高考数学二轮复习专题15 导数综合练习（文）（解析版）

1、1 / 11 专题专题 15 导数综合练习导数综合练习 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，第分。每小题给出的四个选项中，第 1-10 题只有一项符合题只有一项符合题目要求，第题目要求，第 11-12 题有多项符合题目要求，全部选对的得题有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0分）分） 1如图，函数)(xfy =是可导函数，直线l：2+= kxy是曲线)(xfy =在3=x处的切线，令)()(xfxxg=，)(xg是)(xg的导函数，则=)3

2、(g( )。 a、1 b、0 c、2 d、4 【答案】b 【解析】由图可知曲线)(xfy =在3=x处切线的斜率为)3(fk=， 且直线l必过点)20( ，和) 13( ，则313012=k，即31)3(= f， 又)()(xfxxg=，)()()(xfxxfxg+=，)3(3)3()3(ffg+=， 又1)3(=f，0)31(31)(=+= xg，故选 b。 2已知函数caxxxf+=32)(在),(+上单调递增，则( )。 a、0a且rc b、0a且rc c、0a且0=c d、0a且0c 【答案】a 【解析】axxf=26)(，则0)( xf恒成立，则0a，c无要求，故选 a。 3已知函数

3、)(xfxy=的图像如右图所示其中)(xf 是函数)(xf的导函数，则)(xfy =的图像大致是下面四个图像中的( )。 a、 b、 c、 d、 【答案】c 【解析】1x，0)( xf，01x，0)( xf，10 x，0)( xf，1x，0)( xf， 故选 c。 2 / 11 4已知函数xaxaxxfln4)(2=，则)(xf在)3 , 1 (上不单调的一个充分不必要条件是( )。 a、)61,(a b、),21(+a c、)61,21(a d、),21(+a 【答案】d 【解析】)(xf定义域为), 0( +，xaaxxf142)(=，)(xf在)3 , 1 (上不单调， 则0142)(=

4、xaaxxf在)3 , 1 (上有解，此方程可化为01422= axax，221=+ xx， 方程的两解不可能都大于1，从而它在)3 , 1 (上只有一解， 充要条件是0) 11218() 142(aaaa，解得21a或61a， d 是要求的一个充分不必要条件，故选 d。 5函数)(xf的定义域为r，2) 1(=f，对任意rx，2)( xf，则42)(+xxf的解集为( )。 a、) 1(， b、) 11(， c、)1(+ ， d、)1 (+， 【答案】c 【解析】令)42()()(+=xxfxg，则02)()(=xfxg，故)(xg在r上单调递增。 又02) 1() 1(=fg，故当1x时，

5、0)(xg，即42)(+xxf，故选 c。 6已知函数xxxfln)(+=，曲线)(xfy =在0 xx =处的切线l的方程为1= kxy，则切线l与坐标轴所围成的三角形的面积为( )。 a、21 b、41 c、2 d、4 【答案】b 【解析】由xxxfln)(+=得xxf11)(+=，则kxxf=+=0011)(，得110=kx， 由1111ln11)11(=+=kkkkkf得加011ln=k，即2=k， 切线l的方程为12 =xy， 令0=x，得到1=y，令0=y，得到21=x， 所求三角形面积为41| 1|2121=，故选 b。 7设xmxxxfcos) 1(sin)(+=，若2, 0

6、x，0)(xf恒成立，则实数m的取值范围为( )。 a、 1 ,( b、),1 + c、),21 + d、), 1 + 【答案】a 3 / 11 【解析】将不等式变形为xmxxcos) 1(sin+， 当2=x时，不等式恒成立； 当20 x时，不等式变形为1cossin+mxxx， 记xxxxgcossin)(+=，则xxxxxg2cos1sincos)(+=，而0)( xg， 因此xxxxgcossin)(+=在)2, 0上单调递增，故0)0()(= gxg，01m，故1m， m的取值范围是 1 ,(，故选 a。 8已知函数xxeaexf+=)(是偶函数，则不等式) 12() 1(+xfxf

