高中数学必修二课时跟踪检测（十二）余弦定理、正弦定理应用举例

1、1 / 7 课时跟踪检测（十二） 余弦定理、正弦定理应用举例 a级学考合格性考试达标练 1从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为 ，同时测得建筑物顶部仰角为 ，则山顶的仰角为( ) a b c d 解析：选 c 如图可知，山顶的仰角为 .故选 c. 2两座灯塔 a和 b 与海岸观察站 c的距离相等，灯塔 a在观察站北偏东 40 ，灯塔 b在观察站南偏东 60 ，则灯塔 a 在灯塔 b的( ) a北偏东 10 b北偏西 10 c南偏东 10 d南偏西 10 解析：选 b 灯塔 a，b 的相对位置如图所示，由已知得acb80 ，cabcba50 ，则 60 50 10 ，即北偏西 10 .

2、故选b. 3一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 p 的南偏西 75 距塔 68 n mile的 m处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 n 处，则这只船的航行速度为( ) a.17 62 n mile/h b34 6 n mile/h c.17 22 n mile/h d34 2 n mile/h 解析：选 a 如图所示，在pmn 中，pmsin 45mnsin 120， mn68 3234 6，vmn417 62 (n mile/h)故选 a. 4在地面上点 d 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 a 与底部 b 的仰角分别为 60 和 30 ，已知建筑物底部高出地

3、面 d 点 20 m，则建筑物高度为( ) a20 m b30 m c40 m d60 m 2 / 7 解析：选 c 如图，设 o 为塔顶在地面的射影，在 rtbod 中，odb30 ，ob20，bd40，od20 3. 在 rtaod 中，oaod tan 60 60. aboaob40. 故选 c. 5一艘船以 4 km/h 的速度与水流方向成 120 的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则经过 3 h，则船实际航程为( ) a2 15 km b6 km c2 21 km d8 km 解析：选 b 如图所示，在acd 中，ac2 3，cd4 3，acd60 ，ad2124822 34

4、 31236.ad6.即该船实际航程为 6 km.故选 b. 6某人从 a处出发，沿北偏东 60 行走 3 3 km到 b处，再沿正东方向行走 2 km到 c处，则 a，c 两地的距离为_km. 解析：如图所示，由题意可知 ab3 3，bc2，abc150 .由余弦定理，得 ac227423 32cos 150 49，ac7. 则 a，c 两地的距离为 7 km. 答案：7 7如图，小明同学在山顶 a 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 a 处测得公路上 b，c 两点的俯角分别为 30 ，45 ，且bac135 .若山高 ad100 m，汽车从 c 点到 b 点历时 14

5、 s，则这辆汽车的速度为_m/s.(精确到 0.1，参考数据： 21.414， 52.236) 解析：由题意，ab200 m，ac100 2 m， 由余弦定理可得 bc 40 00020 0002200100 222 316.2 (m)， 这辆汽车的速度为 316.2 1422.6 (m/s) 答案：22.6 8上海世博园中的世博轴是一条 1 000 m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为 120 .据3 / 7 此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是_m. 解析：如图所示，设 a，b 为世博轴的两端点，c 为中国馆，

6、由题意知acb120 ，且 acbc，过 c 作 ab 的垂线交 ab 于 d，在 rtcbd 中，db500 m，dcb60 ，bc1 000 33 m. 答案：1 000 33 9.如图，某货轮在 a 处看灯塔 b 在货轮的北偏东 75 ，距离为12 6 n mile，货轮由 a 处向正北航行到 d 处时，再看灯塔 b 在北偏东120 ，求 a 与 d间的距离 解：在abd中，adb60 ，dab75 ， b45 . adabsin bsin adb12 6223224(n mile) 即 a 与 d间的距离为 24 n mile. 10在海岸 a 处，发现北偏东 45 方向，距离 a 处

7、( 31)n mile 的 b 处有一艘走私船，在 a 处北偏西 75 的方向，距离 a 2 n mile 的 c处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 b 处向北偏东 30 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私船用 t h在 d 处追上走私船，画出示意图， 则有 cd10 3t，bd10t， 在abc中，ab 31，ac2，bac120 ， 由余弦定理，得 bc2ab2ac22ab ac cosbac( 31)2222 ( 31) 2 cos 120 6， bc 6，且 sinabcacbc si

