圆周运动临界问题

1、竖直平面内的圆周运动的临界问题般情况下，只讨论最高点和最低点的情况,竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。 常涉及过最高点时的临界问题。临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力,根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界 值。1 .“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。（注意：绳对小球只能产生拉力）图 6-11-1（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用2mg = m rv临界=Rg（2）小球能过最高点条件：v > .Rg（当v > ，丽

2、时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）（3）不能过最高点条件：v <。而（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）2 .“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）图 6-11-2（1）小球能最高点的临界条件：v = 0 , F = mg （F为支持力）（2）当0V vJR"时，F随v增大而减小，且 mg > F > 0（F为支持力）（3）当 v = /Rg-时，F=0（4）当v > JR5时，F随v增大而增大，且F >0 （F为拉力）【案例剖析】例1.长为L的细绳

3、，一端系一质量为 m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止, 再给小球一水平初速度 v0,使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法 中正确的是（）B.球过最高点时，绳的拉力为 mgA.球过最高点时，速度为零2C.开始运动时，绳的拉力为 m LD.球过最高点时，速度大小为 xTg图 6-11-5解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力,2F mv0_ mg,可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0, mg以，A、B、C均不正确。故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端。为圆心，使小球做半径为 R的圆周运动，以

4、下说法正确的是()A.球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零B .球过最高点时，最小速度为jRgC.球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D.球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，V临0,故B不正确；当v J而时，F = 0故A正确。当0< v < jRg时,mg > F > 0 , F为支持力故D正确。当v > jRg时，F >0, F为拉力，故C不 正确。故选：A、D例3.绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg,绳长L = 40cm,求：(1 )为使

5、桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？(2 )桶在最高点速率 v = 3m/s时，水对桶底的压力？解析：(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：V 2mg m -0,则最小速率 v0 JRg J0410 m/s = 2m/s R(2)水在最高点速率大于 vO时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的2压力，设为F,由牛顿第二定律有 F + mg =m,R水对桶底的作用力 F/ = F = 6.25N ,方向竖直向上。2. vF = m mg = 6.25N,由牛顿第三定律知,【知识链接】如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地

6、球半径R (约为6400km)。地面上有一辆汽车，重量是 G = mg,地面对它的支持力是 F。汽车沿南北方向行驶,不断加速。根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度 大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员 与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压 力是多少？他这时可能有什么感觉？ (g取10m/s?)地球可以看作一个巨大的拱形桥图 6-11-4【目标达成】1 .如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用 F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则OF可能( )A

7、.是拉力B.是推力C.等于零D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零解析：到最高点临界速度为 v临 晒,当v v临界时，F=0；当v v临界时，F为拉力。 故选：A、C2 . （1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过。点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆图 6-11-6对球的作用力可能是（）A . a处为拉力，b处为拉力 B. a处为拉力，b处为推力 C. a处为推力，b处为拉力 D. a处为推力，b处为推力解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向

8、上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当 0 V JRg时，F向 mg，此 时为推力，当v jRg , F向 mg ,此时为拉力。故选： A、B3 .长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度， 使小球在竖直平面内做圆周运动， 已知小球在最高点时的速度为 v,则下列叙述正确的是（）a . v的最小值为jgcB. v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C. v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D . v由JgL逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大2解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度 v 0, A错；由F向 m/得，v增大，F向增 大，B对；当0< v &

9、lt; JLg时，弹力F随v减小而增大（F为支持力），当v >JLg时，F随v增大 而增大（F为拉力），C错，D对。故选：B、D4.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v,当小球以2V的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A . 0B . mgC. 3mgD . 5mg2 2解析：到最局点临界速度为 v,则：mg mv_；当速度为2V时，则：f mg m（2v_（F RR为压力）；由上两式解得：F = 3mg。故选：C-受拉力分别为F1、F2，则（）A . V1 = "5gLB. v2 = 0解析：小球恰能通过最高点，细线拉力1 2

10、12得：mv1mg|2L mv2 ,解得：2 25.长为L的细绳一端拴一质量为 m的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动 并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为V1和v2,细线所C. F1 = 5mgD. F2= 02F2= 0,有mg m2-,得v2 = 7gL ；由机械能守恒2v1r5gL ;通过最低点时，有 F1 mg m-,解得F1 6mg。故选：A、D6.质量可忽略，长为 L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为 （）A. v > 72gLB. V >

11、 >/3 C. V >2yfgLD.解析：小球到最高点速度V1 >0,由机械能守恒得：-mv22v> 75gL1mg |2L mv1 ,斛得：v >2、,gL。故选：C7 .如图6-11-7所示，一个高为h的斜面，与半径为 R的圆形轨道平滑地连接在一起。现有B而不落下，则斜面的高度 h解析:2小球到达顶端 B速度为v,则：mg m包 R解得：v>.Rg ,由机械能守恒得：mgh mg(2R解得：h5r2小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端 应为多大？8.如图6-11-8所示，杆长为L,杆的一端固定一质量为 m的小球，杆的质量忽略不计，整

12、个 系统绕杆的另一端 O在竖直平面内作圆周运动，求：(1)小球在最高点 A时速度vA为多大时，才能使杆对小球 m的作用力为零？(2)小球在最高点 A时，杆对小球的作用力 F为拉力和推力时的临界速度是多少？(3)如m = 0.5kg, L = 0.5m, vA = 0.4m/s,则在最高点A和最低点 各是多大？是推力还是拉力？解析：(1)若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆B时，杆对小球m的作用力周运动的向心力由重力 mg提供，mg2mvA解得：vALg(2)若小球m在最高点A时受拉力F,则2v 1 F mg m 解得 Vi, gL m. Lg若小球m在最高点A时受推力F,则mg2m -

13、解得:LV2FL -Lg m可见Va JLg是杆对小球 m的作用力(3)杆长L = 0.5m时，临界速度v临F在推力和拉力之间突变的临界速度VLg- 'Z05_10 m/s =2.2 m/s ,vA = 0.4m/s < V临，杆对小球有推力FA。由mgfam解得:Famg2VamL,0.5 0.42、(0.5 10 )0.5为参考面，则有1 mv2N = 4.84N ,由A至ij B只有重力做功，机械能守恒，设mg|2L 1mvB2解得:B点所处水平面VbVa2Fb mg4gL2 vB m -£-L-0.42解得Fb4 10 0.5 m/s = 4.5m/s ,2VB

14、mg m -B-(0.5 10在最低点B，小球m受拉力Fb ,由一一 _ 2。5 4.520.5)N = 25.3N【拓展提高】9.如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道 点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水 平面，今使小球自 A点正上方某处由静止释放，且从 A点进入ABCD ,其A点与圆心等高，DDE圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终 通过最高点D,则小球在通过D点后A .会落到水平面 AE上B. 一定会再次落到圆轨道上C.可能会落到水平面 AE上D.可能会再次落到圆轨道上解析：小球刚好能过最高点时速度v=jRg,离开D后作平抛运动，下落高度为 R时间为t2R ,水平位移x = vt = J2R>R,所以，小球一定落在 AE上。故选：A10.如图6-9-10所示，半径为 R,内径很小的光滑半圆管竖直放 置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度 v0射入圆管。(1)若要小球能从 C端出来，初速度v0多大？(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪 几种典型情况，初速度 v0各应满足什么条件？12-mv0 =2解析：(1)小球恰好能达到最高点的条件是v临=0,此时需要初速度为 v0,由机械能守恒 mg|2