高考数学一轮复习4 第4讲　随机事件的概率与古典概型

1、1 / 20 第 4 讲 随机事件的概率与古典概型 最新考纲 考向预测 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系 2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，掌握随机事件概率的运算法则 3.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 命题趋势 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率及古典概型为主，常与事件的频率交汇考查本讲内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择题、填空题的形式出现 核心素养 数学建模、数据分析 1概率与频率 (1)在相同的条件 s 下重复

2、n 次试验，观察某一事件 a 是否出现，称 n 次试验中事件 a出现的次数 na为事件 a出现的频数，称事件 a出现的比例 fn(a)nan为事件 a出现的频率 (2)对于给定的随机事件 a，由于事件 a 发生的频率 fn(a)随着试验次数的增加稳定于概率 p(a)，因此可以用频率 fn(a)来估计概率 p(a) 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 a发生，则事件 b一定发生，这时称事件 b包含事件 a(或称事件 a包含于事件 b) ba(或 ab) 相等关系 若 ba且 ab，那么称事件 a与事ab 2 / 20 件 b相等 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件 a

3、发生或事件 b发生，则称此事件为事件a与事件 b 的并事件(或和事件) ab(或 ab) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件 a发生且事件 b发生，则称此事件为事件a与事件 b 的交事件(或积事件) ab(或 ab) 互斥事件 若 ab为不可能事件，那么称事件a与事件 b 互斥 ab 对立事件 若 ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件 a与事件 b互为对立事件 ab且 ab 3.古典概型 (1)基本事件的特点 任何两个基本事件是互斥的； 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 (2)特点 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性 每个基本事件发生的可能性相等，

4、即等可能性 (3)概率公式 p(a)a包含的基本事件的个数基本事件的总数 常用结论 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0p(a)1. (2)必然事件的概率：p(a)1. (3)不可能事件的概率：p(a)0. (4)概率的加法公式 如果事件 a与事件 b互斥，则 p(ab)p(a)p(b) (5)对立事件的概率 3 / 20 若事件 a 与事件 b 互为对立事件，则 ab 为必然事件p(ab)1，p(a)1p(b) 常见误区 1概率的一般加法公式 p(ab)p(a)p(b)p(ab)中，易忽视只有当ab，即 a，b互斥时，p(ab)p(a)p(b)，此时 p(ab)0. 2一个试验是否为

5、古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的( ) (2)随机事件和随机试验是一回事( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生( ) (5)若 a，b为互斥事件，则 p(a)p(b)1.( ) (6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( ) a“甲站排头”与“乙站排头

6、” b“甲站排头”与“乙不站排尾” c“甲站排头”与“乙站排尾” d“甲不站排头”与“乙不站排尾” 解析：选 bcd.排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而 b，c，d 中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥故选 bcd. 3(2020 新高考卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) a62% b56% c46% d42% 解析：选 c.不妨设该校学生总人数为 100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为 x，则 1009

7、6%10060%x10082%，所以 x46，所以既喜欢4 / 20 足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46%.选 c. 4(易错题)掷一个骰子的试验，事件 a 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 b 表示“小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 ab 发生的概率为_ 解析：掷一个骰子的试验有 6 种可能结果，依题意 p(a)2613，p(b)4623，所以 p(b)1p(b)12313，显然 a 与 b 互斥，从而 p(ab)p(a)p(b)131323. 答案：23 5李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课 3 年来的考试成绩分布： 成绩 人

8、数 90分以上 42 8089分 172 7079分 240 6069分 86 5059分 52 50分以下 8 经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率： (1)90 分以上的概率为_ (2)不及格(60分及以上为及格)的概率为_ 解析：(1)426000.07. (2)5286000.1. 答案：(1)0.07 (2)0.1 5 / 20 随机事件的频率与概率 某人在如图所示的直角边长为 4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 y(单位：kg)

9、与它的“相近”作物株数 x之间的关系如表所示： x 1 2 3 4 y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1米 (1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量； y 51 48 45 42 频数 4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg的概率 【解】 (1)所种作物的总株数为 1234515，其中“相近”作物株数为 1 的作物有 2 株，“相近”作物株数为 2 的作物有 4 株，“相近”作物株数为 3的作物有 6 株，“相近”作物株数为 4的作物有 3 株，列表如下： y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物

10、的平均年收获量为 512484456423156901546. (2)由(1)知，p(y51)215，p(y48)415. 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为 48 kg 的概率为 p(y48)p(y51)p(y48)21541525. 6 / 20 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 x(单位：毫米)有关据统计，当 x70 时，y460；x 每增加 10，y 增加 5.已知近 20 年 x 的值为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，

11、160，220，140，160. (1)完成频率分布表； 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 15 110 (2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率 解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7个，为 200毫米的有 3 个故近 20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 320 15 720 320

12、110 (2)由已知可得 yx2425， 故 p(“发电量低于 490万千瓦时或超过 530万千瓦时”) p(y530)p(x210) p(x70)p(x110)p(x220) 120320220310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530万千瓦时的概率为310. 7 / 20 互斥事件、对立事件的概率 已知射手甲射击一次，命中 9 环(含 9 环)以上的概率为 0.56，命中 8环的概率为 0.22，命中 7环的概率为 0.12. (1)求甲射击一次，命中不足 8 环的概率； (2)求甲射击一次，至少命中 7 环的概率 【解】 记“甲射击一次，命中 7环以下”

