高中数学必修二7.1.1数系的扩充和复数的概念

1、1 / 12 第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 基础过关练 题组一 数系的扩充和复数的概念 1.下列复数中,满足方程 x2+2=0 的是( ) a. 1 b. i c. 2i d. 2i 2.(2020 北京通州高一下期末)已知 i 为虚数单位,复数 z=2-3i 的虚部为( ) a.3i b.-3i c.3 d.-3 3.已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b的值分别是( ) a.2,1 b.2,5 c. 2,5 d. 2,1 4.以 3i-2的虚部为实部,3i2+2i 的实部为虚部的新复数是( ) 2 / 12

2、a.3-3i b.3+i c.-2+2i d.2+2i 5.(多选)下列说法不正确的是( ) a.复数 2+3i 的虚部是 3i b.形如 a+bi(br)的数一定是虚数 c.若 ar,a-3,则(a+3)i是纯虚数 d.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数 题组二 复数的分类 6.用 c,r,i分别表示复数集、实数集、纯虚数集,且取全集为 c,则下列结论成立的是( ) a.ri=c b.rci= c.cr=i d.crci=c 7.在3+2,37i,0,8+5i,(1+3)i,-i2这几个数中,纯虚数的个数为( ) a.0 b.1 c.2 d.3 8.下列说法中正确的是( ) a.复数由实

3、数、虚数、纯虚数构成 3 / 12 b.若复数 z=x+yi(x,yr)是虚数,则必有 x0 c.在复数 z=x+yi(x,yr)中,若 x0,则复数 z一定不是纯虚数 d.若 a,br且 ab,则 a+ib+i 9.若复数 z=(m+1)+(m2-9)i1,则实数 x 的值是 . 7.()已知复数 z=2-x-6+3+(x2-2x-15)i,则实数 x取什么值时,z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 题组三 复数相等的充要条件及其应用 8.()已知 i 为虚数单位,复数 cos +isin 和 sin +icos (r)相等,则 的值为( ) 7 / 12 a.4 b.4或54 c.2

4、k+4(kz) d.k+4(kz) 9.(多选)()已知 i 为虚数单位,下列命题正确的是( ) a.若 x,yc,则 x+yi=1+i的充要条件是 x=y=1 b.(a2+1)i(ar)是纯虚数 c.若12+22=0,则 z1=z2=0 d.当 m=4时,复数 lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i 是纯虚数 10.()满足方程 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的有序实数对(x,y)表示的点的个数为 . 11.(2020 北京西城高一月考,)定义运算| |=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=|3 + 2 i - 1|(i 为虚数单位),那么实数 x,y 的值分别为 .

5、 12.()已知关于 x,y的方程组( +32) + 2(y + 1)i = + 4i,(2 + )-(4- + )i = 9 8i有实数解,求实数 a,b的值. 8 / 12 13.()已知 i 为虚数单位,集合 m=(a+3)+(b2-1)i,8,集合 n=3i,(a2-1)+(b+2)i,且 mn,求整数 a,b的值. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练 1.c 由题意得,x2=-2=2i2,所以 x= 2i. 2.d 复数 2-3i 的虚部是-3.故选 d. 3.c 由题意,得 a2=2,-(2-b)=3, a= 2,b=5.故选 c. 4.a 3i-2的虚部为 3,3i2+2i=-

6、3+2i 的实部为-3,故新复数为 3-3i.故选 a. 9 / 12 5.ab 复数 2+3i 的虚部是 3,故 a中说法不正确;形如 a+bi(br)的数不一定是虚数,例如,当 ar,b=0 时,a+bi 不是虚数,故 b 中说法错误;只有当 ar,a+30,即 a-3时,(a+3)i是纯虚数,故 c 中说法正确;因为虚数不能比较大小,所以若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故 d中说法正确.故选 ab. 6.d 利用复数集 c,实数集 r,虚数集,纯虚数集 i之间的关系,结合 venn 图可知选项 d正确. 7.c 在这些数中,37i,(1+3)i 是纯虚数,所以纯虚数有 2 个,故

