课件 第七章气体动理论

1、第七章 气体动理论引 言一、物质运动理论的基本观点(1) 宏观物体是由大量微粒-分子（或原子）组成的。(2) 物体中的分子处于永不停息的无规则运动中，其激烈程度与温度有关。(3) 分子之间存在着相互作用力。从上述物质分子运动论的基本观点出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性能是统计物理学的任务二、本章主要内容本章讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最基本的内容。目的在于使我们了解一些气体性质的微观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法。本章主要内容：物质的微观模型、理想气体压强和温度的微观本质、能量均分定理、气体内能、麦克斯韦气体分子速率分布律、分子平均自由程、碰撞次数。第一节 物质的微观

2、模型 统计规律性一、分子的数密度和线度二、分子力三、热运动的无序性和统计规律性第二节 理想气体的压强公式引语：为什么必须采用统计方法？一、理想气体的微观模型包括物质运动理论的三个基本观点和以下几个假设（1） 分子本身的线度，比起分子之间的距离来说可以忽略不计，即理想气体分子可看作无体积大小的质点。（2） 除碰撞瞬间外，分子之间以及分子与器壁之间相互作用可以忽略。（3） 分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的，即碰撞前后气体分子动能守恒。实际气体在压强不太大，温度不太低时可以近似为理想气体。二、理想气体压强公式1推导过程（注意在何处应用统计方法？）从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时

3、间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有，（1）dI为大量分子在dt时间内施加在器壁dA面上的平均冲量。设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为，（2）为讨论方便，将分子按速度分组，第i组分子的速度为vi（严格说在vi 附近）分子数为Ni,分子数密度为 ni=Ni/V，并有.（3）平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dA,计算其所受的压强如图7-1所示。单个分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为 2mvix .dt时间内，碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为 2

4、m ni vix 2 dt dA .关键在于：在全部速度为vi的分子中，在dt时间内，能与dA相碰的只是那些位于以dA为底，以 vix dt 为高，以 vi为轴线的柱体内的分子。分子数为ni vix dt dA . 因此，dt时间内，与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为，（4）注意： vix< 0 的分子不能与dA碰撞。容器中气体无整体运动，平均来讲 vix> 0 的分子数等于 vix< 0 的分子数。因此.（5）将（5）代入（1）可得容器壁的压强为：，（6）定义x方向均方速度：，（7）则.（8）平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有：，因为，可知，（9）所以，（10）

5、或者，（11）这就是理想气体压强公式。其中为气体分子平均动能。2讨论（1）理想气体压强公式（11）式显示了宏观量与微观量的关系。（2）理想气体压强公式（11）式是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。（3）注意到气体的密度，因此，（11）式也可以改写为.第三节 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系一、理想气体状态方程的分子形式由第六章（理想气体状态方程）有pV=nRT.若知分子总数N，则有.定义玻尔兹曼常数.则 pV=Nk，或 p=nkT，这就是理想气体状态方程的分子形式。二、温度的微观意义比较 p=nkT和，有，（12）由表征分子无规则运动激烈程度，可知温度标志着物体内部分子无规则运动的

6、激烈程度。课本给出了数量级大小的讨论。 第四节 能量均分定理 理想气体的内能将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念一、自由度1刚性分子的自由度（1）自由度的概念力学中，自由度是指确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目。对于刚性理想气体分子，平动自由度t=3 .（2） 平动自由度t由理想气体分子的平均平动动能公式.以及 .可得.可见对于每一个平动自由度，贡献的平均动能为.（3）刚性双原子分子和转动自由度r考虑刚性双原子理想气体分子，还必须考虑原

7、子围绕分子质心的转动，转动能量为，可见加上三个平动项，刚性双原子理想气体分子的能量表达式中有5项独立的完全平方项。称为有5个自由度（t=3，r=2）.（4）刚性双原子分子这时 ，t=3，r=3 .列表如下：分子种类平动自由度t转动自由度r总自由度i单原子分子303双原子分子325多原子分子3362非刚性双原子分子的自由度 振动自由度s振动能量 ，因此振动自由度s=2 .二、能量按自由度均分定理每个平动自由度的平均动能，推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理。玻尔兹曼假设：在温度为 T 的平衡态下，物质分子的每一个自由度具有相同的平均动能，其大小都等于，这就是能量按自由度均分定理。这样，每个理

8、想气体分子的平均能量为：，其中：i=t+r+s分子的总自由度数目。注意：（1）是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。（2）是气体分子无规则碰撞的结果。（3）经典统计物理可给出严格证明。三、理想气体的内能 摩尔热容1理想气体的内能我们用i表示一个分子的总自由度，N 表示气体分子的总数，n 表示气体总摩尔数。则有：每个分子的平均能量；理想气体的内能，可见理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比。此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。2理想气体的摩尔热容（1）理论值由第六章第四节中我们学习过的等体摩尔热容的定义 ，以及，易得：.此外由，可得.第五节 麦克斯韦气体分子速率分布律

9、0、引言1方均根速率由气体分子的平均平动动能：，可得，所以，.我们将称为方均根速率（root mean square speed）记为，可见在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。2气体分子速度的统计规律的发展历史1859年，麦克斯韦应用概率理论推导出气体分子速率的分布规律；不久，玻尔兹曼用经典统计力学方法推导出来；1920年斯特恩用实验验证其正确性。一、测定气体分子速率分布的实验自学二、麦克斯韦气体分子速率分布定律为研究气体分子速度分布的定量规律，有必要介绍

10、分布函数的概念。1速率分布函数f(v)（1）定义一定量的气体分子总数为N . 其中：速率分布在某区间 vv+dv内的分子数为dNv ，分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）为.是v的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dNv/N还应与区间大小成正比。因此有 ，或.（2）f(v)物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。（3）归一化条件.2麦克斯韦气体分子速率分布定律使用概率理论，麦克斯韦推导出：在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为，麦克斯

11、韦速率分布函数为. 图7-13麦克斯韦率度分布曲线 曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率.三、三种统计速率1最可几（最概然）速率vP（1）定义：最可几速率vP为与 f(v)极大值对应的速率。（2）物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在 vP所在区间的分子数比率最大。 由麦克斯韦速率分布函数.令可解得，而且当v = vP时，. vP 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小。2平均速率由定义：可得，计算得.3方均根速率因为，所以，.和引言中的结论一致。三种速率的比较：.第七节 分子平均碰撞频率和平均自由程分子间的无规则碰撞在气体由非平

12、衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力的有效直径为d的刚球。一、平均自由程和平均碰撞频率的定义1平均自由程 在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。用表示。2平均碰撞频率 一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。用表示。3二者关系.二、平均自由程和平均碰撞频率的计算1设想：跟踪分子A，看其在一段时间内与少分子相碰。2推导过程（1）假设：其他分子静止不动，只有分子A在它们之间以平均相对速率用运动。应用麦克斯韦速度分布律可得.（2）分子A的运动轨迹为一折线，以A的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以分子有效直径d为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。图7-2圆柱体的截面积为S ，叫做分子的碰撞截面.在时间内，分子A所走过的路程为 ，相应圆柱