高中数学选修一双曲线的简单几何性质 (2)

1、- 1 - / 8 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 （4545 分钟分钟 100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.设双曲线+=1 的渐近线方程为 3x2y=0,则 a 的值为( ) a.-4 b.-3 c.2 d.1 2.(2013昆明高二检测)设 p 是双曲线-=1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,f1,f2分别是双曲线的左、右焦点,若|pf1|=5,则|pf2|=( ) a.1 或 5 b.1 或 9 c.1 d.9 3.(2012福建高考)已知双曲线-=1(a0)的右焦点为(3,0),则

2、该双曲线的离心率等于( ) a. b. c. d. 4. (2013新课标全国卷)已知双曲线 c: -=1(a0,b0)的离心率为52,则 c 的渐近线方程为( ) a.y= x b.y= x c.y= x d.y=x 5.双曲线 x2-y2=1 的右支上一点 p(m,n)到直线 y=x 的距离为,则 m+n 的值是 ( ) - 2 - / 8 a.- b. c. d.2 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2012江苏高考)在平面直角坐标系 xoy 中,若双曲线-=1 的离心率为 ,则 m 的值为 . 7.(2013洛阳高二检测)设双曲

3、线-=1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2,则双曲线的渐近线方程为 . 8.已知 f1,f2是双曲线-=1(a0,b0)的两焦点,以线段 f1f2为边作正三角形mf1f2,若边 mf1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 . 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分, ,1111 题题 1818 分分) ) 9.已知圆 m:x2+(y-5)2=9,双曲线 g 与椭圆 c:+=1 有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆 m 相切,求双曲线 g 的方程. 10.已知双曲线的渐近线方程为 y= x,焦距为 10,求双曲线的标准方程,并求双曲线的离心率. 11.(能力挑

4、战题)设 f1,f2分别为双曲线-=1 的左、右焦点,a1,a2分别为这个双曲线的左、右顶点,p 为双曲线右支上的任意一点,求证:以 a1a2为直径的圆既与以 pf2为直径的圆外切,又与以 pf1为直径的圆内切. - 3 - / 8 答案解析答案解析 1.【解析】选 a.方程表示双曲线,a0)的离心率为 2, a=( ) a.2 b. c. - 4 - / 8 d.1 【解析】选 b.由条件知=2,解得 a=. 4.【解析】选 c.因为 e=ca=52,所以22c5a4=，又因为 c2=a2+b2,所以222ab5a4+=，得22b1a4=，所以渐近线方程为 y=12x. 5.【解题指南】分别

5、利用点到直线的距离公式和点在双曲线上建立方程,通过解两方程求 m+n 的值. 【解析】选 b.由条件可知=即|m-n|=2. (m,n)在右支上,mn, m-n0,故 m-n=2. 又点 p 在双曲线上, m2-n2=1 即(m+n)(m-n)=1, m+n= . 【举一反三】本题中,若点 p(m,n)在左支上,结果会怎样? 【解析】选 a.点 p 在左支上,mn 即 m-n0,b0),则 g 的渐近线方程为 y= x, 即 bxay=0,且 a2+b2=25. 圆 m 的圆心为(0,5),半径为 r=3. - 6 - / 8 =3a=3,b=4. 双曲线 g 的方程为-=1. 10.【解题指

6、南】由渐近线方程可得 a 与 b 的关系,再利用 c2=a2+b2可求 a,b 的值,但由于焦点的位置不明确,因此应分情况讨论. 【解析】方法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为-=1(a0,b0). 由渐近线方程为 y= x 得 = . 又 2c=10,c2=a2+b2,得 a2=20,b2=5, 双曲线的标准方程为-=1,这时离心率 e=;同理,当焦点在 y 轴上时,可得双曲线的标准方程为-=1,这时离心率 e=. 所求双曲线的标准方程为-=1 或-=1,相应的离心率为,. 方法二:由渐近线方程为 y= x,可设双曲线方程为-y2=(0), 即-=1.由 a2+b2=c2得|4|

7、+|=25, |=5,=5. 所求双曲线的标准方程为-=1 或-=1,相应的离心率为,. 【拓展提升】求双曲线标准方程的几种设法 - 7 - / 8 与双曲线-=1(a0,b0)有共同渐近线 -=(0) 双曲线的渐近线方程是 y= x -=(0) 与双曲线-=1(a0,b0)共焦点 -=1(-b2ka2) 过两个已知点 mx2+ny2=1(mnb0)有相同焦点 +=1(b2ka2) 11.【解题指南】设 n,m 分别是 pf1,pf2的中点,只要证明|om|=a+ |pf2|,并且|on|= |pf1|-a 即可.注意点 p 在双曲线的右支上,f1,f2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特征,故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径. 【证明】如图,以 a1a2为直径的圆的圆心为 o,半径为 a,令 m,n 分别是 pf2,pf1的中点,由三角形中位线的性质,得 |om|=|pf1|. 又 根 据 双 曲 线 的 定 义 , 得|pf1|=2a+|pf2|,从而有|om|= (2a+|pf2|)=a+ |pf2|.这表明,两圆的圆心距等于两圆半径之和,故以 a1a2为直径的圆与以 pf2为直径的圆外切.