7、选 c. 8.c 选项 a错误,复数由实数与虚数构成,虚数又分为纯虚数和非纯虚数;选项 b错误,若复数 z=x+yi(x,yr)是虚数,则必有 y0,对 x的取值没有限定;选项 c 正确,复数 z=x+yi(x,yr)是纯虚数x=0且 y0,因此只要 x0,复数 z 一定不是纯虚数;选项 d错误,当 a,br 时,a+i 与 b+i 都是虚数,不能比较大小. 9.答案 -3 解析 因为 z0,所以2-9=0, + 1 0,解得 m=-3. 方法技巧 由于虚数不能比较大小,因此若 z0,则 z一定是实数. 10.解析 (1)要使复数 z是虚数,必须使 m2+3m-280m4且 m-7, 所以当

8、m4且 m-7时,复数 z是虚数. (2)要使复数 z是纯虚数,必须使2-3m-4=0,2+ 3m-280,解得 m=-1, 所以当 m=-1 时,复数 z 是纯虚数. 11.b 由 i2=-1,得 xi-i2=1+xi,则由题意,得 1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件,得x=2,y=1,故 x+yi=2+i. 12. a 由 z1=z2,得2-3m-1=-3,2-m-6=-4,解得 = 2, = 2. 所以 m+n=4或 0,故选 a. 13. 答案 14;1 10 / 12 解析 由复数相等的充要条件可知-1=-3, = 1,所以 =14, = 1. 14.答案 3 解析 因为 x

9、r,所以2-x-6+1r,由复数相等的充要条件,得2-x-6+1= 0,2-2x-3=0,解得 x=3. 15. 解析 由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(ar), 所以2-3a-1=3,2-5a-6=0,解得 a=-1. 所以实数 a的值为-1. 深度剖析 复数相等的充要条件为我们提供了将复数问题转化为实数问题来解决的途径. 能力提升练 1.b 由欧拉公式得e3i=cos 3+isin 3=12+32i,其虚部为32,故选 b. 2.bc 复数 m+ni中,未指明 m,n 是实数,故 a错误;1+i2=1-1=0,是实数,所以 b 正确;若(a2-1)+(a2+3a+2)i(

10、ar)是纯虚数,则 a2-1=0且 a2+3a+20,解得 a=1,所以 c正确;若 z=i,则 z2=-11, 所以log2(2-3x-2)1,log2(2+ 2x + 1) = 0, 即2-3x-2 2,2+ 2x + 1 = 1,解得 x=-2. 7.解析 (1)当 x满足2-2x-15=0, + 3 0,即 x=5时,z是实数. (2)当 x满足2-2x-150, + 3 0,即 x-3 且 x5时,z是虚数. (3)当 x满足2-x-6+3= 0,2-2x-150,即 x=-2 或 x=3时,z是纯虚数. 8.d 由复数相等的充要条件,知 sin =cos , 解得 =k+4(kz)

11、. 9.bd 取 x=i,y=-i,则 x+yi=1+i,但不满足 x=y=1,故 a错误;ar,a2+10 恒成立,所以(a2+1)i(ar)是纯虚数,故 b 正确;取 z1=i,z2=1,则12+22=0,但 z1=z2=0不成立,故 c 错误;当 m=4时,复数 lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=lg 1+42i=42i,是纯虚数,故 d正确.故选 bd. 10.答案 2 解析 由题意知,x,y 都是实数,由 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0,得2-2x-3=0,92-6y + 1 = 0,解得 = 3, =13或 = 1, =13.所以有序实数对(x,y)表示的点有(3,13),(-1,13),共 2 个. 11.答案 -1,2 解析 由| |=ad-bc,得|3 + 2 i -1|=3x+2y+yi, 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因为 x,y 为实数,所以 + = 3 + 2, + 3 = , 12 / 12 即2 + = 0, + 3 = ,解得 = 1, = 2. 12.解析 设(x0,y0)是方程组的实数解, 由已知及复数相等的充要条件,得 0+32= 0,2(0+ 1) = 40,20+ a0= 9,-(40-0+ b)=-8, 由,得0=52,0= 4,代入,得