期权定价模型和数值方法1

1、 期权定价模型与数值方法期权定价模型与数值方法 经济数学学院经济数学学院 教师：向开理教师：向开理 2012 2012年年0 04 4月月期权定价模型和数值方法期权定价模型和数值方法导导 论论 风险管理与金融衍生品风险管理与金融衍生品第一章第一章 期权定价基础期权定价基础第二章第二章 期权定价方法的理论基础期权定价方法的理论基础_布朗运动、伊藤引布朗运动、伊藤引 理和理和Black-Scholes微分方程微分方程第三章第三章 期权定价的树图法和有限差分法期权定价的树图法和有限差分法第四章第四章 蒙特卡罗模拟（蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）方法）方法第五章第五章 参

2、量变化对期权价格的影响参量变化对期权价格的影响导导 论论 风险管理与金融衍生品风险管理与金融衍生品1、风险和金融衍生品的概念、风险和金融衍生品的概念风险（风险（risk）指结果的不确定性。金融衍生产品（金融衍生产品（derivatives)是指其价值依赖于基础资产(或称标的资产）(underlyings assets)价值变动的合约（contracts），它是一种风险管理的工具。金融衍生品共同特征是保证金交易，即只要支付一定比例的保证金就可进行全额交易，不需实际上的本金转移，合约的了结一般也采用现金差价结算的方式进行，只有在满期日以实物交割方式履约的合约才需要买方交足贷款。因此，金融衍生产品交

3、易具有杠杆效应杠杆效应。保证金越低，杠杆效应越大，风险也就越大。2、金融衍生品的分类、金融衍生品的分类（1）根据产品形态，可以分为远期远期、期货期货、期权期权、掉期掉期四大类。 （2）根据原生资产分类，即股票股票、利率利率、汇率汇率和商品商品。如果再加以细分，股票类中又包括股票期货、股票期权合约和股票指数期货和期权合约等；利率类中又可分为以短期存款利率为代表的利率期货、利率远期、利率期权、利率掉期合约和以长期债券利率为代表的债券期货、债券期权合约；货币类中包括各种不同币种之间的比值；商品类中包括各类大宗实物商品。 （3）根据交易方法，可分为场内交易和场外交易。场内交易即是通常所指的交易所交易，

4、指所有的供求方集中在交易所进行竞价交易的交易方式。场外交易即是柜台交易，指交易双方直接成为交易对手的交易方式，其参与者仅限于信用度高的客户。利用金融衍生物对原生资产进行风险管理的基利用金融衍生物对原生资产进行风险管理的基本策略是套期保值（或对冲本策略是套期保值（或对冲hedging）,即交易者在即交易者在现货市场和期货（权）市场同时构作两个数量相现货市场和期货（权）市场同时构作两个数量相同、方向相反的头寸（同、方向相反的头寸（positions）。）。 第一章第一章 期权定价基础期权定价基础1.1 期权及其有关概念期权及其有关概念1.2 买入期权与卖出期权的平价买入期权与卖出期权的平价1.3

5、期权的应用期权的应用期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black 和和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律，通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情运用套期保值的思想，成功的推出了在无

6、分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定、完善与繁荣。定、完善与繁荣。 1.1 期权及其有关概念期权及其有关概念1期权的定义期权的定义 期权分为期权分为买入期权买入期权（Call Option）和）和卖出期权卖出期权（Put Option）买入期权买入期权:又称又称看涨期权看涨期权（或敲入期权），它赋予期权（或敲入期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规

7、定价持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权卖出期权:又称又称看跌期权看跌期权（或敲出期权），它赋予期权（或敲出期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 针对有效期规定不同，期权又分为欧式期权针对有效期规定不同，期权又分为欧式期权（European Option）与美式期权（）与美式期权（American Option）欧式期

8、权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间可以行使的权利的时间可以行使的权利美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。 2期权的要素期权的要素 期权的四个要素：执行价（期权的四个要素：执行价（exercise price或或striking price）；执行日（）；执行日（maturing data）；标的资产）；标的资产（underlying asset）；期权费（）；期权费（option premium）对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只对于期权的购买者（持有者）而言

9、，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。只有义务而没有权利。 3 3期权的内在价值期权的内在价值 买入期权在执行日的价值买入期权在执行日的价值 为为 其中，其中， E为执行价，为执行价， 为标的资产的市场价。为标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值为卖出期权在执行日的价值为 根据期权的施权价与标的资产市场价之间的关系，期权根据期权的施权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为币内期权（可分为币内期权（in the money）（）（S E） 、币上期权、币上期权（at the money）

10、 （S = E） 和币外期权（和币外期权（out of the money）（S Call,Put=blsprice(42,40 ,0.1 ,6/12 ,0.2 ,0)Call = 4.7594Put = 0.8086 2.5 影响期权价格的因素分析影响期权价格的因素分析期权价格受到下列期权价格受到下列5个因素影响：个因素影响：S当前价格、当前价格、E 执行价格、执行价格、 T期权的期权的期限、期限、 股票价格方差率、股票价格方差率、 r无风险利率。我们以欧式看涨期权为例来无风险利率。我们以欧式看涨期权为例来分析这分析这5个因素对期权价格的影响。个因素对期权价格的影响。1、德尔塔（、德尔塔（D