8、nbac263222， abc45 ，bc 与正北方向成 90 角 cbd90 30 120 ，在bcd 中，由正弦定理，得 sinbcdbd sincbdcd10tsin 12010 3t12， bcd30 .即缉私船沿北偏东 60 方向能最快追上走私船 b级面向全国卷高考高分练 4 / 7 1如图所示，为了测量某湖泊两侧 a，b 间的距离，李宁同学首先选定了与 a，b 不共线的一点 c，然后给出了三种测量方案(abc 的角 a，b，c 所对的边分别记为 a，b，c)： 测量 a，b，b；测量 a，b，c；测量 a，b，a. 则一定能确定 a，b间距离的所有方案的个数为( ) a3 b2 c

9、1 d0 解析：选 a 对于，利用内角和定理先求出 cab，再利用正弦定理bsin bcsin c解出 c； 对于，直接利用余弦定理 c2a2b22abcos c即可解出 c； 对于，先利用内角和定理求出 cab，再利用正弦定理asin acsin c解出 c.故选 a. 2甲船在湖中 b岛的正南 a 处，ab3 km，甲船以 8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从 b 岛出发，以 12 km/h 的速度向北偏东 60 方向驶去，则行驶 15 min 时，两船的距离是( ) a. 7 km b. 13 km c. 19 km d.103 3 km 解析：选 b 由题意知 am81560

10、2，bn1215603，mbabam321，所以由余弦定理，得 mn2mb2bn22mb bncos 120 192131213，所以 mn 13 km.故选 b. 3.如图所示，在山底 a 处测得山顶 b 的仰角cab45 ，沿倾斜角为 30 的山坡向山顶走 1 000 m 到达 s 点，又测得山顶仰角dsb75 ，则山高 bc为( ) a500 2 m b200 m c1 000 2 m d1 000 m 5 / 7 解析：选 d sab45 30 15 ，sbaabcsbc45 (90 75 )30 ，在abs 中，abas sin 135sin 301 00022121 000 2，b

11、cab sin 45 1 000 2221 000(m)故选 d. 4如图，从气球 a 上测得其正前下方的河流两岸 b，c 的俯角分别为 75 ，30 ，此时气球的高度 ad是 60 m，则河流的宽度 bc 是( ) a240( 31)m b180( 21)m c120( 31)m d30( 31)m 解析：选 c 由题意知，在 rtadc 中，c30 ，ad60 m，ac120 m在abc 中，bac75 30 45 ，abc180 45 30 105 ，由正弦定理，得 bcacsinbacsinabc120226 24120( 31)(m)故选 c. 5台风中心从 a地以每小时 20 km

12、的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的地区为危险区，城市 b在 a的正东 40 km处，b 城市处于危险区内的持续时间为_h. 解析：设 t h 时，b 市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2402220t40cos 45 302. 化简，得 4t28 2t70，t1t22 2，t1 t274.从而|t1t2| (t1t2)24t1t21(h) 答案：1 6当太阳光线与水平面的倾斜角为 60 时，一根长为 2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角 _. 解析：如图，设竹竿与地面所成的角为 ，影子长为 x，依据正弦定理可得2sin 60 xsin(120 ). 所

13、以 x43 sin(120 )因为 0 120 120 ，所以要使 x 最大，只需 120 90 ，即 30 时，影子最长 答案：30 6 / 7 7某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在 b 点测得旗杆顶端 e 点的仰角为 45 ，小军站在点 d 测得旗杆顶端 e 点的仰角为 30 ，已知小李和小军相距(bd)6 米，小李的身高(ab)1.5 米，小军的身高(cd)1.75米，求旗杆的高 ef的长(结果精确到 0.1，参考数据： 21.41， 31.73) 解：过点 a作 amef于 m，过点 c 作 cnef 于 n， mn0.25，eam45

14、 ，amme， 设 ammex， 则 cn(x6)，en(x0.25)， ecn30 ，tanecnencnx0.25x633， 解得：x8.8， 则 efemmf8.81.510.3(m) 答：旗杆的高 ef 约为 10.3 m. c级拓展探索性题目应用练 为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 3 km 有一条北偏东 60 方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解：如图所示，考点为 a，检查开始处为 b， 设检查员行驶到公路上 c，d 两点之间时收不到信号，即公路上c，d两点到考点的距