高考数学二轮复习专题16 导数大题解题模板（文）（解析版）

1、1 / 17 专题专题 16 导数导数大题解题模板大题解题模板 模板一：函数的单调性、极值、最值问题模板一：函数的单调性、极值、最值问题 第一步：确定定义域、求导数：求)(xf的定义域，求)(xf的导数)(xf ； 第二步：解方程：求方程0)(= xf的根； 第三步：列表格：利用0)(= xf的根将)(xf定义域分成若干个小开区间，并列出表格； 第四步：得结论：由)(xf 在小开区间内的正、负值判断)(xf在小开区间内的单调性，从表格观察)(xf的单调性、极值、最值等； 第五步：再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察)(xf的间断点及步骤规范性。 例 1-1设函数xexxf=)(。

2、(1)求曲线)(xf在1=x处的切线方程； (2)求)(xf的单调区间与极值； (3)若方程0=aexx有实数解，求实数a的范围。 审题路线图：(1)确定函数)(xf的定义域，求)(xf的导数)(xf ； (2)函数)(xf在0 x处的导数就是曲线)(xf在点)(,(00 xfxp处的切线的斜率，因此曲线)(xf在点p处的切线的斜率)(0 xfk=，切线方程为)()()(000 xxxfxfy=； (3)解方程0)(= xf的根，做表，讨论0)( xf或0)( xf)(xf的单调区间； (4)求)(xf的最小值min)(xfmin)(xfa 。 规范解答：规范解答： 【解析】(1)xexxf=

3、)(的定义域为r，xexxf+=)1 ()(，ef2) 1 (=，又ef=) 1 (， 曲线)(xf在1=x处的切线方程为) 1(2=xeey，即02=eyex； (2)xexxf+=)1 ()(，令0)(= xf，得1=x，列表如下： x ) 1,( 1 ), 1(+ )(xf 0)( xf 0 0)( xf )(xf 极小值 )(xf的 单 调 递 减 区 间 是) 1,(， 单 调 递 增 区 间 是), 1(+，efxf1) 1()(=极小值； (3)(xf在r上左减右增，且在1=x处取极小值，无极大值，则exfxf1)()(min=极小值， 又0=aexx可化简为aexx=，可看作x

4、exy=与ay =图象交点，则ea1。 构建答题模板： 第一步：确定函数的定义域，如本题函数的定义域为r； 2 / 17 第二步：求函数)(xf的导数)(xf 并解出0)(= xf的根； 第三步：利用0)(= xf的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格； 第四步：由)(xf 在个小开区间内的正、负值判断)(xf在小开区间内的单调性，求极值、最值，注意区间无论包含端点1x、2x均可，但要前后一致； 第五步：反复回顾，注意定义域、分类讨论取值范围等关键点及易错点，明确规范书写答题。 变式 1-1设0a，求函数)ln()(axxxf+=，), 0( +x的单调区间。

5、 【解析】axxxf+=121)(0 x)，当0a，0 x时0)( xf0)42(22+axax， 0)( xf0)42(22+axax， (1)当1a时，对0 x，有0)42(22+axax，即0)( xf， )(xf在), 0( +内单调递增。 (2)当10 a时，令0)( xf，即0)42(22+axax， 解得aax122或aax+122， )(xf在区间)122 , 0(aa内单调递增，在区间),122(+aa内也单调递增， 令0)( xf，即0)42(22+axax，解得aaxaa+122122， )(xf在区间)122 ,122(aaaa+内单调递减。 变式 1-2已知函数)ln

6、1 (2)(xaxxxf+=，0a，讨论)(xf的单调性。 【解析】)(xf的定义域是), 0( +，222221)(xaxxxaxxf+=+=， 设2)(2+=axxxg，则0)(=xg的判别式82=a， 当0即220 a时，对0 x都有0)( xf，则)(xf在), 0( +内单调递增。 当0即22a时，方程0)(=xg有两个不同的实根： 2821=aax，2822+=aax，210 xx ， x ), 0(1x 1x ),(21xx 2x ),(2+x )(xf 0)( xf 0 0)( xf 0 0)( xf )(xf 极大值 极小值 此时)(xf在)28, 0(2aa和),28(2+

