高中数学必修二第十章 10.1.3

1、1 / 13 10.1.3 古典概型古典概型 学习目标 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题. 知识点一 随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件 a 的概率用 p(a)表示. 知识点二 古典概型 一般地，若试验 e 具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验 e 为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 知识点三 古典概型的概率公式 一般地，设试验 e 是古典概型，样本空间 包含 n 个样本点，事件 a 包含其中的 k 个样本点

2、，则定义事件 a 的概率 p(a)knn(a)n(). 1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.( ) 2.古典概型有两个重要条件：样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；各个样本点的出现是等可能的.( ) 3.用古典概型的概率公式可求“在线段0,5上任取一点，此点小于 2”的概率.( ) 4.从甲地到乙地共 n 条线路，且这 n 条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.( ) 2 / 13 一、古典概型的判断 例 1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间1,10内任意取出一个实数，求取到实数 2的概率； (2)向上抛掷一枚不

3、均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从 1,2,3，100这 100 个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率. 解 (1)不是古典概型，因为区间1,10中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾. (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾. (3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等. 反思感悟 古典概型需满足两个条件 (1)样本点总数有限. (2)各个样本点出现的可能性相等. 跟踪训练 1 下列问题中

4、是古典概型的是( ) a.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 b.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出 1点的概率 c.在区间1,4上任取一数，求这个数大于 1.5 的概率 d.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5的概率 答案 d 解析 a，b 两项中的样本点的出现不是等可能的；c 项中样本点的个数是无限多个；d 项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选 d. 3 / 13 二、古典概型概率的计算 例 2 一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球.求： (1)样本空间的样本点的总数 n； (2)事件“摸出 2个黑球”包含的样本点的个数

5、； (3)摸出 2 个黑球的概率. 解 由于 4 个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型. (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球， 样本空间 (黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，其中共有 6 个样本点. (2)事件“摸出 2个黑球”(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)，共 3个样本点. (3)样本点总数 n6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数 m3，故 p3612，即摸出 2个黑球的概率为12. 反思感悟 求古典概型概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数 n. (

6、2)确定所求事件 a包含的样本点的个数 m. (3)p(a)mn. 跟踪训练 2 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_. 答案 23 解析 从 4 种颜色的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛中，余下 2 种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、红紫白黄、黄白红紫、黄紫红白、白紫红黄，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄白紫、红白黄紫、4 / 13 黄紫红白、白紫红黄，共 4 种，故所求概率为 p4623. 三、较复杂的古典概型的概率计算 例 3 先后抛掷

7、两枚质地均匀的骰子. (1)求点数之和为 7 的概率； (2)求掷出两个 4点的概率； (3)求点数之和能被 3整除的概率. 解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共 36 种. (1)记“点数之和为 7”为事件 a，从图中可以看出，事件 a 包含的样本点共有 6 个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6). 故 p(a)63616. (2)记“掷出两个 4 点”为事件 b，从图中可以看出，事件 b 包含的样本点只有 1 个，即(4,4). 故 p(b)136. (3)记“点数之和能被 3 整除”为事件 c，则事件 c 包含的样本点共 12 个：(

8、1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6). 故 p(c)123613. 反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便. 5 / 13 跟踪训练 3 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 a1，a2，a3和 3 个欧洲国家 b1，b2，b3中选择 2 个国家去旅游. (1)若从这 6个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率

9、； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1个，求这 2个国家包括 a1但不包括 b1的概率. 解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共 15个. 所选 2 个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共 3个， 则所求事件的概率为 p31515. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各

10、任选 1 个，其一切可能的结果有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，共 9 个. 包括 a1但不包括 b1的事件所包含的基本事件有 (a1，b2)，(a1，b3)，共 2个， 则所求事件的概率为 p29. 1.下列不是古典概型的是( ) a.从 6名同学中，选出 4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 b.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为 7的概率 c.近三天中有一天降雨的概率 d.10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 答案 c 6 / 13 解析 a，b，d 为古典概型，因为

11、都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而 c不满足等可能性，故不为古典概型. 2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) a.16 b.12 c.13 d.23 答案 c 解析 样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共 2 个，所以甲站在中间的概率 p2613. 3.已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( ) a.0.4 b.0.6 c.0.8 d.1 答案 b 解析 记 3 件合格品分别为 a1，a2，a3,2 件次品分别为 b1，b2，从 5

12、 件产品中任取 2 件，有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共 10种可能，其中恰有一件次品有 6 种可能，由古典概型得所求事件概率为6100.6. 4.用 1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被 2整除的概率是( ) a.16 b.12 c.13 d.23 答案 c 解析 用 1,2,3 组成的无重复数字的三位数共 6 个，分别为 123,132,213,231,312,321，其中能被 2 整除的有 132,312这 2个数，故能被 2整除的概率为13. 5.

13、从 1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为 5 的概率是_. 7 / 13 答案 0.2 解析 两数之和等于 5 有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10种，所以 p2100.2. 1.知识清单： (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. 2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数. 3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏. 1.下列是古典概型的是( ) a.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 b.

