高考数学一轮复习第1节　导数的概念与导数的计算

1、1 / 15 第 1 节 导数的概念与导数的计算 知 识 梳 理 1函数 yf(x)在 xx0处的导数 (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0) 2函数 yf(x)的导函数 如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区间内的导函数记作 f(x)或 y. 3基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c 为常数) f(x)0 f(x)x(q) f(x)x1 f(x)

2、sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ex f(x)ex f(x)ax(a0且 a1) f(x)axln_a 2 / 15 f(x)ln x f(x)1x f(x)logax (a0，a1) f(x)1xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x) g(x)f(x) g(x)； (2)f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0) 5复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxy

3、uux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u的导数与 u对 x 的导数的乘积 1f(x0)与 x0的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同 2f(x0)不一定为 0，但f(x0)一定为 0. 3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 4函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点( ) (3)(2x

4、)x 2x1.( ) (4)若 f(x)e2x，则 f(x)e2x.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 (1)f(x0)是函数 f(x)在 x0处的导数，(f(x0)是常数 f(x0)的导数即(f(x0)0；3 / 15 (3)(2x)2xln 2； (4)(e2x)2e2x. 2函数 yxcos xsin x 的导数为( ) axsin x bxsin x cxcos x dxcos x 答案 b 解析 y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x. 3(2020 全国卷)设函数 f(x)exxa.若 f(1)e4，则 a_ 答案 1 解析 f

5、(x)ex（xa1）（xa）2，可得 f(1)ae（1a）2e4，即a（1a）214，解得a1. 4(2019 全国卷)曲线 y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_ 答案 y3x 解析 y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率 ke033，所以所求切线方程为 y3x. 5(2021 南通一调)若曲线 yxln x 在 x1 与 xt 处的切线互相垂直，则正数 t的值为_ 答案 e2 解析 因为 yln x1，所以(ln 11)(ln t1)1， ln t2，te2. 6(2021 杭州四中仿真)已知函数 f(x)x3axb 的图象

6、在点(1，f(1)处的切线方程为 2xy50，则 a_；b_ 答案 1 3 解析 由题意得 f(x)3x2a，则由切线方程得f（1）1ab215，f（1）3a2，解得 a1，b3. 考点一 导数的运算 【例 1】 求下列函数的导数： 4 / 15 (1)yx2sin x； (2)ycos xex； (3)yxsin2x2cos2x2； (4)yln(2x5) 解 (1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. (2)ycos xex（cos x）excos x（ex）（ex）2sin xcos xex. (3)yxsin2x2cos2x2 12xsin(4x)12x

7、sin 4x， y12sin 4x12x 4cos 4x 12sin 4x2xcos 4x. (4)令 u2x5，yln u. 则 y(ln u)u12x5 222x5， 即 y22x5. 感悟升华 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数

8、：由外向内，层层求导 【训练 1】 分别求下列函数的导数： (1)yexln x；(2)yxx21x1x3； (3)yxsinx2cosx2；(4)yln 12x. 5 / 15 解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex1x ln x1xex. (2)yx311x2，y3x22x3. (3)yx12sin x，y112cos x. (4)yln 12x12ln(12x)， y12112x (12x)112x. 考点二 导数的几何意义 角度 1 求切线的方程 【例 21】 (1)(2019 全国卷)曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程为( ) axy10

9、b2xy210 c2xy210 dxy10 (2)已知曲线 y13x3上一点 p2，83，则过点 p的切线方程为_ 答案 (1)c (2)3x3y20 或 12x3y160 解析 (1)设 yf(x)2sin xcos x，则 f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为 y(1)2(x)，即 2xy210.故选c. (2)设切点坐标为x0，13x30，由 y13x3x2，得 y|xx0 x20， 即过点 p的切线的斜率为 x20， 又切线过点 p2，83，若 x02，则 x2013x3083x02， 解得 x01，此时切线的斜率为 1；若 x02，则切线的斜率为

10、4. 故所求的切线方程是 y83x2或 y834(x2)， 即 3x3y20或 12x3y160. 角度 2 求参数的值 6 / 15 【例 22】 (1)(2020 嘉兴期末)设曲线 yx1x2在点(1，2)处的切线与直线 axbyc0垂直，则ab( ) a.13 b13 c3 d3 (2)(2021 苏州调研)已知直线 ykx2 与曲线 yxln x 相切，则实数 k 的值为_ 答案 (1)b (2)1ln 2 解析 (1)由题可得 y3（x2）2，所以曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因为切线与直线 axbyc0 垂直，所以3ab1，解得ab13，故选 b. (2)设切点为(m，ml

