高中数学讲义微专题45均值不等式

1、- 1 - / 12 微专题 45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,iain= （1）调和平均数：12111nnnhaaa=+ （2）几何平均数：12nnnga aa= （3）代数平均数：12nnaaaan+= （4）平方平均数：22212nnaaaqn+= 2、均值不等式：nnnnhgaq，等号成立的条件均为：12naaa= 特别的，当2n =时，22ga2abab+即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）()2,0abab a b+：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）22abab+：多用在求乘积式的最大

2、值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）222abab+，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围, a br 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x 求23yxx=+的最小值。此时若直接使用均值不等式，则232 4yxxx=+，右侧依然含有x，则无法找到最值。 求和的式子乘积为定值。例如：上式中24yxx=+为了乘积消掉x，则要将3x拆为两个2x，则222334222 2

3、33 4yxxxxxxx x=+=+= - 2 - / 12 乘积的式子和为定值，例如302x，求( )()32f xxx=的最大值。则考虑变积为和后保证x能够消掉，所以( )()()211 2329322322228xxf xxxxx+=（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1a

4、xby+=（a为常数），求mnxy+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231xyxy+=，求32xy+的最小值 解：()3232942366yxxyxyxyxy+=+=+ 94941212224yxyxxyxy=+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24xyxyxy+=，求2xy+的最小值 解：()22211 222228xyxyxyx y+

5、= 所以()()2224248xyxyxyxy+=+ 即()()228 2320 xyxy+，可解得24 34xy+，即()min24 34xy+= - 3 - / 12 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xxyxyyx+=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y 的范围由x承担，所以()0,2x 二、典型例题： 例 1：设1x ，求函数(5)(2)1xxyx+=+的最小值为_ 思路：考虑将分式进行分离常数，(5)(2)41511xxyxxx+=+ +，使用均值不等式可得：()421591yxx+=+，等号成立条件为4111xxx+ =+，所以最小值为9 答案：9 例 2：已知

6、0,0 xy，且115xyxy+=，则xy+的最大值是_ 思路：本题观察到所求xy+与11xy+的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即2114112xyxyxyxy+，代入方程中可得： ()()()()245540 xyxyxyxy+，解得：14xy+，所以最大值为 4 答案：4 例 3：已知实数,m n，若0,0mn，且1mn+=，则2221mnmn+的最小值为（ ） a. 14 b. 415 c. 18 d. 13 思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。2241212121mnmnmnmn+=+ +，结合分母可将

7、条件1mn+=，变形为() ()214mn+=，进而利用均值不等式求出最值 - 4 - / 12 解：2222441nmnmnmnmnmn+ +=+=+ + ()4141322121mnmnmn=+ +=+ () ()1214mnmn+= += () ()()414141112214121214421nmmnmnmnmn+=+=+ ()41129524214nmmn+=+ 229122144mnmn+=+，即2221mnmn+的最小值为14 答案：a 例 4：已知正实数, x y满足24xyxy+=，则xy+的最小值为_ 思路：本题所求表达式xy+刚好在条件中有所体现

8、，所以考虑将xy+视为一个整体，将等式中的项往xy+的形式进行构造，()() ()21xyxyxyxxyx yxy+=+=+，而()1x y +可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于xy+的不等式，解不等式即可 解：()() ()24414xyxyxyxxyx yxy+=+=+= ()()2112xyx y+ 方程变形为：()()2142xyxy+ ()()21416xyxy+ ()()26150 xyxy+ 解得：6962 632xy += 答案：()xy+的最小值为2 63 例 5：已知20ab，则4(2)abab+的最小值为_ 思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便

9、于利用均值不等式，分母为- 5 - / 12 ()2bab，所以可将a构造为()112222aabb=+，从而三项使用均值不等式即可求出最小值： 341818(2)3 (2)3(2)2(2)2(2)aabbabbbabbabbab+=+ = 思路二：观察到表达式中分式的分母()2bab，可想到作和可以消去b，可得()()2222babbaba+=，从而244(2)aababa+，设( )24f aaa=+，可从函 数 角 度 求 得 最 小 值 （ 利 用 导 数 ） ， 也 可 继 续 构 造 成 乘 积 为 定 值 ：( )3224433222 2aaa af aaa=+= 答案：3 小炼

10、有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解 （2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元 （3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 例 6：设二次函数( )()24f xaxxc xr=+的值域为)0,+，则1919ca+的最大值为_ 思路：由二次函数的值域可判定0a ，且04ac =，从而利用定值化简所求表达式：19918918511999913913acaccaacacacac+= +，则只需确定9

11、ac+的范围即可求出1919ca+的最值。由均值不等式可得：912ac+，进而解出最值 解：二次函数( )()24f xaxxc xr=+的值域为)0,+ 164040acaca = ()()()9911991891851191999913913acacaccacaacacacac+ += + 92 912acac+= - 6 - / 12 195611912 135ca+ +=+ 答案：65 例 7：已知, ,x y zr+，则222xyyzxyz+=+的最大值是_ 思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为,xy yz

