万有引力与航天综合知识点

1、1 21 2万有引力与航天【基础梳理】提示：椭圆 一个焦点 面积 半长轴 公转周期 质量 m 和 m 的乘积 它们之间距离m mr 的二次方 G 质量分布均匀r2GMRgR【自我诊断】判一判(1) 所有物体之间都存在万有引力( )(2) 地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心( )(3) 两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大( ) (4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关( )(5) 同步卫星可以定点在北京市的正上方( )(6) 同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度( )提示：(1) (2) 做一做(3)× (4) (5)×(6)(2020·吉林

2、长春高三质检)2016 年 2 月 11 日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因 斯坦 100 年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”双星的运动 是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由 a、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们 连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 a 星的周期为 T，a、b 两颗星的距离aa ba babbaa ba a b bb a为 l，a、b 两颗星的轨道半径之差为 r(a 星的轨道半径大于 b 星的)，则( )lrAb 星的周期为 Tlr（lr）Ba 星的线速度大小为TlCa、b 两颗星的轨道半径之比为lrlrDa、b 两颗

3、星的质量之比为lr提示：选 B.a、b 两颗星体是围绕同一点绕行的双星系统，故周期 T 相同，选项 A 错误；lr lr r lr由 r r r，r r l 得 r ，r ，所以 ，选项 C 错误；a 星的线速度2 2 r lr2r （lr） m r lrv ，选项 B 正确；由 m 2r m 2r ，得 ，选项 D 错误 T T m r lr对万有引力定律的理解及应用【知识提炼】天体质量和密度的计算(1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.Mm gR2由 G mg 得天体质量 M .R2 GM M 3g天体密度： .V 4 4GRR33(2)借助外援法：测出卫星绕天体做

4、匀速圆周运动的半径 r 和周期 T.Mm 42r 42r3由 G m 得天体的质量为 M .r2 T2 GT2若已知天体的半径 R，则天体的密度M M 3r3 .V 4 GT 2R3R333若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ，GT2可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期 T，就可估算出中心天体的密度【典题例析】(2018·11 月浙江选考)20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域现 有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船 在短时间t 内速度的改变为v，和飞船受到的推力 F(其他星球对它的引

5、力可忽略)飞船在vB.C.hh某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做 周期为 T 的匀速圆周运动，已知星球的半径为 R，引力常量用 G 表示则宇宙飞船和星球的 质量分别是( )Fv v2R A. ，t G Ft v2RC. ，v GFv v3T B. ，t 2G Ft v3TD. ，v 2Gv Ft解析 根据牛顿第二定律可知 Fmam ，所以飞船质量为 m .飞船做圆周运t v2r Tv Mm v2动的周期 T ，得半径为 r ，根据万有引力提供向心力可得 G m ，得星球质量2 r2 rv2r v3TM ，故选项 D 正确G 2G答案 D【题组过关

6、】考向 1 星球附近重力加速度的求解1宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重 状态下的物理现象若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量 为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A0GMm （Rh）2GM （Rh）2GMD.h2Mm解析：选 B.飞船所受的万有引力等于在该处所受的重力，即 G mg ，得 g （Rh）2GM，选项 B 正确（Rh）2考向 2 天体质量和密度的计算2(2018·4 月浙江选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每 16 天绕土星一周，其公转轨道半径约为 1.2×106 k

7、m.已知引力常量 G6.67×1011 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )A5×1017 kg C7×1033 kgB5×1026 kg D4×1036 kgMm 42R 42R3解析：选 B.根据万有引力提供向心力可知 G m ，得 M ，代入数据可得R2 T2 GT2M5×1026 kg，能估算出数量级即可mM GM(1)计算星球表面(附近)的重力加速度 g(不考虑星球自转)：mgG ，得 g .R2 R2(2)计算星球上空距离星体中心 rR h 处的重力加速度 g：mg GM.（Rh）2g （Rh）2由上述式可得

8、 .g R2(3)万有引力与重力的关系在赤道上 F F mg，万 向Mm即 mgG m2R；R2Mm在两极 F mg，即 mgG ；万 R2在一般位置，万有引力等于 mg 与 F 的矢量和向卫星运行规律【知识提炼】GmM （Rh）2，得 g1卫星的轨道(1) 赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种(2) 极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星 (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心2地球同步卫星的特点(1) 轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合(2) 周期一定：与地球自转周期相同，即 T24 h86 400 s

9、.(3) 角速度一定：与地球自转的角速度相同3nMm 42 GMT2(4)高度一定：据 G m r 得 r 4.23×104 km，卫星离地面高度 hrr2 T2 4 2R6R(为恒量)(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致3卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4卫星运动中的机械能(1) 只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守 恒，这里的机械能包括卫星的动能和卫星(与中心天体)的引力势能(2) 质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大【典题例析】(2020·1 月浙江选考)如图所示，卫星 a、b、c 沿圆形轨道绕地球

10、运行a是极地轨道卫星，在地球两极上空约 1 000 km 处运行；b 是低轨道卫星，距地球表面高度与 a 相等；c 是地球同步卫星，则( )A a、b 的周期比 c 大B a、b 的向心力一定相等C a、b 的速度大小相等D a、b 的向心加速度比 c 小答案：C解决天体圆周运动问题的两条思路Mm(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即GR2mg，整理得 GMgR2，称为黄金代换(g 表示天体表面的重力加速度)Mm v2 42r(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G m mr2m ma .r2 r T2【题组过关】考向 1 对同步卫星的考查n