13、为事件 a， 则 p(a)10.560.220.120.1， “甲射击一次，命中 7环”为事件 b，则 p(b)0.12， 由于在一次射击中，a与 b不可能同时发生， 故 a与 b 是互斥事件， (1)“甲射击一次，命中不足 8 环”的事件为 ab， 由互斥事件的概率加法公式， p(ab)p(a)p(b)0.10.120.22. 所以甲射击一次，命中不足 8环的概率是 0.22. (2)方法一：记“甲射击一次，命中 8 环”为事件 c， “甲射击一次，命中 9 环(含 9 环)以上”为事件 d，由于一次射击命中，a，b，c，d不可能同时发生，故 a，b，c，d是互斥事件， 则“甲射击一次，至少

14、命中 7环”的事件为 bcd， 所以 p(bcd)p(b)p(c)p(d)0.120.220.560.9. 所以甲射击一次，至少命中 7环的概率为 0.9. 方法二：因为“甲射击一次，至少命中 7环”为事件 a， 所以 p(a)1p(a)10.10.9. 所以甲射击一次，至少命中 7环的概率为 0.9. 求复杂互斥事件的概率的两种方法 (1)直接法 8 / 20 (2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单) 1某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为_ 解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开

15、会分别用事件 a，b，c，d表示，则事件 a，b，c，d 是互斥事件，p(ad)p(a)p(d)0.30.40.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为 0.7. 答案：0.7 2某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 6 8 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3件，否则不进货，将频率视为概率 (1)设每销售一件该商品获利 1 000 元，某天销售该商品获利情况如表，完成下表，并求试销期间日平均获利钱数； 日获利(元) 0 1 000

16、 2 000 3 000 频率 (2)求第二天开始营业时该商品的件数为 3 件的概率 解：(1)日获利分别为 0元，1 000 元，2 000 元，3 000 元的频率分别为120，310，25，14；试销期间日平均获利数为 01201 0003102 000253 000149 / 20 1 850 元 (2)由题意知与事件“第一天的销售量为 1 件”是对立事件，所以 p(“第二天开始营业时该商品的件数为 3 件”)1p(“第一天的销售量为 1件”)1310710. 古典概型的概率 角度一 简单的古典概型的概率 (1)(2021 普通高等学校招生全国统一考试考前演练)不透明的袋中装有8 个大

17、小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小球 2个，从袋中任取2 个小球，则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的概率为( ) a.314 b.37 c.67 d.1327 (2)(2021 武昌区高三调研)某学校成立了 a、b、c 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意 4位学生中，恰有 2人申请 a学习小组的概率是( ) a.364 b.332 c.427 d.827 【解析】 (1)设“取出的 2 个小球中一个是白色小球另一个是红色小球”为事件 a，则 p(a)c16c12c2837.故选

18、 b. (2)依题意 4 位学生申请 a、b、c 三个课外学习小组的方法有 34种，这 4位学生中，恰有 2 人申请 a 学习小组的方法有 c2422种，所以这 4 位学生中，恰有 2 人申请 a学习小组的概率为c242234827，故选 d. 【答案】 (1)b (2)d (1)古典概型中基本事件的探求方法 10 / 20 (2)利用公式法求解古典概型问题的步骤 角度二 古典概型与其他知识的综合问题 (1)从集合2，3，4，5中随机抽取一个数 a，从集合1，3，5中随机抽取一个数 b，则向量 m(a，b)与向量 n(1，1)垂直的概率为( ) a.16 b.13 c.14 d.12 (2)将

19、一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设任意投掷两次使两条不重合直线 l1：axby2，l2：x2y2 平行的概率为 p1，相交的概率为 p2，若点(p1，p2)在圆(xm)2y2137144的内部，则实数 m的取值范围是( ) a.518， b.，718 c.718，518 d.518，718 【解析】 (1)由题意可知 m(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共 12 种情况 因为 mn，即 m n0， 所以 a1b(1)0，即 ab， 满

20、足条件的有(3，3)，(5，5)共 2个， 故所求的概率为16.故选 a. 11 / 20 (2)对于 a与 b 各有 6种情形，故总数为 36种 两条直线 l1：axby2，l2：x2y2 平行的情形有 a2，b4 或 a3，b6，故概率为 p1236118，两条直线 l1：axby2，l2：x2y2 相交的情形除平行与重合(a1，b2)即可，所以 p233361112， 因为点(p1，p2)在圆(xm)2y2137144的内部， 所以118m211122137144， 解得518m718，故选 d. 【答案】 (1)a (2)d 解决古典概型中交汇问题的方法 解决与古典概型交汇的问题时，把

21、相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算 1(2020 高考全国卷)设 o 为正方形 abcd 的中心，在 o，a，b，c，d中任取 3点，则取到的 3 点共线的概率为( ) a.15 b.25 c.12 d.45 解析：选 a.根据题意作出图形，如图所示，在 o，a，b，c，d 中任取 3点，有 10 种可能情况，分别为(oab)，(oac)，(oad)，(obc)，(obd)，(ocd)，(abc)，(abd)，(acd)，(bcd)，其中取到的 3 点共线有(oac)和(obd)2 种可能情况，所以在 o，a，b，c，d 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为21015，故选 a. 12 / 20 2(2021 湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