7、aa上单调递增， 3 / 17 在)28,28(22+aaaa是上单调递减。 变式 1-3已知函数xaxxf+=)(ra)，xxgln)(=，求函数)()()(xgxfxf+=的单调区间。 【解析】xxaxxgxfxfln)()()(+=+=的定义域为), 0( +，22211)(xaxxxxaxf+=+=， (1)当041=a，即41a时，得02+axx，则0)( xf恒成立， )(xf在), 0( +上单调递增； (2)当041=a，即41a时，令0)(= xf，得02=+axx， 解得024111+=ax，24112ax+=， 若041a，则024112+=ax，), 0( +x，0)(

8、 xf， )(xf在), 0( +上单调递增， 若0a，则024112+=ax， 当)2411, 0(ax+时，0)( xf，当),2411(+ax时，0)( xf， )(xf在区间)2411, 0(a+上单调递减，在区间),2411(+a上单调递增。 综上所述，当0a时，函数)(xf的单调递增区间为), 0( +； 当0a时，函数)(xf的单调递减区间为)2411, 0(a+， 单调递增区间为),2411(+a。 变式 1-4设函数kbxaxxf+=2)(0k)在0=x处取得极值，且曲线)(xfy =在点)1 (, 1 (f处的切线垂直于直线012=+yx。 (1)求a、b的值； (2)若函

9、数)()(xfexgx=，讨论)(xg的单调性。 【解析】(1)baxxf+=2)(，又)(xf在0=x处取极值，故0=b； 由曲线)(xfy =在点)1 (, 1 (f处的切线垂直于直线012=+yx相互垂直可知， 该切线斜率为2，即2) 1 (= f，有22 =a，1=a； 4 / 17 (2)由(1)知，kxexgx+=2)(0k)，222)()2()(kxkxxexgx+=(0k)， 令0)(= xg，则022=+kxx，k44=， 当0即1k时，对rx都有0)( xg恒成立，则)(xg在r内单调递增。 当0即10 k时，方程0)(= xg有两个不同的实根： kx=111，kx+=11

10、2，21xx ， 则)(xf在)11 ,(k和),11 (+k上单调递增， 在)11 ,11 (kk+是上单调递减。 方法总结：含参数的二次不等式的根的讨论的一般步骤： 1、先看二次项系数是否为零： (1)如果是，则是讨论一次方程根的情况了， (2)如果不是，则对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； 2、看能不能进行因式分解(尤其是十字交叉法)： (1)如果能，那么可以确定方程有根， (2)如果不能，则需判断判别式与0的关系，分类求解， (3)当由两根时，把两个表示出来，先对两根的大小进行比较，再对根是否在定义域内进行讨论(此处如果定义域是以零作为分界点，往往利用韦达定理进

11、行初步判定较简单)； 3、要熟悉二次函数的图像及其零点的分布情况，分类讨论时要做到“不重不漏”。 模板二：利用导数求函数的单调区间，判定函数的单调性，求参数的取值范围模板二：利用导数求函数的单调区间，判定函数的单调性，求参数的取值范围 应用函数零点求参数值或取值范围的基本方法考虑分离参数的方法。然后转化为恒成立的问题或者求值域的问题来解决，能不能合理有效的分参，关键是看参数的系数及其参数的次数和独立性。 第一步：求函数)(xf的定义域，求函数)(xf的导函数)(xf ； 第二步：分离参数，转化为恒成立问题，即大于最大，则大于所有；小于最小，则小于左右；对参数进行分类讨论； 第三步：通过移项构造

