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1、1 / 3 培优点培优点 4 洛必达法则洛必达法则 洛必达法则：设函数 f(x)，g(x)满足：(1)limxaf(x)limxag(x)0(或)；(2)在 u(a)内，f(x)和 g(x)都存在，且 g(x)0；(3) limxa f(x)g(x)a(a 可为实数，a 也可以是 )则limxa f(x)g(x)limxa f(x)g(x)a(可连续使用) 例 已知函数 f(x)ex1xax2，当 x0 时，f(x)0恒成立，求实数 a的取值范围 解 当 x0 时，f(x)0，对任意实数 a都有 f(x)0； 当 x0时，由 f(x)0 得，aex1xx2， 设 g(x)ex1xx2，则 g(

2、x)xex2exx2x3， 令 h(x)xex2exx2(x0)， 则 h(x)xexex1， 记 (x)h(x)，则 (x)xex0， h(x)在(0，)上为增函数，h(x)h(0)0， h(x)在(0，)上为增函数，h(x)h(0)0， g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数 由洛必达法则知limx0 exx1x2limx0 ex12xlimx0 ex212，故 a12. 综上，实数 a的取值范围是，12. 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，大家常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如2 / 3 最值、极值在无意义点处，或趋于无穷此时，利用洛必达法则 已知函数 f(x)ln xx11x，当 x0且 x1 时，f(x)ln xx1kx恒成立，求 k 的取值范围 解 由题意，当 x0且 x1 时，f(x)ln xx1kx恒成立等价于 k0， 所以，当 x0 时，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，且 h(1)0， 因此，当 x(0,1)时，h(x)0；即当 x(0,1)时，g(x)0； 所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增 由洛必达法则有 limx1g(x)limx1 2xln x1x21limx1 2ln x22x10， 即当 x1时，g(x)0.

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