11、1R2R1 (2019·4 月浙江选考 )某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星 ( 即卫星相对于地面静 止)则此卫星的( )A 线速度大于第一宇宙速度B 周期小于同步卫星的周期C 角速度大于月球绕地球运行的角速度D 向心加速度大于地面的重力加速度解析：选 C.第一宇宙速度 7.9 km/s 是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，故此卫星 的线速度小于第一宇宙速度，A 错误；根据题意，该卫星是一颗同步卫星，周期等于同步卫星GMm的周期，B 错误；卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，根据 m2r 可知，r2绕行半径越小，角速度越大，故此卫星的角速度大于月球绕地球运行的角速度，C

12、正确；根据 GMa 可知，绕行半径越大，向心加速度越小，此卫星的向心加速度小于地面的重力加速度， r2D 错误考向 2 宇宙速度问题2(多选)据悉，2020 年我国将进行第一次火星探测向火星发射轨道探测器和火星巡视1 1器已知火星的质量约为地球质量的 ，火星的半径约为地球半径的 .下列关于火星探测器的9 2说法中正确的是( )A 发射速度只要大于第一宇宙速度即可B 发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C 发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的23解析：选 CD.要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要大于第 二宇

13、宙速度，火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速度要小于第三宇Mm v2宙速度，选项 A、B 错误，C 正确；由第一宇宙速度的概念，得 G m ，得 v1GMR，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为 项 D 正确卫星的变轨问题【知识提炼】1从低轨变高轨(如图所示)(1) 在 P 点加速(短时)由圆轨道 1 进入椭圆轨道 2；(2) 在椭圆轨道 2 上远地点 Q 再短时加速进入圆轨道 3.2 2 ，选9 3112èA 1 A1A A 1 3BA 1 3虽有两次短时加速，但卫星从近地点 P 到远地点 Q 的过程中引力做负功，由v 卫星的速度减小(

14、动能减小、势能增大)GMr知，2从高轨变低轨(如图所示)(1) 在轨道 3 上 Q 点短时制动减速由圆轨道 3 进入椭圆轨道 2；(2) 在轨道 2 上 P 点再短时制动减速进入圆轨道 1.3 渐变转轨：在卫星受空气阻力作用轨道变化问题中，“空气阻力”是变轨的原因，一般分析过程为：卫星在半径为 r 的较高轨道上做圆周运动，v GMr1空气阻力做负功卫Mm v2星动能(速度)减小致使 G m 卫星做向心运动轨道高度缓慢降低到半径为 r 的圆r2 ræ轨道上重力做正功卫星动能 速度v2GMör ø2增大实质上，卫星在稀薄空气阻力作用下的运动是机械能缓慢减小、轨道半径缓

15、慢减小、动能(速度)缓慢增大的运动【典题例析】如图所示，1、3 轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1 轨道的半径为 R，2 轨 道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与 2 轨道相切于 B 点，O点为地球球心， AB 为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内已知在 1、2 两轨道上运动的卫星的周期相 等，引力常量为 G，地球质量为 M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )A 卫星在 3 轨道上的机械能小于在 2 轨道上的机械能B 若卫星在 1 轨道上的速率为 v ，卫星在 2 轨道 A 点的速率为 v ，则 v vC 若卫星在 1、3 轨道上的加速度大小分别为 a 、

16、a ，卫星在 2 轨道 A 点的加速度大小1 3为 a ，则 a a aD若 OA0.4R，则卫星在 2 轨道 B 点的速率 v 5GM8R审题指导 卫星变轨过程中速度变化要从离心、向心的角度来分析，而加速度要从受力 的角度来分析解析 2、3 轨道在 B 点相切，卫星在 3 轨道相对于 2 轨道是做离心运动的，卫星在 3 轨道上的线速度大于在 2 轨道上 B 点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在 3 轨道上的机 械能大于在 2 轨道上的机械能，A 错误；以 OA 为半径作一个圆轨道 4 与 2 轨道相切于 A 点， 则 v4vA，又因 v1v4，所以 v1vA，B 正确；加速度是万有引力产生

17、的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是 a a a ，C 错误；由开普勒第三定律可知，2 轨道的半长轴为 R，321 2OB1.6R，3 轨道上的线速度 v 5GM8R，又因 vBv3，所以 vB5GM，D 错误 8R答案 B【题组过关】考向 1 运动参量的变化分析1(多选)(2019·丽水高二质检)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图图中 M 点为环地球运行 的近地点，N 点为环月球运行的近月点a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨 道，下列说法中正确的是( )A 嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于 11.2 km/sB 嫦娥三号在 M 点进入地月转移轨道时应点火加速C 设

18、嫦娥三号在圆轨道 a 上经过 N 点时的加速度为 a ，在椭圆轨道 b 上经过 N 点时的1加速度为 a ，则 a aD嫦娥三号在圆轨道 a 上的机械能小于在椭圆轨道 b 上的机械能解析：选 BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度 v 满足 7.9 km/sv11.2 km/s，则 A 错GM误；嫦娥三号要脱离地球需在 M 点点火加速让其进入地月转移轨道，则 B 正确；由 a ，r2知嫦娥三号在经过圆轨道 a 上的 N 点和在椭圆轨道 b 上的 N 点时的加速度相等，则 C 错误； 嫦娥三号要从 b 轨道转移到 a 轨道需要减速，机械能减小，则 D 正确考向 2 卫星的追赶问题2假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运