高中数学选修一3.1综合拔高练

1、1 / 25 3.1 综合拔高练 五年高考练 考点 1 椭圆的定义及其标准方程 1.(2019 课标全国,10,5分,)已知椭圆 c 的焦点为 f1(-1,0),f2(1,0),过 f2的直线与 c 交于 a,b 两点.若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,则 c 的方程为( ) a.22+y2=1 b.23+22=1 c.24+23=1 d.25+24=1 2.(2019 课标全国,15,5分,)设 f1,f2为椭圆 c:236+220=1 的两个焦点,m 为 c 上一点且在第一象限.若mf1f2为等腰三角形,则 m 的坐标为 . 3.(2019 浙江,15,4 分,)已知椭圆2

2、9+25=1 的左焦点为 f,点 p 在椭圆上且在 x 轴的上方.若线段 pf 的中点在以原点 o 为圆心,|of|为半径的圆上,则直线 pf 的斜率是 .深度解析 考点 2 椭圆的几何性质 4.(2019 北京,4,5 分,)已知椭圆22+22=1(ab0)的离心率为12,则( ) a.a2=2b2 b.3a2=4b2 c.a=2b d.3a=4b 2 / 25 5.(2017 课标全国,10,5分,)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的左、右顶点分别为a1,a2,且以线段 a1a2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 c 的离心率为( ) a.63 b.33 c.23 d

3、.13 6.(2018 浙江,17,4 分,)已知点 p(0,1),椭圆24+y2=m(m1)上两点 a,b 满足 =2 ,则当 m= 时,点 b 横坐标的绝对值最大. 考点 3 直线与椭圆的位置关系 7.(2018 课标全国,12,5分,)已知 f1,f2是椭圆 c:22+22=1(ab0)的左、右焦点,a 是 c 的左顶点,点 p 在过 a 且斜率为36的直线上,pf1f2为等腰三角形,f1f2p=120,则 c 的离心率为( ) a.23 b.12 c.13 d.14 8.(2019 天津,18,13 分,)设椭圆22+22=1(ab0)的左焦点为 f,上顶点为 b.已知椭圆的短轴长为

4、4,离心率为55. (1)求椭圆的方程; (2)设点 p 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点 m 为直线 pb 与 x 轴的交点,点 n在 y 轴的负半轴上.若|on|=|of|(o 为原点),且 opmn,求直线 pb 的斜率. 3 / 25 9.(2019 课标全国,21,12 分,)已知点 a(-2,0),b(2,0),动点 m(x,y)满足直线am 与 bm 的斜率之积为-12.记 m 的轨迹为曲线 c. (1)求 c 的方程,并说明 c 是什么曲线; (2)过坐标原点的直线交 c 于 p,q 两点,点 p 在第一象限,pex 轴,垂足为 e,连接qe 并延长交 c 于点 g. (i

5、)证明:pqg 是直角三角形; (ii)求pqg 面积的最大值. 4 / 25 5 / 25 三年模拟练 应用实践 1.(2020 北京西城高二上期末,)已知椭圆 c:22+24=1(a0)的一个焦点为(2,0),则 a 的值为( ) a.22 b.6 c.6 d.8 2.(2020 山东烟台高二上期末,)已知椭圆 m:22+22=1(ab0),过 m 的右焦点f(3,0)作直线交椭圆于 a,b 两点,若 ab 的中点坐标为(2,1),则椭圆 m 的方程为( ) a.29+26=1 b.24+y2=1 c.212+23=1 d.218+29=1 3.(2020 天津耀华中学高二上期末,)已知椭

6、圆 c:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 f1,f2,如果 c 上存在一点 q,使f1qf2=120,则椭圆的离心率 e 的取值范围为( ) a.(0,12 b.12,1) c.(0,32 d.32,1) 4.(2020 安徽合肥高二上期末,)已知点 o 为坐标原点,点 f 是椭圆c:22+22=1(ab0)的左焦点,点 a(-2,0),b(2,0)分别为 c 的左、右顶点,点 p 为椭6 / 25 圆 c 上一点,且 pfx 轴,过点 a 的直线 l 交线段 pf 于点 m,与 y 轴交于点 e.若直线 bm 经过 oe 上靠近 o 点的三等分点,则|pf|=( ) a.4 b.3

7、2 c.2 d.3 5.(2020 四川成都高二上期末,)设椭圆 c:249+22=1(0bb0)的焦点为 f1(-1,0),f2(1,0).过 f2作 x 轴的垂线 l,在 x 轴的上方,l 与圆 f2:(x-1)2+y2=4a2交于点a,与椭圆 c 交于点 d.连接 af1并延长交圆 f2于点 b,连接 bf2交椭圆 c 于点 e,连接df1.已知 df1=52. (1)求椭圆 c 的标准方程; (2)求点 e 的坐标. 8 / 25 9 / 25 11.(2020 福建三明高二上普通高中期末,)阿基米德(公元前 287 年公元前212 年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“