7、的解集为( )。 a、)0 , 2( b、)2 , 0( c、), 0()2,(+ d、), 2()0 ,(+ 【答案】a 【解析】由特殊的奇偶函数可知1=a，xxeexf1)(+=， 当0 x时，01)(=xxeexf，)(xf在), 0( +上单调递增， 又)(xf为偶函数，)(xf在)0 ,(上单调递减， ) 12() 1(+xfxf可化成| 12| 1|+xx，两边平方得1441222+xxxx， 即0632+ xx，解得02x，选 a。 9已知函数xxxfln)(=，4)(2+=xxxxg，若)1 (21+，xx，使得)() 1()(21xgtxft+(0t)成立，则t的取值范围是(

8、 )。 a、1210(e， b、1310(e， c、)131+，e d、)121+，e 【答案】b 【解析】2)(ln1ln)ln()(xxxxxf=，当), 1 ( ex时0)( xf，)(xf单调递减； 当)(+，ex时0)( xf，)(xf单调递增； eeeefxf=ln)()(，1x，故1414)(2+=+=xxxxxxg， 又4424=+xxxx(当且仅当2=x时等号成立)，31141)(0=xg， 4 / 11 0t，故)() 1()(21xgtxft+可化为31+tte，解得1310et，故选 b。 10若存在斜率为a3(0a)的直线l与曲线baxxxf2221)(2+=与xax

9、gln3)(2=都相切，则实数b的取值范围为( )。 a、43(32e， b、34(32e， c、)3243+，e d、)2343+，e 【答案】a 【解析】设直线l与)(xf、)(xg的切点分别为)(11yx，、)(22yx ， 则由axxf2)(+=，xaxg23)(=，得axaax332221=+，解得axx=21， 两切点重合，即)()(agaf=，aabaaln32221222=+， 依题意aaabln325222=在)0(+，a上有解， 令aaaahln325)(22=(0a)，则)ln31 (2)(aaah=， 当310ea 时0)( ah，)(ah单调递增，当31ea 时0)(

10、 ah，)(ah单调递减， 3231323231max23ln325)()(eeeeehah=，当+a时)(ah， 32232eb ，即3243eb ，故选 a。 11若函数axxxf+= ln)(的图像上存在直线02= yx平行的切线，则实数a的取值范围为( )。 a、)212()12(，ee b、)12(e， c、)2(， d、)212(，e 【答案】a 【解析】)(xf的定义域为), 0( +，axxf+=1)(， 函数axxxf+= ln)(存在直线02= yx平行的切线， 方程21=+ ax在区间), 0( +x上有解，即xa12=在区间), 0( +x上有解，2a， 若直线02=

11、yx与曲线axxxf+= ln)(相切，设切点),(00yxp，则+=+0000ln221axxxax， 解得ex =0，此时ea12=， 5 / 11 综上实数a的取值范围为)2 ,12()12 ,(ee，故选 a。 12若函数2)(+=xemxxf恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围为( )。 a、) 1 ,1(e b、),1(+e c、), 1 ( e d、),( +e 【答案】b 【解析】显然，0=x不是函数)(xf的零点，令0)(2=+=xemxxf，得xemx 2=， 构造函数xexgx 2)(=，0 x，则22) 1()(xxexgx=， 令0)( xg得到1x，令0)( xg

12、得到1x且0 x， 画出函数)(xg的图象，如图所示， 可知当0m时，直线my =与)(xg的图象不可能有两个交点， 当0m且1=x时)(xg取得最小值，egxg1) 1 ()(min=， 当em1时，)(xg的图象与直线my =有两个不同的交点， 即函数2)(+=xemxxf恰有两个不同的零点，m的取值范围为),1(+e，故选 b。 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在题中横线上）分。把答案填在题中横线上） 13曲线xexxysin3 +=在)0 , 0(处的切线方程为 。 【答案】04= yx 【解析】由xexxysin

13、3 +=求导可得xexxxycossin33+=， 故在)0 , 0(处切线斜率为4|0=xy，切线方程为xy4=。 14已知函数xaxfln)(=(0a)，若直线1= xy与曲线)(xfy =相切，则=a 。 【答案】1 【解析】xaxf=)(，设切点为),(nm，则切线斜率为ma，故1=ma，即am=，故1ln=aaan， 令1ln)(+=aaaag(0a)，则aaagln1ln1)(=+=， 当10 a时0)( ag，故)(ag在) 1 , 0(上单调递减， 当1a时0)( ag，故)(ag在), 1 ( +上单调递增， 15函数+=2,32, 12)(3xxxxxfx，若函数mxfy=