14、求任意的一个正整数平方的个位数字是 1的概率，将取出的正整数作为样本点 c.在甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 d.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 答案 c 解析 a 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 a 不是；b 项中的样本点的个数是无限的，故 b 不是；c 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故 c 是古典概型；d 项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故 d 不是. 2.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) 8 / 1

15、3 a.13 b.12 c.23 d.34 答案 c 解析 试验的样本空间 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有 4 个样本点，所以所求概率为23. 3.从 1,2,3,4 中任取 2个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2的概率是( ) a.12 b.13 c.14 d.16 答案 b 解析 样本点的总数为 6， 构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的样本点的个数为 2， 所以所求概率 p2613，故选 b. 4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是

16、 m，i，n 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) a.815 b.18 c.115 d.130 答案 c 解析 (m,1)，(m,2)，(m,3)，(m,4)，(m,5)，(i,1)，(i,2)，(i,3)，(i,4)，(i,5)，(n,1)，(n,2)，(n,3)，(n,4)，(n,5)，基本事件总数为 15. 正确的开机密码只有 1种，p115. 5.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是( ) a.45 b.35 c.25 d.15 答案 d 解析 设“所取的数中

17、 ba”为事件 a，如果把选出的数 a，b 写成数对(a，b)的形式，则9 / 13 样本空间 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共 15个，事件 a 包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共 3 个，因此所求的概率 p(a)31515. 6.从三男三女共 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等)，则 2 名都是女同学的概率为_. 答案 15 解析 用 a，b，c 分别表示三名男同学，用 a，b，c 分别表示三名女同学，则从

18、 6 名同学中选出 2 人的所有选法为 ab，ac，aa，ab，ac，bc，ba，bb，bc，ca，cb，cc，ab，ac，bc，共 15种.其中 2 名都是女同学包括 ab，ac，bc，共 3 种.故所求的概率为31515. 7.在 1,2,3,4 四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的 2 倍的概率是_. 答案 14 解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有 16 种可能，其中一个数是另一个数的 2 倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共 4种，故所求的概率为41614. 8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1的小

19、球 1个，标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号是 2 的小球的概率是12，则 n 的值为_. 答案 2 解析 由题意可知n11n12，解得 n2. 9.某学校有初级教师 21 人，中级教师 14 人，高级教师 7 人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取 6 人对绩效工资情况进行调查. (1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数； (2)若从分层随机抽样抽取的 6 名教师中随机抽取 2 名教师做进一步数据分析，求抽取的 2名教师均为初级教师的概率. 10 / 13 解 (1)共抽取 6 人，又 21147321，所以应从初级教师、中级教师、高

20、级教师中抽取的人数分别为 3，2,1. (2)在分层随机抽样抽取的 6 名教师中，3 名初级教师分别记为 a1，a2，a3,2 名中级教师分别记为 a4，a5，高级教师记为 a6，则从中抽取 2 名教师的样本空间为 (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a5，a6)，即样本点的总数为 15.抽取的 2名教师均为初级教师(记为事件 b)包含的样本点为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共 3 个.

21、所以 p(b)31515. 10.某小组共有 a，b，c，d，e 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示： a b c d e 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 米以下的概率； (2)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率. 解 (1)由题意知，从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人这一试验 e1的样

22、本空间 1ab，ac，ad，bc，bd，cd，共 6 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型.设事件 m 表示“选到的 2 人身高都在 1.78 米以下”，则 mab，ac，bc，共含有 3 个样本点， 所以 p(m)3612. (2)从该小组同学中任选 2 人，这一试验 e2的样本空间 2ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 10 个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.设事件 n 表示“选到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且体重指标都在18.5,23.9)中”，则 ncd，ce，de，共含有 3 个样本点，所以 p(n)310. 11 / 1

23、3 11.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取 3个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) a.110 b.15 c.310 d.120 答案 a 解析 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数的样本空间 (1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10 个，其中勾股数有(3,4,5)，所以概率为110. 12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5

24、,6)，骰子朝上的面的点数分别为 x，y，则 log2xy1的概率为( ) a.16 b.536 c.112 d.12 答案 c 解析 所有样本点的个数为 36.由 log2xy1 得 2xy，其中 x，y1,2,3,4,5,6，所以 x1，y2或 x2，y4或 x3，y6满足 log2xy1，故事件“log2xy1”包含 3 个样本点，所以所求的概率为 p336112. 13.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为 m 和 n，则关于 x 的方程 x2(mn)x40 无实数根的概率是_. 答案 112 解析 总的样本点个数为 36.因为方程无实根，所以 (mn)2160.即 mn4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共 3个样本点. 所以所求概率为336112. 14.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为_. 12 / 13 答案 310 解析 从五个人中选取三人，则试验的样本空间 (甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共 10 个样本点，甲、乙都被选中的结果有 3 种，故所求的概率为310. 15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