11、n m)，y1ln x，y|xm1ln m， ymln m(1ln m)(xm)， 即 y(1ln m)xm，又 ykx2， 1ln mk，m2，即 k1ln 2. 角度 3 公切线问题 【例 23】 (一题多解)已知曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1相切，则 a_ 答案 8 解析 法一 yxln x， y11x，y|x12. 曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. y2x1与曲线 yax2(a2)x1 相切， a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行) 由y2x1，yax2（a2）x1消去 y，得 ax

12、2ax20. 由 a28a0，解得 a8. 7 / 15 法二 同法一得切线方程为 y2x1. 设 y2x1与曲线 yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax20(a2)x01) y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2) 由2ax0（a2）2，ax20（a2）x012x01，解得x012，a8. 感悟升华 (1)求切线方程的方法： 求曲线在点 p 处的切线，则表明 p 点是切点，只需求出函数在点 p 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； 求曲线过点 p 的切线，则 p 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程 (2)处理与切线有关的参数问题，

13、通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上 【训练 2】 (1)(角度 1)(2019 天津卷)曲线 ycos xx2在点(0，1)处的切线方程为_ (2)(角度 2)已知曲线 f(x)ax3ln x 在(1，f(1)处的切线的斜率为 2，则实数 a 的值是_ (3)(角度 3)(2020 全国卷)若直线 l 与曲线 y x和圆 x2y215都相切，则 l 的方程为( ) ay2x1 by2x12 cy12x1 dy12x12 答案 (1)y12x1 (2)13 (3)d 解析 (1)ysin x12，将 x0代入， 可得切

14、线斜率为12. 所以切线方程为 y112x，即 y12x1. (2)f(x)3ax21x， 8 / 15 则 f(1)3a12，解得 a13. (3)易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 ykxb，则|b|k2155 .设直线 l 与曲线 y x的切点坐标为(x0， x0)(x00)，则 y|xx012x012k ，x0kx0b ，由可得 b12x0，将 b12x0，k12x012代入得 x01或 x015(舍去)，所以 kb12，故直线 l 的方程 y12x12. 基础巩固题组 一、选择题 1(2020 全国卷)函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为( ) a

15、y2x1 by2x1 cy2x3 dy2x1 答案 b 解析 f(1)121，切点坐标为(1，1)， 又 f(x)4x36x2， 所以切线的斜率 kf(1)4136122， 切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.故选 b. 2设曲线 yeaxln(x1)在 x0处的切线方程为 2xy10，则 a( ) a0 b1 c2 d3 答案 d 解析 yeaxln(x1)，yaeax1x1，当 x0 时，ya1.曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，a12，即 a3.故选d. 3若曲线 f(x)x3x3 在点 p 处的切线平行于直线 y2x1，则 p 点的坐标为( ) a(

16、1，3) b(1，3) c(1，3)或(1，3) d(1，3) 9 / 15 答案 c 解析 f(x)3x21，令 f(x)2，则 3x212，解得 x1或 x1，p(1，3)或(1，3)，经检验点(1，3)，(1，3)均不在直线 y2x1 上，故选 c. 4已知 f(x)的导函数为 f(x)，若满足 xf(x)f(x)x2x，且 f(1)1，则 f(x)的解析式可能是( ) ax2xln xx bx2xln xx cx2xln xx dx22xln xx 答案 c 解析 由选项知 f(x)的定义域为(0，)，由题意得xf（x）f（x）x211x，即f（x）x11x，故f（x）xxln xc(

17、c 为待定常数)，即 f(x)x2(ln xc)x.又f(1)1，则 c0，故选 c. 5(一题多解)(2018 全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为( ) ay2x byx cy2x dyx 答案 d 解析 法一 因为函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，所以 f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以 2(a1)x20.因为xr，所以 a1，所以 f(x)x3x，所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx.故选 d

18、. 法二 因为函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，所以 f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得 a1，此时 f(x)x3x(经检验，f(x)为奇函数)，所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx.故选 d. 法三 易知 f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为 f(x)为奇函数，所以函数 g(x)x2(a1)xa 为偶函数，所以 a10，解得 a1，所以 f(x)x3x，所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx.故选 d. 6(2021 福州质检)已

