高中数学必修二第六章 章末复习

1、1 / 10 章末复习章末复习 一、向量的线性运算 1. 向量运算 法则(或几何意义) 向量的线性运算 加法 减法 2 / 10 数乘 (1)|a|a|； (2)当 0时，a的方向与 a 的方向相同；当 0). (1)用 k表示数量积 a b； (2)求 a b 的最小值，并求出此时 a 与 b 的夹角 的大小. 解 (1)由|kab| 3|akb|， 得(kab)23(akb)2， k2a22ka bb23a26ka b3k2b2. (k23)a28ka b(13k2)b20. |a| cos2sin21，|b| cos2sin21， k238ka b13k20， a b2k228kk214

2、k(k0). 5 / 10 (2)a bk214k14k1k14212，当且仅当 k1时等号成立， 此时 a与 b的夹角 的余弦值 cos a b|a|b|12， 又0 180 ，60 . 反思感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题 (1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， abx1y2x2y10， abx1x2y1y20(a，b均为非零向量). (2)求向量的夹角和模的问题 设 a(x1，y1)，则|a| x21y21. 两向量夹角的余弦值(0，a，b为非零向量) cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22 . 跟踪训练 2 已知向量a

3、b与ac的夹角为 120 ，且|ab|3，|ac|2.若apabac，且apbc，则实数 的值为 . 答案 712 解析 由apbc知ap bc0， 即ap bc(abac) (acab) (1)ab acab2ac2 (1)3212940， 解得 712. 三、余弦定理、正弦定理 6 / 10 1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积. 2.解斜三角形共包括四种类型： (1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求

4、角或用正弦定理求边)； (2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)； (3)已知三边(先用余弦定理求角)； (4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数). 3.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养. 例 3 在abc 中，内角 a，b，c所对的边分别为 a，b，c，且 2bac，向量 m(3a，b)，n(2b，c)，mn.求 a. 解 方法一 2bac，abc， b3，ac23. mn，2b23ac， 由正弦定理，得 2sin2b3sin asin c， 即 sin asin c12， sin asin23a 12，

5、 sina32cos a12sin a 12， 3sin acos acos2a， cos a0 或 tan a33，a2或 a6. 方法二 2bac，abc，b3， 7 / 10 由余弦定理，得 b2a2c22accos b， 即 b2a2c2ac.(*) mn，2b23ac，b232ac. 将 b232ac代入到(*)中， 得 2a25ac2c20， 解得 a2c 或 c2a. 当 a2c时，b 3c，cos a3c2c24c22 3cc0， a2； 当 c2a时，b 3a，cos a3a24a2a22 3a2a32， a6. 综上，a2或 a6. 反思感悟 通过正弦定理和余弦定理，化边为

6、角(如 a2rsin a，a2b2c22abcos c 等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在abc中，sin asin bab；sin(ab)0ab；sin 2asin 2bab或 ab2等. 利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin aa2r，cos ab2c2a22bc等，通过代数变换. 跟踪训练 3 在abc 中，a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且sin aa3cos cc. (1)求 c 的大小； (2)如果 ab6，ca cb4，求 c的值. 8 / 10 解 (1)由正弦定理，得sin aa3cos ccsi

7、n cc，即 tan c 3. 又c(0，)，c3. (2)ca cb|ca|cb|cos cabcos c4， 且 cos ccos 312，ab8. 由余弦定理，得 c2a2b22abcos c (ab)22ab2abcos 3 (ab)23ab623812. c2 3. 1.已知平面向量ab(1,2)，ac(3,4)，则向量cb等于( ) a.(4，6) b.(4,6) c.(2，2) d.(2,2) 答案 c 解析 cbabac(1,2)(3,4)(2，2)，故选 c. 2.设 a(1,2)，b(1,1)，cakb.若 bc，则实数 k 的值等于( ) a.32 b.53 c.53 d

8、.32 答案 a 解析 cakb(1k,2k)， 又 bc，所以 1(1k)1(2k)0，解得 k32. 9 / 10 3.如图所示，矩形 abcd 的对角线相交于点 o，e 为 ao 的中点，若deabad(，r)，则 等于( ) a.12 b.12 c.1 d.1 答案 a 解析 由平面向量基本定理，化简dedaaeda14acad14(abad) 14ab34ad， 所以 14，34，即 12. 4.已知向量 a，b满足|a|1，b(t,2t)，ab 与 a垂直，则|ab|的最小值为( ) a.22 b.1 c. 2 d.2 答案 b 解析 由题意知 ab 与 a垂直， 则(ab) a0，可得 a ba21. 又由|ab| a22a bb2 12t2(2t)2 2(t1)21， 所以当 t1时，|ab|取得最小值 1. 5.abc中，内角 a，b，c所对的边分别是 a，b，c，已知 cbcos cccos b，且 a1，b12