKWLZTLLaaTLLa

29、aTaaTTTTTTTT111令LLaaTLLLLLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLLLaaaaLLaaLLaaLLLLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLTLLLLLLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWLLLLVLKLWLLTLLZZAQNAQQAQNAQQAQNAQAQNAQAQNAQAQNNIAQNAQINAQAQNAQQAQNAQNAQAQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQFFQQ11111111111000000第48页/共56页第四十八页，共57页。5、关于平差值函数的协因数 经条件平差后得到(d

30、do)了观测值的平差值，但一般需要提交的却是控制点的坐标或高程的平差值，他们都是观测值的平差值函数。因此，有必要研究平差值函数的协因数计算。 一般地，若设一个平差值函数的协因数为： 对其全微分，得：nLLLf,21LdFLdfLdfLdfLdLfLdLfLdLfdTnnnn22110202101第49页/共56页第四十九页，共57页。式中 为用观测值L算出的偏导数值。于是，应用协方差传播律可得：所以，平差值函数(hnsh)的中误差为：0iiLffFAQNFAQFQFFQFQLLaaTLLLLTLLT1)(0Q教材(jioci)：56，57习题(xt)：第50页/共56页第五十页，共57页。举例 某平坦地区水准网如右图所示，已知点A高程为10.000m，各独立(dl)观测值及其距离： 求各点高程的平差值，单位权中误差及A至C点间高差平差值的中误差。mLT216. 1099. 0078. 0142. 1114. 1023. 0kmS4 . 04 . 04 . 00 . 10 . 10 . 1第51页/共56页第五十一页，共57页。条件(tiojin)方程 法方程法方程的解043210110011001001100165