14、)(有2个零点，则实数m的取值范围是 。 【答案】2=m或3m 【解析】画出函数)(xf的图像，如图示： 6 / 11 若函数mxfy=)(有2个零点，只需求)(xfy =与my =图像交点， 也就是分别画出)(xfy =(如图)与my =(一条水平直线)， 结合图像：2=m或3m。 16已知函数aexxfx+= 2)(，若曲线xysin=上存在点)(00yx ，使得00)(yyff=，则实数a的取值范围是 。 【答案】 111+ee， 【解析】点)(00yx ，在曲线xysin=上，则 11sin00，=xy， 又02)(+=xexf，则)(xf在r上是单调递增函数，则)(xf为一一对应函数

15、， 设cyf=)(0，则)()(00yfycf=，则0yc =，则当 11，x时，xxf=)(， xaexx=+2，xeax+=， 设xexgx+=)(， 11，x，则)(xg在 11，上是单调递增函数， ) 1 ()() 1(gxgg，即1)(11exge，则实数a的取值范围是 111+ee，。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（10分）已知函数xaxxxf3)(23=(ra)。 (1)若0)3(= f，求)(xf在4 , 1 上的最小值和最大值； (2)若)(

16、xf在), 1 +上是增函数，求实数a的取值范围。 【解析】(1)(xf的定义域为r，323)(2=axxxf， 1分 由0)3(= f得03627= a，解得4=a，383)(2=xxxf， 2分 令0)(= xf，即0)3)(13(3832=+=xxxx，解得31=x或3=x， 3 分 x 1 )3 , 1 ( 3 )4 , 3( 4 )(xf 0)( xf 0 0)( xf )(xf 6 极小值18 12 )(xf在4 , 1 上的最小值是18)3(=f，最大值是6) 1 (=f； 5 分 (2)由题意得：0323)(2=axxxf在区间), 1 +上恒成立，)1(23xxa， 7 分

17、又当1x时，)1(23)(xxxg=是增函数，其最小值为0) 1 (=g，0a， 9分 即实数a的取值范围是0 ,(。 10分 18（12分）设函数mxxexfmx+=2)(。 (1)证明：)(xf在)0(，单调递减，在)0(+，单调递增； 7 / 11 (2)若对于任意 1121，、xx，都有1| )()(|21exfxf，求m的取值范围。 【解析】(1)证明：)(xf的定义域为r，xemxfmx2) 1()(+=， 1 分 若0m，当)0(，x时01mxe，0)( xf， 当)0(+，x时01mxe，0)( xf， 3分 若0m，当)0(，x时01mxe，0)( xf， 当)0(+，x时0

18、1mxe，0)( xf， 5分 综上，)(xf在)0(，单调递减，在)0(+，单调递增； 6分 (2)由(1)知对于m，)(xf在01，单调递减，在 10 ，单调递增，)(xf在0=x处取最小值， 1| )()(|21exfxf的充要条件是1)0() 1(1)0() 1 (effeff，即+11emeememm， 8 分 设函数1)(+=etetgt，则1)(=tetg， 当0t时0)( tg，当0t时0)( tg，故)(tg在)0(，单调递减，在)0(+，单调递增， 又0) 1 (=g，02) 1(1+=eeg，故当 11，t时0)(tg， 10分 当 11，m时，0)(mg，0)(mg，即

19、式成立， 当1m时，由)(tg的单调性可得0)(mg，即1emem，式不成立， 当1m时，由)(tg的单调性可得0)(mg，即1+emem，式不成立， 综上，m的取值范围是 11，。 12分 19（12分）已知函数cxexfx=)(rc)。 (1)若0c，函数)(xf在区间2 , 1上的最小值为e1，求c的值； (2)设xexfxg+=)()(，若函数)(xg有极值，求实数c的取值范围。 【解析】(1)(xf的定义域为r，cexfx=)(， 1 分 若0c，则0)( xf恒成立，)(xf在r上单调递增， 2分 函数)(xf在区间2 , 1上的最小值为ecef=+=1) 1(，则1=c； 4分

