高考数学一轮复习课时作业(十三)　变化率与导数、导数的计算 (2)

1、1 / 4 课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算 基础过关组 一、单项选择题 1已知 f(x)ln x2x，则 f12( ) a2ln 2 b2ln 2 c2ln 2 d2ln 2 解析 依题意有 f(x)1x 2x212(2x) 12 ln x2x，故 f122ln 212ln 2。故选 d。 答案 d 2函数 f(x)2xln x 的图象在 x1 处的切线方程为( ) axy10 bxy10 c2xy10 d2xy10 解析 当 x1 时，f(1)202，所以切点为(1，2)，由题意得 f(x)21x，所以f(1)2111，所以切线方程为 y21(x1)，即 xy10。故选 a。 答

2、案 a 3如果曲线 yx4x 在点 p 处的切线垂直于直线 y13x，那么点 p 的坐标为( ) a(1,0) b(0，1) c(0,1) d(1,0) 解析 设点 p(a，b)，则 ba4a，由题得 y4x31。因为曲线 yx4x在点 p处的切线垂直于直线 y13x，所以 4a313，所以 a1。所以 b1410，所以点 p 的坐标为(1,0)。 答案 a 4已知函数 f(x)在 r 上可导，且 f(x)x22xf(1)，则函数 f(x)的解析式为( ) af(x)x24x bf(x)x24x cf(x)x22x df(x)x22x 解析 由题意，得 f(x)2x2f(1)，则 f(1)22

3、f(1)，解得 f(1)2，故 f(x)x24x。故选 a。 答案 a 5已知 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)xx2，则函数图象在 x1 处的切线方程是( ) a2xy10 bx2y20 c2xy10 dx2y20 解析 当 x0，所以 f(x)xx2f(x)，所以 f(x)xx2(x0，解得 a0。故选 a。 答案 a 二、多项选择题 7下列函数分别求导，其中正确的是( ) a1x1x2 b(cos 2x)2sin 2x 2 / 4 c3xln 33x d(lg x)1xln 10 解析 1x1x2，(cos 2x)2sin 2x，3xln 33x，(lg x)1xln 10。故选

4、 bc。 答案 bc 8(2021 潍坊期末)给出定义：若函数 f(x)在 d 上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)在 d 上也可导，则称 f(x)在 d 上存在二阶导函数，记 f(x)(f(x)，若 f(x)0 在 d 上恒成立，则称f(x)在 d 上为凸函数。以下四个函数在0，2上是凸函数的是( ) af(x)sin xcos x bf(x)ln x2x cf(x)x32x1 df(x)xex 解析 对于 a，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，因为 x0，2，所以 f(x)0，f(x)在0，2上是凸函数，故 a 正确；对于 b，f(x)1x2，f(x)1x

5、20，故 f(x)在0，2上是凸函数，故 b 正确；对于 c，f(x)3x22，f(x)6x0，故 f(x)在0，2上是凸函数，故 c正确；对于 d，f(x)(x1)ex，f(x)(x2)ex0，故 f(x)在0，2上不是凸函数，故 d 错误。故选 abc。 答案 abc 三、填空题 9(2020 全国卷)设函数 f(x)exxa。若 f(1)e4，则 a_。 解析 由于 f(x)ex(xa)ex(xa)2，故 f(1)ea(1a)2e4，解得 a1。 答案 1 10曲线 y(ax1)ex(e 为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与 x 轴交于点12，0 ，则 a_。 解析 yex(ax1

6、a)，所以 y|x01a，则曲线 y(ax1)ex在(0,1)处的切线方程为 y(1a)x1，又切线与 x 轴的交点为12，0 ，所以 0(1a)121，解得 a1。 答案 1 11(2021 开封市一模)设 p 为函数 f(x)ln xx3的图象上任意一点，q 为直线 2xy20 上任意一点，则 p，q 两点距离的最小值为_。 解析 由题意知，当函数 f(x)的图象在点 p(x0，y0)处的切线 l1与直线 l2：2xy20 平行，且pql2时，p，q 两点之间的距离最小。因为 f(x)ln xx3，所以 f(x)1x3x2，所以1x03x202，解得 x01，所以 y01，故切线 l1的方