12、新的函数，讨论这个新的函数的单调性、最值，利用最值问题、恒成立关系等讨论参数或证明不等式； 第四步：反思检验，查找易错、易漏点，规范答题的严谨性。 例 2-1已知函数1ln) 1()(+=xxxxf，若1)(2+axxxfx，求a的取值范围。 审题路线图：(1)确定函数)(xf的定义域，求)(xf的导数)(xf ； (2)化简所给不等式分离参数形成新的不等式； (3)构造新的函数，求新函数的单调区间和最值； (4)求新函数的最大值max)(xgmax)(xga 。 5 / 17 【解析】)(xf的定义域为), 0( +，xxxxxxf1ln1ln1)(+=+=，1ln)(+=xxxfx， 题设

13、1)(2+axxxfx等价于11ln2+axxxx，即axxln， 令xxxg= ln)(，)(xg的定义域也为), 0( +，则11)(=xxg，令0)(= xg，解得1=x， 当10 x时，0)( xg，)(xg在) 1 , 0(上单调递增， 当1x时，0)( xg，)(xg在), 1 ( +上单调递减， 1=x是)(xg的极大值点，也是最大值点，1) 1 ()(max=gxga， 综上，a的取值范围是), 1+。 构建答题模板： 第一步：确定函数的定义域，如本题函数的定义域为), 0( +； 第二步：求函数)(xf的导数)(xf 并代入题设中的不等式； 第三步：分离参数，转化为新的不等式

14、，形成恒成立问题； 第四步：通过移项构造新的函数，讨论这个新的函数的单调性、最值，利用最值求参数范围； 第五步：反复回顾，注意定义域、分类讨论取值范围等关键点及易错点，明确规范书写答题。 变式 2-1已知函数dcxbxxxf+=23)(，当32=x和1=x时取得极值。 (1)求b和c的值； (2)若对于任意2 , 1x，12)(2 dxf恒成立，求d的取值范围。 审题路线图：)(xf)(xf =0) 1 (0)32(ff求b、c在2 , 1上求)(xf的最大值解不等式max)(xf 122 dd的取值范围。 规范解答：规范解答： 【解析】(1)cbxxxf+=23)(2，又32=x和1=x是)

15、(xf的极值点， =0) 1 (0)32(ff，即=+=+012130)32(2)32(322cbcb，解得=221cb，检验符合。 (2)由(1)知dxxxxf+=221)(23，23)(2=xxxf，令0)(= xf得321=x，12=x， 当)32, 1x时0)( xf，即)(xf在)32, 1上为增函数， 6 / 17 当) 1 ,32(x时0)( xf，即)(xf在) 1 ,32(上为减函数， 当2 , 1 (x时0)( xf，即)(xf在2 , 1 (上为增函数， 又df+=2722)32(，df+= 2)2(，dfdf+=+=2722)32(2)2(， 2 , 1x时，dxf+=

16、 2)(max，又12)(2 dxf恒成立， 即1222+dd，解得1d或23d，d的取值范围为),23() 1,(+。 构建答题模板： 第一步：将问题转化为形如不等式axf)(或axf)()恒成立的问题； 第二步：求函数)(xf的最小值min)(xf(或最大值max)(xf)； 第三步：解不等式axfmin)(或axfmax)()； 第四步：反复回顾，注意分类讨论取值范围、端点是否能取到等关键点及易错点，明确规范书写答题。 变式 2-2已知函数) 1(ln) 1()(+=xaxxxf。 (1)当4=a时，求曲线)(xfy =在)1 (, 1 (f处的切线方程； (2)若当), 1 ( +x时

17、，0)(xf，求a的取值范围。 【解析】(1)(xf的定义域为), 0( +，当4=a时，) 1(4ln) 1()(+=xxxxf， 31ln)(+=xxxf，2) 1 (= f，0) 1 (=f， 曲线)(xfy =在)1 (, 1 (f处的切线方程为022=+ yx， (2)当), 1 ( +x时，0)(xf等价于01) 1(ln+xxax，设1) 1(ln)(+=xxaxxg， 则()()22211)1 (2121)(+=+=xxxaxxaxxg，0) 1 (=g， 当2a，), 1 ( +x时，0121)1 (222+xxxax， 故0)( xg，)(xg在), 1 ( +单调递增，因

