高中数学必修一4.1　一元二次函数

1、1 / 3 4.1 一元二次函数 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 一、a组 1.一元二次函数 y=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1对称,则( ) a.m=-2 b.m=2 c.m=-1 d.m=1 解析:函数 y=x2+mx+1的图象的对称轴为直线 x=-2,所以-2=1,即 m=-2. 答案:a 2.一元二次函数 y=-x2+4x+t 的图象的顶点在 x轴上,则 t的值是( ) a.-4 b.4 c.-2 d.2 解析:由函数的图象顶点在 x 轴上,可知 =16+4t=0,得 t=-4. 答案:a 3.函数 y=2x2-mx+3,当 x-2,+)时,函数值 y 随自变量 x的增大而增

2、大,当 x(-,-2时,函数值 y 随自变量 x的增大而减小,则 m等于( ) a.-4 b.-8 c.8 d.无法确定 解析:由题意,得函数的图象的对称轴为直线 x=-2,即4=-2,得 m=-8. 答案:b 4.已知函数 y=-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实数 m 的取值范围是( ) a.(-,-1) b.(-1,2 c.-1,2 d.2,5) 解析:如图,一元二次函数的图象的对称轴为直线 x=2,且函数在 x=2 处取得最大值,即 ymax=-4+4 2=4,又当 x=5 时,ymin=-5,由一元二次函数图象的对称性可知,x=-1时,y=-5,所以要使 xm,5时的值域是-

3、5,4,需满足 m-1,2. 答案:c 5.函数 y=x2+m 的图象向下平移 2 个单位长度,得函数 y=x2-1 的图象,则实数 m= . 解析:由题意,可知 y=x2-1的图象向上平移 2个单位长度,得函数 y=x2+1的图象,即函数 y=x2+m的图象,所以 m=1. 答案:1 6.一元二次函数 y=2x2-6x+1 在区间-1,1上的最小值是 ,最大值是 . 解析:由题知,函数 y=2x2-6x+1 的图象的对称轴为直线 x=32,图象开口向上, 函数在区间-1,1上单调递减, 当 x=1 时,函数取最小值,即 ymin=2-6+1=-3;当 x=-1时,函数取最大值,即 ymax=

4、2 (-1)2-6 (-1)+1=9. 答案:-3 9 7.已知二次函数的图象经过点(4,3),在 x 轴上截得的线段长为 2,对称轴是 x=2,求此函数的解析式. 解:函数的图象的对称轴为直线 x=2,且函数图象被 x 轴截得的线段长为 2, 函数图象与 x 轴交点的横坐标为 1 和 3. 则可设函数的解析式为 y=a(x-1)(x-3)(a0). 又函数的图象过点(4,3), 有(4-1) (4-3)a=3,即 3a=3,得 a=1. 2 / 3 故所求函数的解析式为 y=(x-1)(x-3),即 y=x2-4x+3. 8.已知抛物线 y=ax2+6x-8与一次函数 y=-3x的图象相交于

5、点 a(1,m). (1)求抛物线的解析式; (2)(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到 y=ax2的图象? 解:(1)点 a(1,m)在一次函数 y=-3x的图象上, m=-3 1=-3. 把 x=1,y=-3 代入 y=ax2+6x-8,得 a+6-8=-3,解得 a=-1. 抛物线的解析式是 y=-x2+6x-8. (2)由(1)知,y=ax2=-x2. y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1, 把抛物线 y=-x2+6x-8的图象向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度即可得到 y=-x2的图象. 二、b 组 1.已知一元二次函数 y=x2-6x+8,x1,a,且在

6、x=a 时取最小值,则实数 a的取值范围是( ) a.(1,6 b.(1,3 c.(1,4 d.(1,5 解析:函数的图象的对称轴为直线 x=3,又一元二次函数在 x=a时取最小值,结合图象(图略)可得1a3, a的取值范围是(1,3. 答案:b 2.函数 y=-x2-2ax(0 x1)的最大值是 a2,则实数 a的取值范围是( ) a.0,1 b.0,2 c.-2,0 d.-1,0 解析:y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2. 函数在区间0,1上的最大值是 a2, 0-a1,即-1a0. 答案:d 3.函数 y=(m-1)x2+2(m+1)x-1 的图象与 x轴只有一个交点,则实数 m的

7、取值集合为 . 解析:当 m=1时,y=4x-1,其图象和 x 轴只有一个交点(14,0),当 m1 时,依题意,有 =4(m+1)2+4(m-1)=0,即 m2+3m=0,解得 m=-3,或 m=0,所以实数 m的取值集合为-3,0,1. 答案:-3,0,1 4.设函数 y=x2+bx+c,若函数的图象经过点(-4,c),(-2,-2),则函数的解析式为 . 解析:由已知得(-4)2-4 + = ,(-2)2-2 + = -2,解得 b=4,c=2. 所以函数的解析式为 y=x2+4x+2. 答案:y=x2+4x+2 5.已知一元二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如图所示,则关于 x

8、 的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为 . 解析:由题图知,抛物线的对称轴为直线 x=1,与 x轴的一个交点坐标是(3,0),所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是(-1,0). 所以关于 x 的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为 x1=-1,x2=3. 答案:x1=-1,x2=3 6.已知二次函数 y1=f(x)与 y2=g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同,且 y2=g(x)=-2x2-x-2,y1=f(x)的图象的对称轴为直线 x=-1,且过点(0,6). (1)求函数 y1=f(x)的解析式; (2)求函数 y1=f(x)在区间-2,3上的最大值和最小值. 3 /

9、 3 解:(1)由题意,设 y1=f(x)=-2x2+bx+c, y1=f(x)的图象的对称轴为直线 x=-1,且过点(0,6),-2(-2)= -1, = 6,解得 = -4, = 6, y1=f(x)=-2x2-4x+6. (2)y1=f(x)=-2(x+1)2+8,x-2,3, x=-1时,y1取最大值 8,x=3 时,y1取最小值-24. 7.某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为 0.5 万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为 5百台.已知这种电器的销售收入(r)与销售量(t)的关系可用抛物线段表示,如图. (注:年产量与销售量的单位:百台,纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到 1台和0.01万元) (1)写出如图的销售收入(r)与销售量(t)之间的函数关系式; (2)认定销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与年产量的函数关系式,并求年产量为多少时纯收益最大? 解:(1)由题图可设 r=a(t-5)2+252,又 t=0时,r=