7、程为 2xy10。由两平行直线之间的距离公式可得切线 l1与直线 l2之间的距离 d|1(2)|555，故 p，q 两点距离的最小值为55。 答案 55 四、解答题 12已知函数 f(x)x34x2 及其图象上一点 m(1，1)。 (1)若直线 l1与函数 f(x)的图象相切于点 m(1，1)，求直线 l1的方程； (2)若函数 f(x)的图象的切线 l2经过点 m(1，1)，但 m不是切点，求直线 l2的方程。 解 (1)f(x)3x24，f(1)1， 所以直线 l1的斜率 k11， 所以直线 l1的方程为 y1(x1)，即 xy0。 (2)设切点坐标为(x0，f(x0)，x01， 则切线

8、l2的方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)。 因为直线 l2经过点 m(1，1)， 所以1f(x0)f(x0)(1x0)， 其中 f(x0)x304x02，f(x0)3x204， 于是1(x304x02)(3x204) (1x0)， 整理得 2x303x2010，即(x01)2 (2x01)0， 3 / 4 又 x01，所以 x012。 所以切点为12，318，直线 l2的斜率 k2f12134， 所以直线 l2的方程为 y318134x12， 即 y134x94。 13已知函数 f(x)ln x1x。 (1)求曲线 yf(x)在点(1，1)处的切线方程； (2)若函数 g(x)xf(x)

9、1，直线 l1：yax2e(e 是自然对数的底数)与函数 g(x)的图象在点 xe处的切线 l2互相垂直，求直线 l1，l2与 x 轴围成的封闭图形的面积。 解 (1)由题意，知 f(x)1x1x2， 所以 f(1)2，所以切线方程为 y12(x1)， 即 2xy30。 (2)由已知，得 g(x)xln x，切点坐标为(e，e)， 由 g(x)ln x1，得 g(e)2， 所以 l2的方程为 ye2(xe)， 即 y2xe 。 所以直线 l1的斜率为12， 故 l1的方程为 y12x2e ， 联立，得直线 l1与 l2交点的坐标为65e，75e ， 又 l2与 x 轴的交点为e2，0 ，l1与

10、 x 轴的交点为(4e,0)， 此封闭图形为三角形，底边 m4ee27e2，高 h75e， 所以三角形面积 s12mh127e275e4920e2。 素养提升组 14(新情境题)通常用以下方法求函数 yf(x)g(x)的导数：先两边同时取以 e 为底的对数(e2.718 28为自然对数的底数)得 ln yg(x)ln f(x)，再两边同时求导，得1y yg(x)ln f(x)g(x)ln f(x)，即 yf(x)g(x)g(x) ln f(x)g(x)ln f(x)。运用此方法求出的函数 yx 1x (x0)的一个单调递增区间是( ) a(e,4) b(3,6) c(0，e) d(2,3) 解

11、析 由已知得 yx 1x 1x2ln x1x1xx 1x 1ln xx2(x0)，令 y0，得 1ln x0，解得0 x0)。 (1)试判断 f(x)与 g(x)的大小关系； (2)试判断曲线 yf(x)和 yg(x)是否存在公切线？若存在，求出公切线的方程；若不存在，说明理由。 解 (1)设 f(x)f(x)g(x)，x0， 则 f(x)1x3x2(x0)。 由 f(x)0，得 x3，当 0 x3 时， f(x)3 时，f(x)0 ， 故 f(x)在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，)上单调递增。 所以 f(x)的最小值 f(3)ln 310， 所以 f(x)0，即 f(x)g(x)。 4 / 4 (2)假设曲线 yf(x)与 yg(x)有公切线，切点分别为 p(x0，ln x0)和 qx1，23x1。 因为 f(x)1x，g(x)3x2， 所以分别以 p(x0，ln x0)和 qx1，23x1为切点的切线方程为 yxx0ln x01，y3x21x26x1。 令 1x03x21，ln x0126x1，得 2ln x16x1(3ln 3)0。 令 h(x)2ln x6x(3ln 3)， 所以 h(x)