高考数学 把握三角函数与解三角形中的最值问题

1、1 / 14 把握三角函数与解三角形中的最值问题把握三角函数与解三角形中的最值问题 微点聚焦突破 类型一 三角函数的最值 角度 1 可化为“yasin(x)b”型的最值问题 【例 11】 如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，扇形aob 的半径为 2，圆心角为23，点 m 是弧 ab 上异于 a，b的点. (1)若点 c(1，0)，且 cm 2，求点 m 的横坐标； (2)求mab面积的最大值. 解 (1)连接 om，依题意可得，在ocm 中，oc1，cm 2，om2， 所以 cos 2212（ 2）222134， 所以点 m 的横坐标为 23432. (2)设aom，0，23，则bom23

2、， smabsoamsobmsoab 1222sin sin23 122232 2 3sin6 3， 因为 0，23，所以 66，56， 所以当 3时，mab的面积取得最大值，最大值为 3. 思维升华 化为 yasin(x)b 的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点2 / 14 的取值来确定函数的最值. 角度 2 可化为 yf(sin x)(或 yf(cos x)型的最值问题 【例 12】 函数 ycos 2x2sin x 的最大值为_. 解析 ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1.设 tsin x，则1t1，所

3、以原函数可以化为 y2t22t12t12232，所以当 t12时，函数 y 取得最大值为32. 答案 32 思维升华 可化为 yf(sin x)(或 yf(cos x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域. 【训练 1】 (1)(角度 1)函数 f(x)3sin x4cos x，x0，的值域为_. (2)(角度 2)若函数 f(x)cos 2xasin x 在区间6，2上的最小值大于零，则 a 的取值范围是_. 解析 (1)f(x)3sin x4cos x535sin x45cos x 5sin(x)，其中 cos 35， sin 45，42.因为 0 x，所以4x0，

4、12（a1）0a1. 答案 (1)4，5 (2)(1，) 类型二 三角形中的最值 角度 1 转化为三角函数利用三角函数的有界性求解 【例 21】 (2020 湖北七市联考)在锐角三角形 abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且cos aacos bb2 3sin c3a. 3 / 14 (1)求角 b的大小； (2)若 b2 3，求 ac 的取值范围. 解 (1)由已知条件，得 bcos aacos b2 33bsin c. 由正弦定理，得 sin bcos acos bsin a2 33sin bsin c， 即 sin(ab)2 33sin bsin c. 又在abc 中

5、，sin(ab)sin c0， 所以 sin b32.因为 b是锐角，所以 b3. (2)由正弦定理，得asin acsin cbsin b2 3324， 则 a4sin a，c4sin c. 所以 ac4sin a4sin c4sin a4sin23a 6sin a2 3cos a4 3sina6. 由 0a2，023a2，得6a2， 所以3a623，所以32sina61， 所以 6ac4 3.故 ac 的取值范围为(6，4 3. 思维升华 本题涉及求边的取值范围，一般思路是利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值. 角度 2 利用基本不等式求解 【例 22】 (2019

6、淄博二模)已知点 o 是abc 的内心，bac60 ，bc1，则boc面积的最大值为_. 解析 点 o是abc的内心，bac60 ， boc180 180 602120 ，在boc 中，由余弦定理得 bc2oc2ob22oc ob cos 120 ， oc2ob21oc ob. 4 / 14 又oc2ob22oc ob，oc ob13， 当且仅当 oboc时“”成立， sobc12oc ob sin 120 312. 答案 312 思维升华 解答本题的关键是注意到三角形面积公式 sabc12absin c中的 ab，与余弦定理中的 a2b2存在不等关系 a2b22ab，利用余弦定理沟通二者，求

7、出 ab 的最值即可. 【训练 2】 (1)(角度 1)如图，在abc 中，已知 b3，ac4 3，d为 bc边上一点. 若 ad2，sdac2 3，求 dc的长； 若 abad，试求adc的周长的最大值. 解 sdac2 3，ac4 3，ad2， 12 ad ac sin dac2 3，sin dac12， b3，dacbac323， dac6， 在adc 中，由余弦定理得： dc2ad2ac22ad accos 6， dc2448224 33228，dc2 7. abad，b3，abd 为正三角形， dac3c，adc23， 在adc 中，根据正弦定理，可得 5 / 14 adsin c4

8、 3sin 23dcsin3c， ad8sin c，dc8sin3c ， adc 的周长为 addcac8sin c8sin3c 4 3 8sin c32cos c12sin c 4 3 812sin c32cos c 4 3 8sinc34 3， adc23，0c3，3c30，b0，ab4，ab2 ab， 所以 ab4(当且仅当 ab 时取等号)， 6 / 14 由(ab)216，得 a2b2162ab， 所以 162abc2ab，所以 16c23ab， 故 16c212，c24，c2，故 2c4，故选 b. 答案 b 分层限时训练 a级 基础巩固 一、选择题 1.函数 ycosx6，x0，

9、2的值域是( ) a.32，12 b.12，32 c.12，32 d.32，12 解析 x0，2，x66，23，所以 y12，32. 答案 b 2.如果|x|4，那么函数 f(x)cos2xsin x 的最小值是( ) a.212 b.212 c.1 d.1 22 解析 f(x)sin2xsin x1sin x12254，当 sin x22时，ymin1 22. 答案 d 3.若函数 f(x) 3sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于点2，0 对称，则函数 f(x)在4，6上的最小值是( ) a.1 b. 3 c.12 d.32 解析 因为 f(x) 3sin(2x)cos(2x)2si