12、均含y，故考虑将分母中的2y拆分与22,xz搭配，即22222221122xyyzxyyzxyzxyyz+=+，而22222222111122,222222xyxyxy zyzyyz+=+=，所以2222xyyzxyyz+=+ 答案：22 小炼有话说：本题在拆分2y时还有一个细节，因为分子,xy yz的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中,xy yz也要相同，从而在拆分2y的时候要平均地进行拆分（因为22,xz系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。 例 8 ： 已 知 正 实 数, x y满 足3xyxy+=， 若 对 任 意 满 足 条 件 的,

13、 x y， 都 有2()() 10 xya xy+ 恒成立，则实数a的取值范围为_ 思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，()1axyxy+。进而只需求得()1xyxy+的最小值。将xy+视为一个整体，将3xyxy+=中的xy利用均值不等式换成xy+，然后解出xy+的范围再求最小值即可 - 7 - / 12 解：()21()() 10 xya xyaxyxy+ + ,0 x y 22xyxy+ 232xyxyxy+ += ()()2412xyxy+ 解得：6xy+或2xy+ （舍） ()min1137666xyxy+=+=+ （在6xy+=时取得） 376a 例 9：已知1,0,0 xyyx

14、+=，则121xxy+的最小值是_ 思路：观察到所求121xxy+的两项中x部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形12 x的分子。因为1xy+=，所以()12yx+=，则()111122244xyxyxxxx+=+，所以原式11214414414xxxyxyxxxyxxyx+=+=+，因为要求得最小值，所以0 x 时，min144xx= ，故121xxy+最小值为34 答案：34 小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的x互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造 例 10：已知, , ,25

15、,9,mnm n s trmnnmst+=+=，且,m n是常数，又2st+的最小值是1，则3mn+=_ - 8 - / 12 思路：条件中有9mnst+=，且有()min21st+=，进而联想到求()2st+最小值的过程中达到的最值条件与,m n相关：()()()112122222 2999mnmtsnststmnmnmnstst+=+=+，即2st+的最小值为()122 29mnmn+，所以()122 21925mnmnmnnm+=+=，解得12mn=，所以37mn+= 答案：7 三、历年好题精选 1、(2016，天津河西一模）如图所示，在abc中，dbad =，点f在线段cd上，设aba

16、=，acb=，afxayb=+，则141+yx的最小值为（ ） a.226+ b.36 c.246+ d.223+ 2、（2016，南昌二中四月考）已知, a b都是负实数，则2ababab+的最小值是（ ） a. 56 b. ()221 c. 2 21 d. ()221+ 3、（2016，重庆万州二中）已知, a b为正实数，且2ab+=，则22221abab+的最小值为_ 4、（扬州市 2016 届高三上期末）已知1ab且2log3log7abba+=，则211ab+的最小值为_ 5、已知正项等比数列 na满足7652aaa=+，若存在两项,mnaa，使得14mna aa=，则14mn+的

17、最小值为（ ） a. 32 b. 53 c. 256 d. 不存在 6、设()()()1, 2 , 1 ,0 ,0,0oaobaocbab= ，o为坐标原点。若, ,a b c三点共线，则12ab+的最小值是_ - 9 - / 12 7、已知(),0,a b+，且21ab+=，则2224sabab=的最大值是（ ） a. 212 b. 21 c. 21+ d. 212+ 8、设,1,1x yr ab，若3,2 3xyabab=+=，则11xy+的最大值为 9、已知ab，且1ab =，则22abab+的最小值是 习题答案：习题答案： 1、答案：d 解析：2afxabyacxadyac=+=+，因

18、为,c f d三点共线，所以21xy+=，根- 10 - / 12 据所求表达式构造等式为()212xy+=，所以有：()141 14118212412121yxxyxyxyxy+=+=+， 由 均 值不 等 式 可得：181824 211yxyxxyxy+=+，所以()14164 232 212xy+=+ 2、答案：b 解析：222222221112232323abaabbababababaabbaabbba+= = + ,0a b ,a bb a是正实数 2222 2ababbaba+= ()11132 22 2222 23ababab+ = =+ 3、答案：2 23 解析：2222121211abababab+=+ +()2131abab=+ + 2111ab= + 2ab+= ()13ab+= ()222211 2121111131ababababab+= += + ()()2121111213131bbaaabab+= + +=+ ()2112 22313baab+=+ 4、答案：3 解析：()232log72 log7log30logaaaabbbb+=+= - 11 - / 12 ()()2log1 log30aabb= 1log2ab=或log3ab = 1ab 1loglog2aaba= 2ba= ()2111111