19、知函数 f(x)xsin x，f(x)为 f(x)的导函数，则函数 f(x)的部10 / 15 分图象大致为( ) 答案 a 解析 因为 f(x)xsin x，所以 f(x)sin xxcos x， 又因为 f(x)sin(x)xcos(x)sin xxcos x(sin xxcos x)f(x)，所以 f(x)为奇函数，排除 c，d；设 g(x)f(x)，则 g(x)2cos xxsin x，g(0)2，排除 b，故选 a. 二、填空题 7(2020 全国卷)曲线 yln xx1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_ 答案 2xy0 解析 设切点坐标为(x0，y0)， 因为 yln x

20、x1，所以 y1x1， 所以切线的斜率为1x012，解得 x01. 所以 y0ln 1112，即切点坐标为(1，2)， 所以切线方程为 y22(x1)，即 2xy0. 8若函数 f(x)ax3x的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，4)，则 a_ 答案 2 解析 f(x)a3x2，f(1)a3，f(1)a3，故 f(x)的图象在点(1，a3)处的切线方程为 y(a3)(a3)(x1)，又切线过点(2，4)，所以 4(a3)a3，解得 a2. 11 / 15 9(2019 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy中，点 a在曲线 yln x 上，且该曲线在点 a 处的切线经过点(e，1)(e 为自然

21、对数的底数)，则点 a 的坐标是_ 答案 (e，1) 解析 设 a(m，n)，则曲线 yln x 在点 a处的切线方程为 yn1m(xm) 又切线过点(e，1)，所以有 n11m(me) 再由 nln m，解得 me，n1. 故点 a的坐标为(e，1) 10若点 p 是曲线 yx2ln x 上任意一点，则点 p 到直线 yx2 距离的最小值为_ 答案 2 解析 当曲线 yx2ln x 在点 p 处的切线与直线 yx2 平行时，切点 p 到直线 yx2的距离最小对函数 yx2ln x求导，得 y2x1x.由 2x1x1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线 yx2 的距离为 2，即为所

22、求的最小值 三、解答题 11已知点 m 是曲线 y13x32x23x1上任意一点，曲线在 m处的切线为 l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角 的取值范围 解 (1)yx24x3(x2)211， 当 x2时，ymin1，y53， 斜率最小的切线过点2，53，斜率 k1， 切线方程为 y531(x2)， 即 3x3y110. (2)由(1)得 k1，tan 1， 12 / 15 又0，)，0，234， . 故 的取值范围为0，234， . 12已知曲线 y13x343. (1)求曲线在点 p(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点 p(2，4)的切线方程 解 (1)p(

23、2，4)在曲线 y13x343上，且 yx2， 在点 p(2，4)处的切线的斜率为 y|x24. 曲线在点 p(2，4)处的切线方程为 y44(x2)， 即 4xy40. (2)设曲线 y13x343与过点 p(2，4)的切线相切于点 ax0，13x3043，则切线的斜率为 y|xx0 x20. 切线方程为 y13x3043x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 p(2，4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，x30 x204x2040， x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 xy

24、20或 4xy40. 能力提升题组 13若曲线 yex在 x0处的切线也是曲线 yln xb的切线，则 b( ) a1 b1 c2 de 答案 c 解析 yex的导数为 yex，则曲线 yex在 x0处的切线斜率 k1， 则曲线 yex在 x0处的切线方程为 y1x，即 yx1. 设 yx1与 yln xb相切的切点为(m，m1) 又 y1x，则1m1，解得 m1.所以切点坐标为(1，2)， 则 2bln 1，得 b2. 14(2021 温州适应性测试)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲线 y1x(x0)在点 p处的切线垂直，则 p的坐标为_ 13 / 15 答案 (1，1) 解析 ye

25、x，曲线 yex在点(0，1) 处的切线的斜率 k1e01.设 p(m，n)，y1x(x0)的导数为 y1x2(x0)，曲线 y1x(x0)在点 p 处的切线斜率 k21m2(m0)，因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，则点 p 的坐标为(1，1) 15若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b_ 答案 1ln 2 解析 yln x2的切线为 y1x1 xln x11(设切点横坐标为 x1) yln(x1)的切线为 y1x21xln(x21)x2x21(设切点横坐标为 x2) 1x11x21，ln x11ln（x21）x2x21， 解得 x112，x212， bln x111ln 2. 16关于 x 的方程 2|xa|ex有 3 个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为_ 答案 (1ln 2，) 解析 由题意，临界情况为 y2(xa)与 yex相切的情况， yex2，则 xln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)， 则此时 a1ln 2， 所以只要 y2|xa|图象向左移动，都会产生 3个交点， 所以 a1ln 2，即 a(1ln 2，) 17设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方