8、逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系oxy 中,椭圆 c:22+22=1(ab0)的面积为 23,两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆 c 的标准方程; (2)过点 p(1,0)的直线 l 与 c 交于不同的两点 a,b,求oab 面积的最大值. 10 / 25 迁移创新 12.()如图,已知椭圆22+22=1(ab0)过点(1,22),离心率为22,左、右焦点分别为f1、f2.点 p 为直线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 pf1和 pf2与椭圆的交点分别为 a、b 和 c、d,o 为坐标原点. (1)求

9、椭圆的标准方程; (2)设直线 pf1、pf2的斜率分别为 k1、k2. 证明:11-32=2; 问直线 l 上是否存在点 p,使得直线 oa、ob、oc、od 的斜率 koa、kob、koc、kod满足 koa+kob+koc+kod=0?若存在,求出所有满足条件的点 p 的坐标;若不存在,说明理由. 11 / 25 12 / 25 答案全解全析答案全解全析 五年高考练 1.b 设|f2b|=x(x0),则|af2|=2x,|ab|=3x,|bf1|=3x,|af1|=4a-(|ab|+|bf1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|bf1|+|bf2|=2a=4x, 所以|af1|=2x. 在

10、bf1f2中,由余弦定理得|bf1|2=|f2b|2+|f1f2|2-2|f2b|f1f2|cosbf2f1, 即 9x2=x2+22-4xcosbf2f1, 在af1f2中,由余弦定理得|af1|2=|af2|2+|f1f2|2-2|af2|f1f2|cosaf2f1, 即 4x2=4x2+22-8xcosaf2f1, 由,得 x=32, 所以 2a=4x=23,a=3, 所以 b2=a2-c2=2. 故椭圆的方程为23+22=1.故选 b. 2.答案 (3,15) 解析 不妨设 f1,f2分别是椭圆 c 的左、右焦点,由 m 点在第一象限,mf1f2是等腰三角形,知|f1m|=|f1f2|

11、,又由椭圆方程236+220=1,知|f1f2|=8,|f1m|+|f2m|=26=12, 13 / 25 所以|f1m|=|f1f2|=8,|f2m|=4. 设 m(x0,y0)(x00,y00), 则(0+ 4)2+ 02= 64,(0-4)2+ 02= 16, 解得 x0=3,y0=15,即 m(3,15). 3.答案 15 解析 如图,记椭圆的右焦点为 f,取 pf 中点 m, 由题知 a=3,b=5,c=2, 连接 om,pf,则|om|=|of|=2, 又m为 pf 的中点, |pf|=2|om|,pfom,|pf|=4, 又p在椭圆上,|pf|+|pf|=6, |pf|=2, 在

12、pff中,|pf|=|ff|=4,|pf|=2, 连接 fm,fm=1,则 fmpf, |fm|=|2-|fm|2=16-1=15, kpf=tanpff=|=15, 即直线 pf 的斜率为15. 14 / 25 解后反思 试题中只出现了椭圆的一个焦点,需要作出另一个焦点.将椭圆定义作为隐含条件直接应用是求解本题的突破口;由条件中的中点 m 联想到利用三角形中位线的性质求出 pf的长度是解决本题的关键. 4.b 由题意知2-22=e2=14, 整理,得 3a2=4b2,故选 b. 5.a 以线段 a1a2为直径的圆的方程为 x2+y2=a2,该圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,|0-0+

13、2|2+(-a)2=a,即 2b=2+ 2,a2=3b2,a2=b2+c2,22=23, e=63. 6.答案 5 解析 设 b(t,u),由 =2 ,易得 a(-2t,3-2u). 点 a,b 都在椭圆上, 24+ 2= m,424+ (3-2u)2= m, 从而有324+3u2-12u+9=0,即24+u2=4u-3. 4u-3=mu=+34, 24+(+3)216=m, t2=-14m2+52m-94=-14(m-5)2+4. 当 m=5 时,(t2)max=4,即|t|max=2, 故当 m=5 时,点 b 横坐标的绝对值最大. 7.d 由题意可得直线 ap 的方程为 y=36(x+a

14、), 直线 pf2的方程为 y=3(x-c). 15 / 25 联立,得 y=35(a+c), 如图,过 p 向 x 轴引垂线,垂足为 h,则 ph=35(a+c). 因为pf2h=60,pf2=f1f2=2c,ph=35(a+c), 所以 sin 60=2=35(a+c)2=32, 即 a+c=5c,即 a=4c, 所以 e=14.故选 d. 8.解析 (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意,得 2b=4,=55, 又 a2=b2+c2, 所以 a=5,b=2,c=1. 所以椭圆的方程为25+24=1. (2)由题意,设 p(xp,yp)(xp0),m(xm,0).设直线 pb 的斜率为 k(k

