高中数学讲义微专题81排列组合——选择合适的数学模型

1、- 1 - / 10 微专题 81 排列组合寻找合适的模型 在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 一、典型例题： 例 1：设集合a由n个元素构成，即12,naa aa=，则a所有子集的个数为_ 思路：可将组成子集的过程视为a中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a开始，有两种选择，同样后面的23,na aa都有两种选择，所以总数2222nnn =个个 答案：2n 例 2：已知1,2,3,40s =，as且a中有三个元素，若a中的元素可构成等差数列，则这样的集合a共有（

2、）个 a. 460 b. 760 c. 380 d. 190 思路：设a中构成等差数列的元素为, ,a b c，则有2bac=+，由此可得, a c应该同奇同偶，而当, a c同奇同偶时，则必存在中间项b，所以问题转变为只需在140中寻找同奇同偶数的情况。, a c同为奇数的可能的情况为220c，同为偶数的可能的情况为220c，所以一共有2202380c=种 答案：c 例 3：设集合()12345,|1,0,1 ,1,2,3,4,5iax x x x xxi =，那么集合a中满足条件“1234513xxxxx+”的元素个数为（ ） a. 60 b. 90 c. 120 d. 130 思 路 ：

3、 因 为0ix =或1ix =， 所 以 若1234513xxxxx+， 则 在()1,2,3,4,5ix i =中至少有一个1ix =，且不多于3个。所以可根据ix中含 0 的个数进行分类讨论。 五个数中有 2 个 0，则另外 3 个从1, 1中取，共有方法数为23152nc= - 2 - / 10 五个数中有 3 个 0，则另外 2 个从1, 1中取，共有方法数为32252nc= 五个数中有 4 个 0，则另外 1 个从1, 1中取，共有方法数为4352nc= 所以共有23324555222130nccc=+=种 答案：d 例 4 ： 设 集 合1,2,3,10a =， 设a的 三 元 素

4、 子 集 中 ， 三 个 元 素 的 和 分 别 为12,na aa，求12naaa+的值 思路：a的三元子集共有310c个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的1,2,10各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这310c个子集中共含有多少个1,2,10。以 1 为例，含1的子集可视为集合中有元素 1，剩下两个元素从 9 个数中任取，不同的选取构成不同的含 1 的子集，共有29c个，所以和为291 c，同理，含 2 的集合有29c，其和为292c，含 10 的集合有29c个，其和为2910c所以()212912101980naaac+=+= 答案：198

5、0 例 5：身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少 思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而将问题转化为分组问题。则222364233390c c cnaa=（种） 答案：90 例 6：四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，则由这 10 点构成的直线中，有（ ）对异面直线 a. 450 b. 441 c. 432 d. 423 思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在 3 对异面直线，而不

6、共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为寻找这 10 个点中共面四点的情况。首先 4 个面上共面的情况共有46460c=，每条棱与对- 3 - / 10 棱中点共面情况共有 6 种，连结中点所成的中位线中有 3 对平行关系，所以共面，所以四点共面的情况共有4646369c +=种，所以四点不共面的情况有41069141c=种，从而异面直线的对数为141 3423n =种 答案：d 小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面三棱锥四点不共面四点共面，从而将所考虑的问题简单化 例 7：设a是整数集的一个非空子集，对于ka，如果1ka 且1ka

7、+ ，那么称k是集合a的一个“孤立元”，给定1,2,3,4,5,6,7,8s =，则s的 3 个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ） a. 6 b. 15 c. 20 d. 25 思路：首先要理解“ka，则1ka 且1ka+ ”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明 3 个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620c =种 答案：c 例 8：圆周上有 20 个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个 思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上 4 个点，而这四个点可以构成一个

8、四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可组成多少个四边形的问题，所以共有4204845c=个 答案：4845个 例 9：一个含有 10 项的数列 na满足：11010,5,1,(1,2,9)kkaaaak+=，则符合这样条件的数列 na有（ ）个 a. 30 b. 35 c. 36 d. 40 思路：以11kkaa+=为入手点可得：11kkaa+=，即可视为在数轴上，ka向左或向右移动一个单位即可得到1ka+，则问题转化为从10a =开始，点向左或向右移动，总共 9 次达到105a=，所以在这 9

9、 步中，有且只有 2 步向左移动 1 个单位，7 步向右移动 1 个单位。所以- 4 - / 10 不同的走法共有2936c =种，即构成 36 种不同的数列 答案：36 种 例 10：方程10 xyzw+=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 思路：本题可将 10 理解为 10 个 1 相加，而, , ,x y z w相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个 1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984c =种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：()()()()10111114xyzwxyzw+=+

10、=，则1,1,1,1xyzw+这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：313286c=种 答案：正整数解有 84 种，非负整数解有 286 种 二、历年好题精选 1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 a 只能出现在第一步或最后一步，程序 b 和 c 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ） a144 种 b96 种 c48 种 d34 种 2、现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张不同取法的种数为 （ ） a. 232 b. 252 c.472