11、elta） 期权德尔塔是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度期权德尔塔是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，看，Delta是期权价格相对于标的资产价格的偏导数是期权价格相对于标的资产价格的偏导数例如某个看涨期权例如某个看涨期权 值为值为0.5，表示当股价变化，表示当股价变化S 时，期权价格变化为时，期权价格变化为0.5 S 。例如期权价格为。例如期权价格为10，股票价格为，股票价格为100，某个投资者购买了，某个投资者购买了1份份（100股股票期权）该股票看涨期权，投资者购买股股票期权）该股票看涨期权，投资者购买 股股票股股票来对冲风险，这样的投资组合为来对冲风险，

12、这样的投资组合为Delta中性策略。假如股票价格下跌中性策略。假如股票价格下跌1元，投资于股票的损失为元，投资于股票的损失为50元，而期权的收益为元，而期权的收益为 元。元。当投资者持有当投资者持有0.5单位的股票，同时卖出单位的股票，同时卖出1份看涨期权，使组合成为成份看涨期权，使组合成为成为为无风险组合。因此称为为无风险组合。因此称 为对冲比率。为对冲比率。21()CNdS0.5 100500.5 10050对于看跌期权，对于看跌期权，2、西塔（、西塔（Theta） （为期权的续存期）（为期权的续存期）表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。表示期权价格对于到期日的敏感度，称为

13、期权的时间损耗。 0 表示随着时间的推移，带来盈利。表示随着时间的推移，带来盈利。3、维伽（、维伽（Vega） 表示方差率对期权价格的影响。因为期权有跌幅保障，表示方差率对期权价格的影响。因为期权有跌幅保障， 值恒为值恒为正，表示随着方差率的增加，期权的价格增加。正，表示随着方差率的增加，期权的价格增加。4、珞（、珞（Rho） 为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。5、伽玛（、伽玛（Gamma）表示表示 与标的资产价格变动的关系。与标的资产价格变动的关系。 11()PNdS1()CSN dTt1()4CSN dTt

14、，()2()()rTtCE Tt eNdr22CSS6、MATLAB中调用函数方式中调用函数方式(1) 德尔塔（Delta） CallDelta, putDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)例如：股票价格为50，执行价为50，无风险利率为10%，期权存续期为0.25，波动率的标准差伪，存续期内股票无红利，计算该期权的 值。在MATLAB中执行命令如下：CallDelta, putDelta=blsdelta(50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallDelta = 0.5955putDelta = -0.4045

15、（2）西塔（Theta） CallTheta,putTheta=blstheta (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) CallTheta, putTheta=blstheta (50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallTheta = -8.4283putTheta = -3.5517 (3) 维伽（Vega） Vega=blsvega (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) Vega=blsvega (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Vega = 9.6865(4) 珞（Rho） C

16、allRho, putRho=blsrho (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) CallRho, putRho=blsrho(50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallRho = 6.5409putRho = -5.6505(5) 伽玛（Gamma） Gamma=blsgamma (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) Gamma=blsgamma (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Gamma = 0.0517 2.6 资产对数收益的波动性估计资产对数收益的波动性估计 对于欧式期权还需

17、考虑如下几个问题：对于欧式期权还需考虑如下几个问题：（1）支付红利（连续支付或离散支付）支付红利（连续支付或离散支付）（2） 等等（3）随机利率、随机波动率、利率的期限结构问题）随机利率、随机波动率、利率的期限结构问题（4）有交易费用问题）有交易费用问题（5）标的资产服从跳扩散问题）标的资产服从跳扩散问题 ( )( )( )rr ttS，关于美式期权定价公式（自由边界问题）关于美式期权定价公式（自由边界问题）1、美式看跌期权定价的、美式看跌期权定价的PDE（自由边界问题）（自由边界问题）其中：其中： 为美式看跌期权的最佳实施边界为美式看跌期权的最佳实施边界 2222( )1()0( )02(

18、), )( )010(,)max(,0)( )( )min,ppppSStpppppSrq SrpStStTtSSp SttESttTptTSp STESSTSrESTEq ，()pS t2、美式看涨期权定价的、美式看涨期权定价的PDE（自由边界问题）（自由边界问题） 2222( )1()00( )02( ), )( )010(,)max(,0)0( )( )max,ccccSStcccccSrq SrcSSttTtSSc SttStEtTctTSc S TSESS TrES TEq，3、关于期权的最佳实施边界及性质、关于期权的最佳实施边界及性质定理定理1 设设 是支付红利的美式期权的最佳实是支付红利的美式期权的最佳实施边界，则施边界，则（1） 是是连续的；连续的；（2）（参见（参见期权定价的数学模型和方法期权定价的数学模型和方法（第二版）姜礼尚著）（第二版）姜礼尚著） :( ), 0SS ttT ( ),( )pcStStmin,()()max,()pcrEESTqS TrEESTq看 跌 期 权 ）（ 看 涨 期 权 ）定理定理2 设设 是支付红利的美式期权的最佳实施是支付红利