15、0),又 b(0,2),则直线 pb 的方程为 y=kx+2,与椭圆方程联立,得 = + 2,25+24= 1,整理,得(4+5k2)x2+20kx=0,可得 xp=-204+52,代入 y=kx+2,得 yp=8-1024+52,进而直线 op 的斜率=4-52-10.在 y=kx+2 中,令 y=0,得 xm=-2.由题意得 n(0,-1),所以直线 mn 的斜率为-2.由 opmn,得4-52-10(-2)=-1,化简,得 k2=245,从而 k=2305. 所以直线 pb 的斜率为2305或-2305. 16 / 25 9.解析 (1)由题设得+2-2=-12,化简,得24+22=1(

16、|x|2),所以 c 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆,不含左、右顶点. (2)(i)证明:设直线 pq 的斜率为 k,则其方程为 y=kx(k0). 由 = ,24+22= 1得 x=21+22. 记 u=21+22,则 p(u,uk),q(-u,-uk),e(u,0). 于是直线 qg 的斜率为2,方程为 y=2(x-u). 由 =2(x-u),24+22= 1得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. 设 g(xg,yg),则-u 和 xg是方程的解,故 xg=(32+2)2+2,由此得 yg=32+2. 从而直线 pg 的斜率为32+2-uk(32+2)2+2-u=-1

17、. 所以 pqpg,即pqg 是直角三角形. (ii)由(i)得|pq|=2u1 + 2,|pg|=22+12+2, 所以pqg 的面积 s=12|pq|pg|=8(1+2)(1+22)(2+2)=8(1+k)1+2(1+k)2. 设 t=k+1,则由 k0 得 t2,当且仅当 k=1 时取等号. 因为 s=81+22在2,+)上单调递减,所以当 t=2,即 k=1 时,s 取得最大值,最大值为169. 因此pqg 面积的最大值为169. 17 / 25 三年模拟练 1.a 由椭圆的焦点为(2,0)知,a2,因此,a2=4+22=8,从而 a=22,故选 a. 2.d 设 a(x1,y1),b

18、(x2,y2),则122+122= 1,222+222= 1b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0. 又 x1+x2=4,y1+y2=2,1-21-2=1-02-3=-1, 4b2-2a2=0,即 a2=2b2. 又 c2=9,b2+9=2b2,解得 b2=9,从而 a2=18. 椭圆 m 的方程为218+29=1,故选 d. 3.d 设椭圆的上顶点为 b2(0,b). 如图所示,f1qf2f1b2f2. 依题意得,f1b2f2120, ob2f260,因此=tanob2f23,即 c23b2=3a2-3c2, 2234,从而 e32, 又 0e1,32e1,故

19、选 d. 4.b 由题意知,a=2,因为 pfx 轴,所以设 m(-c,t),作出图形如图, 18 / 25 则直线 am 的方程为 y-0=2-(x+2), 令 x=0,得 y=22-, 所以直线 am 与 y 轴的交点 e 的坐标为(0,22-), 又直线 bm 的方程为 y-0=-2+(x-2), 令 x=0,得 y=22+, 所以直线 bm 与 y 轴的交点 n 的坐标为(0,22+), 由题意知,点 n 为线段 oe 上靠近 o 的一个三等分点, 所以 322+=22-,解得 c=1, 在椭圆中,b2=a2-c2=4-1=3,所以|pf|=2=32.故选 b. 5.d 椭圆249+2

20、2=1(0b0), 由椭圆的定义可得|nf2|=14-|nf1|=14-3t,|mf2|+|mf1|=14, 即有 2c+4t=14,即 c+2t=7, 取 mf1的中点 k,连接 kf2,则 kf2mn, 由勾股定理可得|mf2|2-|mk|2=|nf2|2-|nk|2, 19 / 25 即(2c)2-(2t)2=(14-3t)2-(5t)2. 由,解得 = 1, = 5或 = 7, = 0(舍去), 又 c2=a2-b2, b2=72-52=24,b=26,2b=46,故选 d. 6.bc 易知 f1(-4,0),f2(4,0)分别为椭圆225+29=1 的两个焦点,e1(0,-4),e2

21、(0,4)分别为椭圆225+29=1 的两个焦点.若点 p 仅在椭圆 225+29=1 上,则 p 到 f1(-4,0)、f2(4,0)两点的距离之和为定值,到 e1(0,-4)、e2(0,4)两点的距离之和不为定值,故 a 错误;两个椭圆关于直线 y=x、y=-x 均对称,则曲线 c 关于直线 y=x、y=-x 均对称,故 b正确;曲线 c 所围区域在边长为 6 的正方形内部,所以面积必小于 36,故 c 正确;曲线 c 所围区域在半径为 3 的圆外部,所以曲线的总长度大于圆的周长 6,故 d 错误.故选 bc. 7.答案 60 解析 p是椭圆216+29=1 上一点,f1,f2分别是椭圆的