18、此0)(xg， 当2a时，令0)(= xg得，1) 1(121=aax，1) 1(122+=aax， 由12x和121=xx得11x， 故当), 1 (2xx时，0)( xg，)(xg在), 1 (2x单调递减，因此0)(xg， 综上，a的取值范围是2 ,(。 变式 2-3已知函数)ln()(axxxf+=的最小值为0，其中0a。 (1)求a的值； (2)若对任意的), 0 +x，有2)(kxxf成立，求实数k的最小值。 7 / 17 【解析】(1)(xf的定义域为),(+a，axaxaxxf+=+=111)(，令0)(= xf，则ax=1， 当ax1时，0)( xf，)(xf在),1 (+a

19、上单调递增， 当axa1时，0)( xf，)(xg在)1 ,(aa 上单调递减， 则ax=1是)(xf的极小值点，也是最小值点，01)1 ()(min=aafxf，解得1=a， (2)原式2)(kxxf可化为0) 1ln(2+xxkx，(0 x) 设) 1ln()(2+=xxkxxg，则只需证明0)(xg在), 0 +x上恒成立， )0(0)(mingxg=，即证)(xg在), 0 +为单调递增函数， 1) 122(1112)(+=+=xkkxxxkxxg， 当0k时，0)( xg恒成立，)(xg在), 0 +为单调递减函数，0)(xg，与题设不符， 当012k(210 k)时，0)( xg0

20、2210 xkkx=0)0()(0= gxg， 与题设不符， 当21k时，0)( xg0)0()(min=xg，符合题设， 综上，实数k的最小值为21。 变式 2-4已知函数xaxxfln)(=(ra)。 (1)设函数xaxfxh+=1)()(，求函数)(xh的单调区间； (2)若xaxg+=1)(，在, 1 e上存在一点0 x，使得)()(00 xgxf成立，求a的取值范围。 【解析】(1)xaxaxxh+=1ln)(，定义域为), 0( +， 2222)1 ()1()1 (11)(xaxxxaaxxxaxaxh+=+=+=， 当01+a，即1a时，令0)( xh，0 x，ax+1； 令0)

21、( xh，0 x，ax+10， 当01+a，即1a时，0)( xh恒成立， 综上：当1a时，)(xh在) 1, 0(+a上单调递减，在), 1(+a上单调递增， 当1a时，)(xh在), 0( +上单调递增； 8 / 17 (2)由题意可知在, 1 e上存在一点0 x，使得)()(00 xgxf成立， 即在, 1 e上存在一点0 x，使得0)(0 xh， 即函数xaxaxxh+=1ln)(在, 1 e上的最小值0)(minxh，由第(1)问可知： 当ea+1，即1 ea时，)(xh在, 1 e上单调递减， 01)()(min+=aeaeehxh，112+eea，又1112+eee，112+ee

22、a， 当11+a，即0a时，)(xh在, 1 e上单调递增， 011) 1 ()(min+=ahxh，2a， 当ea+11，即10ea时，0)1ln(2)1 ()(min+=+=aaaahxh， 1)1ln(0+a，aaa+)1ln(0，2)1 (+ah，此时不存在0 x使0)(0 xh成立， 综上可得所求a的范围是：112+eea或2a。 模板三、导数的证明问题模板三、导数的证明问题 方法总结：(1)分析法：利用划归转化思想； (2)构造函数：转化为求函数最值问题； (3)利用均值不等式； (4)利用不等式：整合函数解析式； 几个常见不等式：1ln xx(0 x)；1+ xex；xx sin

23、(0 x)。 例 3-1已知函数1ln) 1()(+=xxxxf。证明：0)() 1(xfx。 【解析】1lnln1ln) 1()(+=+=xxxxxxxxf的定义域为), 0( +， 构造函数1ln)(+=xxxg，xxxxg=111)(，令0)(= xg，则1=x， 当10 x时0)( xg，)(xg在) 1 , 0(上单调递增， 当1x时0)( xg，)(xg在), 1 ( +上单调递减， 则) 1 (g为)(xg的极大值也是最大值，0) 1 ()(= gxg， 当10 x时，0) 1(lnln)(+=xxxxxf，01x，则0)() 1(xfx成立， 当1x时，) 111(lnln)

