高中数学讲义微专题97不等式选讲

1、- 1 - / 15 微专题 97 不等式选讲 一、基础知识： （一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）abba （2）,ab bcac（不等式的传递性） 注：,ab bcac，ac等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）abacbc+ （4）,0;,0ab cacbc ab cacbc （5）()02,nnababnnn （6）()02,nnabab nnn 2、绝对值不等式：ababab+ （1）abab+等号成立条件当且仅当0ab （2）abab+等号成立条件当且仅当0ab （3）abbcac+：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0

2、abbc 3、均值不等式 （1）涉及的几个平均数： 调和平均数：12111nnnhaaa=+ 几何平均数：12nnnga aa= 代数平均数：12nnaaaan+= 平方平均数：22212nnaaaqn+= （2）均值不等式：nnnnhgaq，等号成立的条件均为：12naaa= - 2 - / 15 （3）三项均值不等式： 33abcabc+ 2223abcabc+ 33abcabc+ 22233abcabc+ 4、柯西不等式：()()()222222212121 12 2nnnnaaabbba ba ba b+ 等号成立条件当且仅当1212nnaaabbb=或120nbbb= （1）二元柯西

3、不等式：()()()22222abcdacbd+，等号成立当且仅当adbc= （2）柯西不等式的几个常用变形 柯西不等式的三角公式： ()()()22222222212121122nnnnaaabbbababab+ ()222212121212nnnnaaaaaabbbbbb+ ()()222212121212nnnnaaabbbaaabbb+ 式体现的是当各项22212,na aa系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。 ()21212121 12 2nnnnnaaaaaabbba ba ba b+ 5 、 排 序 不 等 式 ： 设1212,nnaa

4、a bbb为 两 组 实 数 ，12,nc cc是12,nb bb的任一排列，则有： 12111 1221 122nnnnnnna ba ba ba ca ca ca ba ba b+ 即“反序和乱序和顺序和” （二）不等式选讲的考察内容： 1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立 - 3 - / 15 2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型将式子向定值放缩（消元）验证等号成立条件” 3、解不等式（特别是含绝对值的不等式可参见“不等式的解法”一节） 二、典型例题： 例 1：若不等式131xxm+恒

5、成立，则m的取值范围为_ 思路：本题为恒成立问题，可知()min113mxx+，所以只需求出13xx+的最小值即可，一种思路可以构造函数( )13f xxx=+，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：( )24,12, 3124,3xxf xxxx+ = ，进而得到( )min2f x=，另一种思路可以想到绝对值不等式：()()13132xxxx+=，进而直接得到最小值，所以12m ，从而13m 答案：13m 例 2：若存在实数x使得24210 xxaa+=成立，求实数a的取值范围 思路：本题可从方程有根出发，得到关于a的不等式，从而解出a的范围 解：依题意可知二次方程24210 xx

6、aa+=有解 ()164210aa =+ 即214aa+ 当2a 时，72342aa 72,2a 当12a时，21414aa+ 恒成立 )1,2a 当1a 时，12142aaa+ 1,12a 综上所述，可得1 7,2 2a - 4 - / 15 例 3：已知函数( )()20f xxxa a=+ （1）当1a =时，解不等式( )4f x （2）若不等式( )4f x 对一切xr恒成立，求实数a的取值范围 （1）思路：所解不等式为214xx+，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解：（1）当1x 时， ()2142xxx+ 1,2x 当01x时，()2 142xxx+ )0,1x 当0 x

7、 时，()22 143xxx + 2,03x 综上所述：不等式的解集为2,23 （2）思路：若不等式( )4f x 恒成立，可知只需( )min4f x即可，( )f x含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数( )()32 ,2,0,23 ,0 xa xaf xax xaax x+= ，通过分析函数性质即可得到( )( )minf xf aa=，所以4a 解：( )4f x 恒成立 ( )min4f x 考虑( )()32 ,22,0,23 ,0 xa xaf xxxaax xaax x+=+= ( )fx在(),a单调递减，在(), a +单调递增 ( )( )minf xf aa=