10、n2x6，则由题意，知7 / 14 f22sin60.又 0，所以 56，所以 f(x)2sin 2x，则 f(x)在4，6上是减函数，所以函数 f(x)在4，6上的最小值为 f62sin 33.故选 b. 答案 b 4.(2020 广州一模)abc 的内角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c，已知bccos cbacos a1，则 cos b的取值范围为( ) a.12， b.12， c.12，1 d.12，1 解析 bccos cbacos a1， 由余弦定理可得bca2b2c22abbab2c2a22bc1，化简可得 b2ac， 则 cos ba2c2b22aca2c2ac2ac2a

11、cac2ac12， 当且仅当 ac 时，取“”. 12cos b1，即 cos b12，1 .故选 d. 答案 d 5.(2020 河南六市联考)在abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若2acbcos ccos b，b4，则abc的面积的最大值为( ) a.4 3 b.2 3 c.3 3 d. 3 解析 由2acbcos ccos b得 2acos bccos bbcos c， 由正弦定理得，2sin acos bsin bcos csin ccos b， 又知 sin(bc)sin asin bcos ccos bsin c， 2sin acos bsin a，a(0，)

12、，sin a0， cos b12，又知 b(0，)，b3， 8 / 14 又知 cos b12a2c2b22ac1b22ac1162ac， ac16，当且仅当 ac 时等号成立， sabc12acsin b1216sin 31216324 3， 故abc的面积的最大值为 4 3，故选 a. 答案 a 二、填空题 6.若函数 ysin2x2cos x 在区间23， 上最小值为14，则 的取值范围是_. 解析 y2(cos x1)2，当 x23 时，y14，根据函数的对称性23，23. 答案 23，23 7.(2019 济宁调研)当函数 f(x)3sin x6cos x 取得最大值时，sin x

13、的值为_. 解析 f(x)3sin x6cos x3 5sin(x)，其中 sin 2 55，cos 55，当 x2k2，kz，即 x2k2，kz 时，f(x)取得最大值 3 5，此时sin xsin2k2 sin2 cos 55. 答案 55 8.(多填题)已知函数 f(x)sin2x6，其中 x6， .当 3时，f(x)的值域是_；若 f(x)的值域是12，1 ，则 的取值范围是_. 解析 若6x3，则62x656，此时12sin2x61，即 f(x)的值域是12，1 .若6x，则62x626.因为当 2x66或 2x69 / 14 76时，sin2x612，所以要使 f(x)的值域是12

14、，1 ，则有22676，即62，即 的取值范围是6，2. 答案 12，1 6，2 三、解答题 9.(2020 烟台模拟)设函数 f(x) 3sin xcos xcos2xa. (1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)当 x6，3时，函数 f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数 a 的值. 解 (1)f(x)32sin 2x1cos 2x2a sin2x6a12，所以 t. 由22k2x6322k(kz)， 得6kx23k(kz)， 故函数 f(x)的单调递减区间是6k，23k (kz). (2)因为6x3，所以62x656， 所以12sin2x61. 当 x6，3时，函

15、数 f(x)的最大值与最小值的和为 1a1212a1232，解得 a0. 10.(2019广 东 省 际 名 校 联 考 ) 已 知 abc 的 内 角a ， b ， c 满 足sin asin bsin csin csin bsin asin bsin c. (1)求角 a； (2)若abc的外接圆半径为 1，求abc的面积 s 的最大值. 解 (1)设内角 a，b，c所对的边分别为 a，b，c. 10 / 14 根据题意及正弦定理，可得abccbabca2b2c2bc， 所以 cos ab2c2a22bcbc2bc12. 又因为 0a，所以 a3. (2)设abc的外接圆半径为 r，则 r

16、1， 由asin a2ra2rsin a2sin 3 3， 所以 3b2c2bc2bcbcbc，即 bc3， 所以 s12bcsin a123323 34(当且仅当 bc 时，取等号). 所以abc 的面积 s的最大值为3 34. b级 能力提升 11.(2019 成都七中月考)设锐角abc 的三个内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 c1，a2c，则abc周长的取值范围为( ) a.(0，2 2) b.(0，3 3) c.(2 2，3 3) d.(2 2，3 3 解析 因为abc 为锐角三角形，所以 0a2，0b2，0c2，又 a2c，所以 02c2，0c2c2，所以6c4，所以2

17、2cos c0，sin a 3cos a， 即 tan a 3.0a，a3. 12 / 14 由余弦定理得 a216b2c22bccos a (bc)23bc(bc)23bc22， 则(bc)264，即 bc8(当且仅当 bc4 时等号成立)， abc的周长abc4bc12，即最大值为 12. 答案 12 14.如图，在平面四边形 abcd 中，a3，e 在边 ab 上，be3，aece，dece，bec 的面积为3 32，记bec02. (1)若 3，求线段 bc 的长度； (2)当 为何值时，线段 de的长度最小？求出该最小值. 解 (1)当 3时， sbec12be ce sin 123

18、ce323 32，解得 ce2. 在bec中，由余弦定理，得 bc2be2ce22be ce cos 94232127， bc 7. (2)在aed中，a3，aed2， ade6. 由正弦定理可知desin aaesin ade，故 de3ae2sin6. sbec12be ce sin 3 32，ce3sin . 13 / 14 又 aece，de3ae2sin63ce2sin6 32sin sin633sin2sin cos 312sin 232cos 2323sin2332. 02，32323， 32sin231. 故当 232，即 512时，线段 de的长度最小，最小值为 6(2 3). c级 创新猜想 15