24、11(lnln) 1ln(ln)(+=+=+=xxxxxxxxxxxxxf， 0111ln+xx，0 x，0lnx，0) 111(lnln)(+=xxxxxf， 则0)() 1(xfx成立， 综上，在定义域), 0( +内0)() 1(xfx恒成立。 9 / 17 变式 3-1已知函数xaaxxxfln) 1(21)(2+=，1a。 证明：若5a，则对任意1x、), 0(2+x，21xx ，有1)()(2121xxxfxf。 【解析】构造函数xxaaxxxxfxg+=+=ln) 1(21)()(2，则)(xg的定义域为), 0( +， 2) 11(1) 1(121) 1()(=+=aaxaxx

25、aaxxg， 由于51 a，故0)( xg，即)(xg在), 0( +单调增加， 从而当021 xx时有0)()(21xgxg， 即0)()(2121+xxxfxf，故1)()(2121xxxfxf， 当210 xx 时，有1)()()()(12122121=xxxfxfxxxfxf。 变式 3-2已知函数xxf=)(，xaxgln)(=，ra。 (1)设函数)()()(xgxfxh=，当)(xh存在最小值时，求其最小值)(a的解析式； (2)对(1)中的)(a和任意的0a、0b，证明：)2(2)()()2(baabbaba+。 【解析】(1)由条件知xaxxhln)(=，)(xh的定义域为)

26、, 0( +，xaxxaxxh2221)(=， 当0a时，令0)(= xh，解得24ax =， 当240ax 时，0)( xh，)(xh在)4 , 0(2a上递减， 当24ax 时，0)( xh，)(xh在),4(2+a上递增， 24ax =是)(xh在), 0( +上的唯一极值点，从而也是)(xh的最小值点， 最小值)2ln1 (24ln2)()(22aaaaaaha=， 当0a时，0)( xh恒成立，)(xh在), 0( +上递增，无最小值， 故)(xh的最小值)(a的解析式为)2ln1 (2)(aaa=(0a)； (2)由(1)知aa2ln2)(=，对任意的0a、0b， abbaba4l

27、n22ln22ln22)()(=+=+， abbababa4ln)ln()22ln(2)2(2+=+=+， ababababbaabbaab4ln2ln224ln2)22ln(2)2(=+=+， 10 / 17 故由得)2(2)()()2(baabbaba+。 变式 3-3设) 1()(2+=xaxexfx，且曲线)(xfy =在1=x处的切线与x轴平行。 证明：当2, 0时，2| )(sin)(cos|ff。 【解析】)(xf的定义域为r，2) 12()(2+=xaaxexfx， 由题意可知0)33(2) 12() 1 (=+=+=aeaaef，解得1=a， 即) 1()(2+=xxexfx

28、，) 1()2()2()(2+=+=xxexxexfxx， 则知)(xf在 1 , 0单调增加，故)(xf在 1 , 0的最大值为ef=) 1 (，最小值为1)0(=f， 从而对任意1x、 1 , 02x，有21| )()(|21exfxf， 而当2, 0时，sin、 1 , 0cos ，从而2| )(sin)(cos|ff。 课后练习课后练习 1已知函数cbxaxxxf+=23)(，曲线)(xfy =在点1=x处的切线l的方程为：013=+ yx，又当32=x时)(xfy =有极值。 (1)求a、b、c的值； (2)求)(xf在 1 , 3上的最大值和最小值。 【解析】(1)由cbxaxxx

29、f+=23)(得)(xf的定义域为r，baxxxf+=23)(2， 当1=x时，切线l的斜率为3，则323) 1 (=+=baxf，可得02=+ba， 当32=x时，)(xfy =有极值，则0)32(= f，可得0434=+ ba， 由解得2=a，4=b。 由于切点的横坐标为1=x，4) 1 (=f，41=+cba，5=c， 542)(23+=xxxxf； (2)443)(2+=xxxf，令0)(= xf，得21=x，322=x，列表如下： x 3 )2, 3( 2 )32, 2( 32 ) 1 ,32( 1 )(xf 0)( xf 0 0)( xf 0 0)( xf )(xf 8 单调递增