20、(2)由题意得：cxeeexfxgxxx=+=)()(rc)，)(xg的定义域为r， 5 分 则ceexgxx+=)(，而22=+xxxxeeee，当且仅当0=x时取等号， 6 分 分两种情况： 当2c时，对任意rx，0)( xg恒成立，此时)(xg无极值， 7 分 当2c时，令tex=，方程012=+ctt有两根， 8 / 11 2421=cct，2422+=cct， 8分 0)(= xg有两个根24lnln211=cctx，24lnln222+=cctx， 9分 当21xxx时，0)( xg，)(xg在区间),(21xx上单调递减， 当1xx 或2xx 时0)( xg，)(xg在区间),(

21、1x和),(2+x上单调递增， 从而)(xg在1xx =处取极大值，在2xx =处取极小值， 11分 综上，若函数)(xg有极值，则实数c的取值范围为), 2( +。 12分 20（12分）已知函数xxexfxcossin)(=，xexxxg2cos)(=，其中e是自然对数的底数。 (1)判断函数)(xfy =在)2, 0(内的零点的个数，并说明理由； (2)2, 01x，2, 02x，使得mxgxf+)()(21成立，试求实数m的取值范围； 【解析】(1)函数)(xfy =在)2, 0(内的零点的个数为1，理由如下： 1 分 xxexfxcossin)(=，xxxexfxsin)cos(si

22、n)(+=， )2, 0(x，0)( xf， 3分 函数)(xfy =在)2, 0(上单调递增，01)0(=f，0)2(f， 4 分 根据函数零点存在性定理得函数)(xfy =在)2, 0(内的零点的个数为1； 5分 (2)mxgxf+)()(21，)()(21xgmxf，min2min1)()(xgmxf， 6分 max2min1)()(xgmxf，当2, 0 x时，0)( xf，函数)(xf在2, 0上单调递增，7分 1)0()(min= fxf，xexxxg2cos)(=，xexxxxg2sincos)(=， 8分 2, 0 x，1cos0 x，0sinxx，22xe，0)( xg， 1

23、0 分 函数)(xg在2, 0上单调递减，2)0()(max= gxg，21+m， 11 分 21m，实数m的取值范围为21,(。 12 分 21（12分）已知函数axxxxf=233)(。 (1)讨论)(xf的单调性； (2)求证：当) 1, 3(a时 ，对)2 , 1 (x都有|33| )()(|2121xxxfxf。 9 / 11 【解析】(1)axxxxf=233)(，其定义域为r，axxxf=63)(2，a1236+=， 1 分 当0时，即3a时，0)( xf恒成立，)(xf在r上单调递增， 2分 当0时，即3a时，0)(= xf有两个根为： 33931ax+=、33932ax+=，

24、21xx ， 3 分 当)3393,(ax+和),3393(+ax时，0)( xf，)(xf单调递增， 4 分 当)3393,3393(aax+时，0)( xf，)(xf单调递减； 5分 (2)由(1)知，当) 1, 3(a时，0)( xf，)(xf在r上单调递增， 对)2 , 1 (x有|33| )()(|2121xxxfxf， 不妨设21xx ，)(xf在r上单调递增，)()(21xfxf， 则原式可以转化为12212133)()(33xxxfxfxx， 7 分 即有)()(3333)()(21211221xfxfxxxxxfxf，即证+112222113)(3)(3)(3)(xxfxxfxxfxxf， 设xxfxg3)()(+=，xxfxh3)()(=， 9分 则xaxxxxg33)(23+=，363)(2+=axxxg， 当)2 , 1 (x时，)(xg单调递增，axg)(， ) 1, 3(a，0)( xg， 10分 当)2 , 1 (x时，)(xg单调递增， )()(21xgxg，即22113)(3)(xxfxxf+， 同理可证)()(21xhxh，即11223)(3)(xxfxxf， 则原不等式得证。 12 分 22（12分）已