8、4a 例 4：已知, ,a b c都是正数,且236abc+=,求12131abc+的最大值 思路一：已知23abc+为常数，从所求入手，发现被开方数的和为()233abc+也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值 - 5 - / 15 解：()()()222121311213133abcabc+ 121313abc+ + += ()2331213133 33abcabc+= 等号成立当且仅当212131123623aabcbabcc=+ =+ =+=+= = 思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：()()2212131= 11121131abcabc+ +

9、 +， 从 而 可 得 ：()()()()()22222221112113111112131abcabc+ + +即()()211121131323327abcabc+ + +=，所以可知121313 3abc+ 小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下： ()()222222212121111111nnnaaaaaa+ + +个 ()()22221212nnaaan aaa+ ()2221212nnaaan aaa+ 2221212nnaaaaaann+ 2221212nna

10、aaaaann+ 例 5：已知, ,a b c是实数，且2221abc+=，则22abc+的最大值是_ - 6 - / 15 思 路 ： 考 虑 将22abc+向222abc+进 行 靠 拢 ， 由 柯 西 不 等 式 可 知()()()2222222axbyczabcxyz+，对照条件可知令2,1,2xbz=即可，所以()()()2222222222129abcabc+=，则223abc+ 答案：3 小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。 例 6：已知实数, , ,a b c

11、d满足22223,2365abcdabcd+=+=，则a的取值范围是_ 思路：本题的核心元素为a，若要求a的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于, ,b c d的不等关系，考虑到22223,2365bcdabcda+=+=，联想到柯西不等式()()222212121212nnnnaaabbbaaabbb+，则有()()2222111236235bcdbcd+， 代 入 可 得 ：()2253aa解 得 ：1,2a，验证等号成立条件：236111236bcd=在1,2aa=时均有解。 答案：1,2a 例 7：已知, ,a b c均为正数，求证：22221116 3abcabc+，并

12、确定, ,a b c为何值时，等号成立 思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中, a b互为倒数时，2abab+，右侧为一个常数。32222223,abca b c+311119abcabc+，从而将左侧的项均转化为与abc相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值6 3，即不等式得证 解：由均值不等式可得：32222223abca b c+ - 7 - / 15 311113abcabc+ ()23211119abcabc+ ()2322222232111139abca b cabcabc+ ()()32223212396 3a b cabc= 等

13、号成立条件：abc= 例 8：已知0,0ab （1）若2ab+=，求1411ab+的最小值 （2）求证：()22221a babab ab+ （1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与2ab+=找到联系，从而想到柯西不等式的变式：()222212121212nnnnaaaaaabbbbbb+，从而()212143111abab+=+ 解：2214121111abab+=+ 由柯西不等式可得：()22212141211111ababab+=+ 2ab+= 14311ab+ （2）所证不等式等价于：222222a baba babab+，观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得

14、到右边的某项，即：2222222222222a baa ba bbababab+ ，三式相加即完成证明 证明：由均值不等式可得：2222222222222a baa ba bbababab+ 三式相加：()()22222222a baba babab+ 即()2222221a baba bababab ab+=+ - 8 - / 15 小炼有话说：对于求倒数和（即12,na aa为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供使用：()222212121212nnnnaaaaaabbbbbb+和()21212121 12 2nnnnnaaaaaabbba ba ba b+，其不同之处在于对分母变形时

15、运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。 例 9：设, ,a b cr+，求证：()3a b cabca b cabc+ + 思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不 等 式等价 于()()3 ln3 ln3 lnlnlnlnaabbccabcabc+， 化简 后 可得 ：2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca+，所证不等式为轮

16、换对称式，则不妨给, ,a b c定序，即0abc，则lnlnlnabc，由的特点想到排序不等式，则lnlnlnaabbcc+为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnaabbccabbccaaabbccbacbac+，两式相加即可完成证明。 证明：, ,a b cr+ 将所证不等式两边同取对数可得： ()()()3lnlnlnlnlnln3a b cabcabca b cabcaabbccabc+ + ()()3 ln3 ln3 lnlnlnlnaabbccabcabc+ 3 ln3 ln3 lnlnlnlnlnlnlnl