30、13 单调递减 2795 单调递增 4 )(xf在 1 , 3上的最大值为13，最小值为2795。 2已知函数xxxfln)(=。 11 / 17 (1)求)(xf的最小值； (2)若对所有1x都有1)( axxf，求实数a的取值范围。 【解析】(1)(xf的定义域为), 0( +，)(xf的导数1ln)(+=xxf。 令0)( xf，解得ex1，令0)( xf，解得ex10， 从而)(xf在)1, 0(e单调递减，在),1(+e单调递增， 当ex1=时，)(xf取得最小值e1； (2)依题意得1)( axxf在), 1 +上恒成立，即不等式xxa1ln+对于), 1 +x恒成立， 令xxxg

31、1ln)(+=， 则22111)(xxxxxg=， 当1x时，01)(2=xxxg，故)(xg是), 1 +上的增函数， )(xg的最小值是1) 1 (=g，1a从而a的取值范围是 1 ,(。 3已知函数xxfln)(=，xaxg=)(0a)，设)()()(xgxfxf+=。 (1)求函数)(xf的单调区间； (2)若以函数)(xfy =，3 , 0(x的图像上任意一点),(00yxp为切点的切线的斜率21k恒成立，求实数a的最小值。 【解析】(1)xaxxgxfxf+=+=ln)()()(，定义域为), 0( +，221)(xaxxaxxf=， 0a，由0)( xf),(+ ax，)(xf在

32、),(+a上单调递增， 由0)( xf), 0(ax，)(xf在), 0(a上单调递减， )(xf的单调递减区间为), 0(a，单调递增区间为),(+a； (2)2)(xaxxf=(30 x)， 21)(2000=xaxxfk，(300 x)恒成立max020)21(xxa+， 当10=x时，02021xx +取得最大值21，21a，21min=a。 4设函数cbxaxxxf8332)(23+=在1=x及2=x时取得极值。 (1)求a、b的值； (2)若对于任意的3 , 0 x，都有2)(cxf成立，求c的取值范围。 12 / 17 【解析】(1)baxxxf366)(2+=，又)(xf在1=

33、x及2=x处取极值，故0)2() 1 (=ff， 即=+=+0312240366baba，解得3=a，4=b； (2)由(1)知，cxxxxf81292)(23+=，)2)(1(612186)(2=+=xxxxxf， 当) 1 , 0(x时，0)( xf，当)2 , 1 (x时，0)( xf，当)3 , 2(x时，0)( xf， 当1=x时)(xf取得极大值cf85) 1 (+=，又cf8)0(=，cf89)3(+=， 则当3 , 0 x时，)(xf的最大值为cf89)3(+=， 对于任意的3 , 0 x，都有2)(cxf恒成立，289cc +，解得1c或9c， c的取值范围为), 9() 1

34、,(+。 方法总结：求参数取值范围的处理思路： 1、先选分参，转化为求函数的最值或者函数的值域问题，要么就是转化为一个无参数的超越函数的图像(可以利用求导来描绘)； 2、若分参感觉困难，则构造函数，利用函数图像及其单调性来解决。 5设函数axxxxf+=629)(23。 (1)对于任意实数x，mxf)(恒成立，求m的最大值； (2)若方程0)(=xf有且仅有一个实根，求a的取值范围。 【解析】(1)2)(1(3693)(2=+=xxxxxf，rx，mxf)(，即06932+mxx恒成立， 0)6(1281=m，得43m，即m的最大值为43； (2)当1x时0)( xf，当21 x时0)( xf

