高中数学必修一第一章测评 (3)

1、1 / 5 第一章测评第一章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列关系不正确的是( ) a.0n b.13q c.0 d.2r 解析:由数集的表示,可知 a,b,d均正确,由于空集不含任何元素,故 c错误. 答案:c 2.命题“xr,nn+,使得 x+n2 020”的否定是( ) a.xr,nn+,使得 x+n2 020 b.xr,nn+,使得 x+n2 020 c.xr,nn+,有 x+n2020”的否定为“xr,nn+,有 x+n2020”. 答案:d 3.

2、设集合 a=a,b,b=a+1,5,若 ab=2,则 ab=( ) a.1,2 b.1,5 c.2,5 d.1,2,5 解析:ab=2,a+1=2,得 a=1,则 b=2, a=1,2,b=2,5,ab=1,2,5. 答案:d 4.下列不等式的解集是空集的是( ) a.x2-x+10 b.-2x2+x+10 c.2x-x25 d.x2+x2 解析:a 中不等式 x2-x+10的解集是 r;b,d中的判别式 0,所以有解;由于 2x-x25 等价于 x2-2x+50,而其 =4-20bc,且 a+b+c=0,则它的图象可能是( ) 解析:abc,且 a+b+c=0,a0,cb”是“(+2)2ab

3、”成立的( ) a.充分条件,但不是必要条件 b.必要条件,但不是充分条件 c.充要条件 2 / 5 d.既不充分也不必要条件 解析:由(+2)2ab,得2+2+24ab,即 a2-2ab+b20,即(a-b)20,则 ab,不能推出 ab,而 ab时,由上述过程可知,有(+2)2ab,故“ab”是“(+2)2ab”成立的充分条件,但不是必要条件. 答案:a 8.不等式 ax2+5x+c0的解集为 x|13 0 的解集为 x|13 12,所以方程 ax2+5x+c=0的两个实数根为x1=12,x2=13,且 a0. 所以有 12+13= -5,1213=, 0”是假命题,则实数 a的取值范围是

4、( ) a.(4,+) b.(0,4 c.(-,4 d.0,4) 解析:命题“xr,有 ax2+4x+10恒成立”是假命题, 命题“xr,使 ax2+4x+10”是真命题, a0,或 0, = 16-4 0,解得 a0,或 012,b0,且 a+b=2,则12-1+2的最小值为 ( ) a.3+22 b.6 c.9 d.3 解析:a12,b0,a+b=2,2a-1+2b=3, 则12-1+2=13(2a-1+2b)(12-1+2) =135 +22-1+2(2-1) 13(5 + 2 22-12-1)=3, 当且仅当 b=2a-1=1,即 a=1,b=1时取等号. 答案:d 3 / 5 12.

5、用 c(a)表示非空集合 a中元素的个数,定义 a*b=()-(),() (),()-(),() 5或 x-1,t=x|axa+8,且 st=r,则实数 a的取值范围是 . 解析:在数轴上表示出集合 s,t,如图. 由图可知,要使 st=r,需满足 5,解得-3a-1. 答案:-3a0)个单位长度,得到一元二次函数 y=x2-3x+2的图象,则 a的值为 . 解析:将函数 y=x2+x 的图象向右平移 a(a0)个单位长度后,对应函数的解析式为 y=(x-a)2+(x-a)=x2-(2a-1)x+a2-a,由题意得 x2-(2a-1)x+a2-a=x2-3x+2,故2-1 = 3,2- = 2

6、,解得 a=2. 答案:2 15.有外表一样,质量不同的四个小球,它们的质量分别是 a,b,c,d,已知 a+b=c+d,a+db+c,a+cb+c,所以 2a2c,即 ac. 故 bd.因为 a+c0,所以 abac. 答案:dbac 16.已知关于 x的一元二次函数 y=ax2-2x+c的值域为0,+),则9+1的最小值为 . 解析:由关于 x 的一元二次函数 y=ax2-2x+c的值域为0,+),可得 a0,且判别式 =4-4ac=0,所以ac=1,且 a0,c0,可得9+129=2 3=6,当且仅当9=1,即 c=13,a=3 时,等号成立. 答案:6 三、解答题(本大题共 6 小题,

7、共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知集合 a=x|x2-4x-50,b=x|2axa+2. (1)若 a=-1,求 ab和 ab; (2)若 ab=b,求实数 a的取值范围. 解:(1)集合 a=x|x2-4x-50=x|x-1,或 x5,当 a=-1 时,b=x|-2x1; ab=x|-2x-1,ab=x|x1,或 x5; (2)ab=b,ba. 若 b=,则 2aa+2,解得 a2; 若 b,则2 + 2, + 2 -1,或 2 5,解得 a-3. 综上,实数 a 的取值范围是 a2,或 a-3. 18.(12分)已知一元二次函数 f(x)=x2-4x

8、. 4 / 5 (1)若 f(x)在区间2a-1,+)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)当 x1,7时,求 f(x)的值域. 解:(1)函数 f(x)=x2-4x的图象的对称轴为直线 x=2, f(x)在区间2a-1,+)上单调递增, 2a-12,解得 a32. 故所求实数 a的取值范围是 a32. (2)函数 f(x)的图象为开口向上的抛物线,且对称轴为直线 x=2,结合图象(图略)知,在 x1,7上,当x=2 时,f(x)取得最小值,且 f(x)min=22-4 2=-4;当 x=7时,f(x)取得最大值,且 f(x)max=72-4 7=21. 函数 f(x)的值域为-4,21

9、. 19.(12分)已知 a0,b0,a+b=2. (1)求1+4的最小值; (2)求证:(+)+1. (1)解:a+b=2,且 a0,b0, 1+4=12+4(+) =12 5+412 5+24=92, 当且仅当 + = 2,=4,即 a=23,b=43时等号成立. 故1+4的最小值为92. (2)证明:a0,b0,a+b=2, (+)+=+2 ab+2+22=1,当且仅当 a=b=1 时等号成立. 20.(12分)已知关于 x的不等式-52-0 的解集为 m. (1)若 3m,且 5m,求实数 a的取值范围; (2)当 a=4时,求集合 m. 解:(1)由 3m,知3-59-0,解得 a9

10、; 若 5m,则5-525-0,解得 a25. 则由 5m,知 1a25. 因此所求 a 的取值范围是 1a53,或 9a25. (2)当 a=4时,有4-52-40. 4-52-4 0,2-4 0,或4-5 0 54,-2 2,或 54, 2 54x2,或 x-2. 故 m=| -2,或54 2. 21.(12分)求 ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件. 解:(1)当 a=0 时,原方程变为 2x+1=0,即 x=-12,符合要求. (2)当 a0 时,ax2+2x+1=0为关于 x的一元二次方程,它有实根的充要条件是 0,即 4-4a0,得 a1. 设方程 ax2+2x+1=

11、0的两个实数根分别为 x1,x2,则 方程 ax2+2x+1=0有一个负实数根的充要条件是 0,12 0,即 1,1 0,a0. 方程 ax2+2x+1=0有两个负实数根的充要条件是 0,1+ 2 0, 5 / 5 即 1,-2 0, 0a1. 综上所述,ax2+2x+1=0 至少有一个负实数根的充要条件为 a1. 22.(12分)某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆摩托车投入成本增加的比例为 x(0 x1),则出厂价相应提高的比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本) 年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y与投入成本增加的比例 x的关系式. (2)为使本年度的年利