22、左、右焦点, |pf1|+|pf2|=8,|f1f2|=27. |pf1|pf2|=12,|pf1|=2,|pf2|=6 或|pf1|=6,|pf2|=2. 在f1pf2中,由余弦定理可知 cosf1pf2=4+36-28226=12,所以f1pf2=60. 8.答案 239 解析 由 pf1的中点在 y 轴上知 pf2x 轴. a2=16,b2=9,c2=7. 不妨设 p(7,y0)(y00),则716+029=1, 20 / 25 解得02=8116.从而|pf2|=94, 又|pf1|+|pf2|=8,|pf1|=8-94=234. |1|2|=23494=239. 9.解析 (1)依题

23、意,设椭圆 c 的方程为22+22=1(ab0), b=1,半焦距 c=3,a2=b2+c2=4, 椭圆 c 的方程为24+y2=1. (2)证明:依题意,设 m(n,m),n(-n,m), d(x1,y1), 则24+m2=1,n2=4(1-m2). 由 a,n,d 三点共线,得 kan=kad,即 -1-=1-11,-1=1-11, 由 kbdkbm=-14,得1+11+1=-14, +1=-1411+1. 由,得2-12=-1411+11-11=1-14(1+1). 将代入,得1-11+1=-1,解得 y1=0, 故点 d 在 x 轴上. 10.解析 (1)设椭圆 c 的焦距为 2c.

24、因为 f1(-1,0),f2(1,0), 所以 f1f2=2,c=1. 21 / 25 又因为 df1=52,af2x 轴,所以 df2=12-122=(52)2-22=32. 因此 2a=df1+df2=4,从而 a=2. 由 b2=a2-c2,得 b2=3. 因此椭圆 c 的标准方程为24+23=1. (2)解法一:由(1)知,椭圆 c:24+23=1,a=2. 因为 af2x 轴,所以点 a 的横坐标为 1. 将 x=1 代入圆 f2的方程(x-1)2+y2=16,解得 y=4. 因为点 a 在 x 轴上方,所以 a(1,4). 又 f1(-1,0),所以直线 af1:y=2x+2. 由

25、 = 2 + 2,(-1)2+ 2= 16,得 5x2+6x-11=0, 解得 x=1 或 x=-115. 将 x=-115代入 y=2x+2,得 y=-125. 因此 b(-115,-125). 又 f2(1,0),所以直线 bf2:y=34(x-1). 由 =34(x-1),24+23= 1,得 7x2-6x-13=0,解得 x=-1 或 x=137. 又因为 e 是线段 bf2与椭圆的交点, 所以 x=-1. 将 x=-1 代入 y=34(x-1),得 y=-32. 22 / 25 因此 e(-1,-32). 解法二:由(1)知,椭圆 c:24+23=1. 如图,连接 ef1. 因为 b

26、f2=2a,ef1+ef2=2a, 所以 ef1=eb, 从而bf1e=b. 因为 f2a=f2b,所以a=b. 所以a=bf1e,从而 ef1f2a. 因为 af2x 轴,所以 ef1x 轴. 因为 f1(-1,0),由 = -1,24+23= 1, 解得 y=32. 又因为 e 是线段 bf2与椭圆的交点, 所以 y=-32. 因此 e(-1,-32). 11.解析 (1)依题意得 = 23, = 2,2= 2+ 2, 23 / 25 解得 = 2, = 3, = 1, 所以椭圆 c 的标准方程是24+23=1. (2)由题意得,直线 l 的斜率不能为 0,设直线 l 的方程为 x=my+

27、1, 由方程组 = + 1,24+23= 1,得(3m2+4)y2+6my-9=0, 设 a(x1,y1),b(x2,y2), 所以 y1+y2=-632+4,y1y2=-932+4, 所以|y1-y2|=(1+ 2)2-412=122+132+4, 所以 soab=12|op|y1-y2|=62+132+4, 令 t=2+ 1(t1),则 m2=t2-1, soab=632+1=63+1, 因为 y=3t+1在1,+)上单调递增, 所以当 t=1,即 m=0 时,oab 的面积取得最大值32. 12.解析 (1)因为椭圆过点(1,22),离心率 e=22,所以12+122=1,=22. 又 a2=b2+c2,所以 a=2,b=1,c=1. 故所求椭圆的标准方程为22+y2=1. (2)证明:证法一:由于 f1(-1,0)、f2(1,0),直线