17、nlnlnaabbccaaabacbabbbccacbcc+2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca+ 所证不等式为轮换对称式 不妨设0abc lnlnlnabc lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnaabbccabbccaaabbccbacbac+ - 9 - / 15 +可得：2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca+ 即证明不等式()3a b cabca b cabc+ + 小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有, ,a b c的大小关系，但由所证不

18、等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即0abc，从而能够使用排序不等式。 例 10：设正数, ,x y z满足221xyz+= （1）求3xyyzzx+的最大值 （2）证明：31112511126xyyzzx+ （1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由221xyz+=得()21xyz+= ，则()13332zxyyzzxxyz xyxyz+=+=+，下面考虑将xy进行 转 化 ， 向xy+ 靠 拢 ， 利 用 基 本 不 等 式()24xyxy+进 行 放 缩 ， 可 得 ：()()()2211313342442zzzzxyyzzxxyz+=+，再求关于z的表达式

19、的最大值即可。 解：221xyz+= ()21xyz+= ()()13332zzxyyzzxxyz xyxy+=+=+ ()()221416xyzxy+= ()()221151113316216555zzzxyyzzxz+= + - 10 - / 15 3xyyzzx+的最大值为15，此时1155221xyzxyzxyz=+= （2）思路：由（1）可知3xyyzzx+的最大值为15，且所证不等式的左边分母含有,xy yz zx项，所以考虑向3xyyzzx+的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：()21212121 12 2nnnnnaaaaaabbba ba ba b+，可得： 31

20、12511153xyyzzxxyyzzx+，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证明不等式 解：由柯西不等式可得： ()()231 1311251113 11153xyyzzxxyyzzxxyyzzx+ +=+ + + 由（1）知135xyyzzx+ 3112525125=1111532655xyyzzxxyyzzx+ 等号成立条件：15xyz= 三、历年好题精选 1、设( )11,f xxxxr=+ （1）求证：( )2f x （2）若不等式( )211bbf xb+对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围 2、（2014 吉林九校联考二模，24）已知关于x的不等式()110axaxaa+

21、（1）当1a =时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为r，求实数a 的取值范围 3、（2015，福建）已知0,0,0abc，函数( )f xxaxbc=+的最小值为 4 （1）求abc+的值 - 11 - / 15 （2）求2221149abc+的最小值 4、（2015，新课标 ii）设, , ,a b c d均为正数，且abcd+=+，证明： （1）若abcd，则abcd+ （2）abcd+是abcd的充要条件 5、（2015，陕西）已知关于x的不等式xab+的解集为|24xx （1）求实数, a b的值 （2）求12atbt+的最大值 6、已知定义在r上的函数( )12f xxx

22、=+的最小值为a （1）求a的值 （2）若, ,p q r是正实数，且满足pqra+=，求证：2223pqr+ 7、（2014，江西）对任意的, x yr，111xxyy+的最小值为（ ） a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 8、（2014，浙江）（1）解不等式：2213xx+ （2）设正数, ,a b c满足abcabc=+，求证：4936abbcac+，并给出等号成立条件 9、（2016，苏州高三调研）设函数( )()10f xxxa aa=+ （1）证明：( )2f x （2）若( )35f，求实数a的取值范围 - 12 - / 15 习题答案：习题答案： 1、解析：（1）( )()

23、 ()11112f xxxxx=+= （2）恒成立不等式为：211111121bbxxbbb+=+ max111121xxbb+ 设( )()()(13,1,1121211,2,00,113, 2bg bbbbbb+=+= ( )max3g b= 113xx+ 当1x 时，3232xx 当)1,1x 时，11323xx+ + 不成立 当1x 时，3232xx 33,22x + 2、解析：（1）1a =时，不等式为121112xx 112x 或112x ，解得13,22x + （2）问题转化为xr ，不等式11axaxa+恒成立 ()min11axaxa+ 设( )()()111f xaxaxaaxaxaa=+= 112aa 或0a 3、解析：（1）( )()()f xxaxbcxaxbcabc=+=+ 4abc+= - 13 - / 15 （2）()()222222221111231231164923abcabcabc+ +=+= 22211168=49147abc+，等号成立条件：871118322317427abacbabcc=+= 4、解析：（1）()()22abcdabcd+ 22ababcdcdabcdabcd+ 从而不等式得证 （2）若abcd，则()()22abc