11、d. 484 3、在 1，2，3，4，5 这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为 9的三位数共有（ ） a. 16 个 b. 18 个 c.19 个 d.21 个 4、把座位号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） a96 b240 c48 d40 5、某班组织文艺晚会，准备从,a b等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求：,a b两个节目至少有一个选中，且,a b同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ） a1860 b1320 c1140 d1

12、020 6、某班一天中有6节课，上午3节课，下午3节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、- 5 - / 10 物理、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为（ ） a72 b216 c320 d720 7、用 0、1、2、3、4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ） a48 b36 c28 d12 8、某宾馆安排 a、b、c、d、e 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 a、b 不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种 a24 b 48 c96 d114 9、（2014 重庆八中一月

13、考，2）要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 a2539cc b25310cc c25310aa d25410cc 10、（2015，广东文），若集合： (), , ,|04,04,04, , , ,ep q r spsqsrsp q r sn= ，(), , ,|04,04, , , ,ft u v wtuvwt u v wn= ，用()card x表示集合x中的元素个数，则( )( )card ecard f+=（ ） a. 50 b. 100 c. 150 d. 200 11、（2014，浙江）在 8 张奖券中有一、二、三等

14、奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种 12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60 的共有( ) a24 对 b30 对 c48 对 d60对 13、（2014，重庆）某次联欢会要安排 3个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) a72 b120 c144 d168 14、（2014，广东）设集合()12345,|1,0,1 ,1,2,3,4,5iax x x x xxi= =，那么集合a中满足条件“1234513xxxxx+”的元素个数

15、为（ ） a. 60 b. 90 c. 144 d. 168 - 6 - / 10 15、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( ) a. 484 b. 472 c. 252 d. 232 16、集合1,2,3,20s =的 4 元子集1234,ta a a a=中，任意两个元素差的绝对值都不为 1，这样的 4 元子集t的个数有_个 - 7 - / 10 习题答案：习题答案： 1、答案：b 解析：,b c相邻则考虑使用整体法，程序a有

16、要求所以先确定a的位置，共有 2 种选法，然后排剩下的元素44a，再排,b c间的顺序22a，所以总数为4242296na a= 2 2、答案：c 解析：考虑使用间接法，16 张卡片任取 3 张共有316c种，然后三张卡片同色则不符合要求，共有344 c种，然后若红色卡片有 2 张则不符合要求，共有21412c c种，所以不同的取法种数为：33211644124472nccc c= 3 3、答案：a 解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是1,3,5或2,3,4，三位数共有332a个；若有两个重复数字，则数字为2,2,5和1,4,4，三位数有1326c =个；若三个数字

17、相同，则只有 333，所以313322119nac=+ = 4 4、答案：a 解析：5 张票分给 4 个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共14c种选择，然后确定给哪两张连号的票，共 4 种情况，剩下的票分给 3 人即可。所以1343496nc a= 5 5、答案：c 解析：由题可知可分为两类：第一类,a b只有一个选中，则还需从剩下 6 个里选出 3 个节目，然后全排列，所以不同的演出顺序有134264c c a；第二类，,a b同时选中，则还需从剩下6 个里选出 2 个，然后,a b不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有222623c a a。综上13422226462311

18、40nc c ac a a=+= 6 6、答案：b 解析：先排数学与艺术各有 3 种共 9 种，其余的 4 个科目全排列有44a种，所以449216na= - 8 - / 10 7 7、答案：c 解析：根据题意，在 0，1，2，3，4 中有 3 个偶数，2 个奇数，可以分 3 种情况讨论： （1）0 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、0、3 看成一个整体，与 2、4 全排列，有633=a种情况；故 0 被奇数夹在中间时，有33212a =种情况； （2）2 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、2、3 看成一个整体，与 0、4

19、 全排列，有633=a种情况，其中 0 在首位的有 2 种情况，则有624=种排法；故 2 被奇数夹在中间时，有248=种情况； （3）4 被奇数夹在中间时，同 2 被奇数夹在中间的情况，有 8 种情况， 则这样的五位数共有 12+8+8=28 种. 8 8、答案：d 解析：由题可知，5 个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有603335= ac种，a、b 住同一房间有183313= ac种，故有421860=种 ， 当 为 （ 2,2,1 ） 时 ， 有9033222325=aacc种 ， a 、 b 住 同 一 房 间 有182

20、22313=acc种，故有901872=种，根据分类计数原理共有4272114+=种 9、答案：a 解析：由分层抽样可得男生需要 4 名，女生需要 2 名，甲男生担任队长，则还需要出 3 名男生，所以3295nc c= 10、答案：d 解析：分别统计,e f中元素的个数，在e中，, ,p q r可取的值由s的值决定，当4s =时, ,p q r分别可选0,1,2,3，所以有3464=种，当3s =时；同理, ,p q r有3327=种；当2s =时 ； 同 理, ,p q r有328=种 ； 当1s =时 ； 同 理, ,p q r有1种 ， 所 以 共 计( )182764100card e = +=；在f中，可知, t u一组，, v w一组，按照e的计算方式可 得, t u和, v w的 选 择 各 有10种 ， 所 以( )10 10100card f =。 从 而( )( )200card ecard f+= 11、答案：60 - 9 - / 10 解析：可按获奖人数进行分类讨