高考数学二轮复习专题二 第5讲向量极化恒等式_第1页
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1、 第第 5 讲讲 向量极化恒等式向量极化恒等式 极化恒等式：a bab22ab22. 变式：a b(ab)24(ab)24，a b|ab|24|ab|24. 如图，在abc 中，设 m为 bc的中点，则ab acam2mb2. 例 (1)如图，在abc 中，d 是 bc 的中点，e，f 是 ad 上的两个三等分点 ba ca4， bf cf1，则be ce的值为_ 答案 78 解析 设 bddcm，aeeffdn，则 ad3n. 根据向量的极化恒等式，有ab acad2db29n2m24， fb fcfd2db2n2m21. 联立解得 n258，m2138. 因此eb eced2db24n2m

2、278. 即be ce78. (2)如图所示，正方体 abcda1b1c1d1的棱长为 2，mn 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，p 为正方体表面上的动点，当弦 mn 的长度最大时， pm pn的取值范围是_ 答案 0,2 解析 由正方体的棱长为 2，得内切球的半径为 1，正方体的体对角线长为 2 3.当弦 mn 的长度最大时，mn 为球的直径设内切球的球心为 o，则pm pnpo2on2po21.由于p 为正方体表面上的动点，故 op1， 3，所以pm pn0,2 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，

3、含有线段中点的向量问题 1已知在abc 中，p0是边 ab 上一定点，满足 p0b14ab，且对于边 ab 上任一点 p，恒有pb pcp0b p0c，则( ) aabc90 bbac90 cabac dacbc 答案 d 解析 如图所示，取 ab 的中点 e，因为 p0b14ab，所以 p0为 eb 的中点，取 bc 的中点d，则 dp0为ceb 的中位线，dp0ce. 根据向量的极化恒等式， 有pb pcpd2db2，p0b p0cp0d2db2. 又pb pcp0b p0c，则| pd|p0d|恒成立， 必有 dp0ab.因此 ceab，又 e 为 ab 的中点，所以 acbc. 2.如图所示，正方形 abcd 的边长为 1，a，d 分别在 x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则oc ob的最大值是_ 答案 2 解析 如图，取 bc的中点 m，ad 的中点 n，连接 mn，on， 则oc obom214.

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