35、，当2x时0)( xf， 当1=x时，)(xf取极大值af=25) 1 (，当2=x时，)(xf取极小值af= 2)2(， 故当0)2(f或0) 1 (f时方程0)(=xf仅有一个实根，解得2a或25a。 6已知xxxfln)(=，2)(23+=xxaxxg。 (1)求函数)(xf的单调区间； (2)求函数)(xf在2,+tt(0t)上的最小值； (3)对一切的), 0( +x，2)()(2+xgxf恒成立，求实数a的取值范围。 【解析】(1)1ln)(+=xxf，令0)( xf，解得ex10，令0)( xf，解得ex1， )(xf在)1, 0(e单调递减，在),1(+e单调递增， 13 /

36、17 (2)ett120+，t无解， 210+tet，即et10时，eefxf1)1()(min=， 21+tte，即et1时，)(xf在2,+tt单调递增，tttfxfln)()(min=， =etttetexf1,ln10 ,1)(min； (3)由题意：2123ln22+axxxx在), 0( +x上恒成立， 即123ln22+axxxx，可得xxxa2123ln， 设xxxxh2123ln)(=，则222) 13)(1(21231)(xxxxxxh+=+=， 令0)(= xh，得1=x(取)或31=x(舍)， 当10 x时0)( xh，当1x时0)( xh， 当1=x时)(xh取得最大

37、值2)(max=xh，2a。 注：这类型是极值点定区间动的问题。可以类似于二次函数的轴定区间动来处理。 7已知函数xaxxfln2)(2=(ra且0a)。 (1)若)(xf在定义域上为增函数，求实数a的取值范围； (2)求函数)(xf在区间2 , 1 上的最小值。 【解析】(1)(xf定义域为), 0( +，且xaxxf22)(=，若)(xf在定义域上是增函数， 则022)(=xaxxf在), 0( +上恒成立，即2xa 在), 0( +上恒成立，0a， 由已知0a，实数a的取值范围为)0 ,(； (2)若0a，由(1)知)(xf在区间2 , 1 上为增函数， )(xf在区间2 , 1 上的最

38、小值为1) 1 (=f， 若0a，xaxaxxaxxf)(222)(2+=， 函数)(xf在区间), 0(a上为减函数，在区间),(+a上为增函数， 若1a，即10 a时，),(2 , 1 +a， )(xf在区间2 , 1 上为增函数，)(xf在2 , 1 的最小值为1) 1 (=f， 14 / 17 若21a，即41 a时，)(xf在区间), 1 (a为减函数，在)2 ,( a上为增函数， )(xf在区间2 , 1 上的最小值为aaaafln)(=， 若2a，即4a时，), 0(2 , 1 a， )(xf在区间2 , 1 上为减函数，)(xf在2 , 1 的最小值为2ln24)2(=af，

39、综上所述，当1a且0a时，)(xf在2 , 1 的最小值为1) 1 (=f， 当41 a时，)(xf在2 , 1 的最小值为aaaafln)(=， 当4a时，)(xf在2 , 1 的最小值为2ln24)2(=af。 注：这类型是区间动、极值点动的情况。处理技巧是分类为极值点在区间左边，右边，中间三类。也可以类似于二次函数区间定对称轴动的情况。 8设函数axxxxf22131)(23+=。 (1)若)(xf在),32(+上存在单调递增区间，求a的取值范围； (2)当20 a时，)(xf在4 , 1 上的最小值为316，求)(xf在该区间上的最大值。 【解析】(1)由axaxxxf241)21(2

40、)(22+=+=， 当),32+x时，)(xf 的最大值为af292)32(+=， 令0292+ a，得91a，当91a时，)(xf在),32(+上存在单调递增区间， 即)(xf在),32(+上存在单调递增区间时，a的取值范围是),91(+； (2)令0)(= xf，得两根28111ax+=，28112ax+=，21xx ， )(xf在),(1x、),(2+x上单调递减，在),(21xx上单调递增， 当20 a时，有4121xx，)(xf在4 , 1 上的最大值为)(2xf， 又06227) 1 ()4(+=aff，即) 1 ()4(ff， )(xf在4 , 1 上的最小值为3163408)4(= af， 得1=a，22=x，从而)(xf在4 , 1 上的最大值为310)2(=f。 15 / 17 9已知函数xxaxaxf+=22ln)(0a)。 (1)若曲线)(xfy =在点)1