高中数学必修一 第4章 4.5 4.5.1　函数的零点与方程的解

1、1 / 7 4.5 函数的应用函数的应用(二二) 4.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点) 2会求函数的零点(重点) 3掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数(难点) 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养 2借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 1函数的零点 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0的实数 x叫做函数 yf(x)的零点 思考 1：函数的零点是函数与 x轴的交点吗？ 提示：不是函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与 x轴交点的横坐标 2方

2、程、函数、函数图象之间的关系 方程 f(x)0有实数根函数 yf(x)的图象与 x轴有交点函数 yf(x)有零点 3函数零点存在定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c也就是方程 f(x)0的解 思考 2：该定理具备哪些条件？ 提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a) f(b)0. 2 / 7 1下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) a b c d d 结合函数零点的定义可知选项 d没有零点 2函数

3、 y2x1的零点是( ) a.12 b.12，0 c.0，12 d2 a 由 2x10得 x12. 3函数 f(x)3x4的零点所在区间为( ) a(0,1) b(1,0) c(2,3) d(1,2) d 由 f(1)1130，f(0)30，f(1)10，f(3)230，得 f(x)的零点所在区间为(1,2) 4二次函数 yax2bxc中，a c0 得二次函数 yax2bxc有两个零点 求函数的零点 【例 1】 (1)求函数 f(x) x22x3，x0，2ln x，x0的零点； (2)已知函数 f(x)axb(a0)的零点为 3，求函数 g(x)bx2ax的零点 解 (1)当 x0 时，令 x

4、22x30，解得 x3； 当 x0时，令2ln x0，解得 xe2. 所以函数 f(x) x22x3，x02ln x，x0的零点为3和 e2. (2)由已知得 f(3)0即 3ab0，即 b3a. 3 / 7 故 g(x)3ax2axax(3x1) 令 g(x)0，即 ax(3x1)0， 解得 x0或 x13. 所以函数 g(x)的零点为 0 和13. 函数零点的求法 (1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根. (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)0，可以将它与函数 yf(x)的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求

5、出；否则，请说明理由 (1)f(x)x27x6； (2)f(x)1log2(x3)； (3)f(x)2x13； (4)f(x)x24x12x2. 解 (1)解方程 f(x)x27x60， 得 x1或 x6， 所以函数的零点是1，6. (2)解方程 f(x)1log2(x3)0，得 x1，所以函数的零点是1. (3)解方程 f(x)2x130，得 xlog26，所以函数的零点是 log26. (4)解方程 f(x)x24x12x20，得 x6，所以函数的零点为6. 判断函数零点所在的区间 【例 2】 (1)函数 f(x)ln(x1)2x的零点所在的大致区间是( ) a(3,4) b(2，e) c

6、(1,2) d(0,1) 4 / 7 (2)根据表格内的数据，可以断定方程 exx30 的一个根所在区间是( ) x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 x3 2 3 4 5 6 a.(1,0) b(0,1) c(1,2) d(2,3) (1)c (2)c (1)因为 f(1)ln 2210，且函数 f(x)在(0，)上单调递增， 所以函数的零点所在区间为(1,2)故选 c. (2)构造函数 f(x)exx3，由上表可得 f(1)0.3721.630， f(0)1320， f(1)2.7241.280， f(3)20.08614.080， f(1) f(2)

7、0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选 c. 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 2若函数 f(x)xax(ar)在区间(1,2)上有零点，则 a的值可能是( ) a2 b0 c1 d3 a f(x)xax(ar)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当 a2时，f(1)1210.故 f(x)在区间(1,2)上有零5 / 7 点，同理，其他选项不符合，选 a.

8、 函数零点的个数 探究问题 1方程 f(x)a的根的个数与函数 yf(x)及 ya的图象交点个数什么关系？ 提示：相等 2若函数 g(x)f(x)a有零点，如何求实数 a的范围？ 提示：法一：g(x)f(x)a有零点可知方程 f(x)a0有解，即 af(x)有解 故 a的范围为 yf(x)的值域 法二：g(x)f(x)a 有零点，等价于函数 ya与函数 yf(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可 【例 3】 已知 0a1，则函数 ya|x|logax|的零点的个数为( ) a1 b2 c3 d4 思路点拨 构造函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|lo

9、gax|(0a1) 画出f(x)与g(x)的图象观察图象得零点的个数 b 函数 ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程 a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数 画出函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为 2，从而函数 ya|x|logax|的零点的个数为 2. 1把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数

10、 6 / 7 解 由 2x|logax|10得|logax|12x，作出 y12x及 y|logax|(0a1)的图象如图所示 由图可知，两函数的图象有两个交点， 所以函数 y2x|logax|1 有两个零点 2若把本例条件换成“函数 f(x)|2x2|b 有两个零点”，求实数 b 的取值范围 解 由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中分别画出 y|2x2|与 yb的图象，如图所示 则当 0b0，则 f(x)在a，b内无零点( ) (3)若 f(x)在a，b上为单调函数，且 f(a) f(b)0，则 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点( ) (4)若 f(x)

11、在(a，b)内有且只有一个零点，则 f(a) f(b)0.( ) 7 / 7 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数 f(x)2x3的零点所在的区间是( ) a(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4) b f(1)2310， f(1) f(2)0，即 f(x)的零点所在的区间为(1,2) 3对于函数 f(x)，若 f(1) f(3)0，则( ) a方程 f(x)0一定有实数解 b方程 f(x)0 一定无实数解 c方程 f(x)0 一定有两实根 d方程 f(x)0可能无实数解 d 函数 f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管 f(1) f(3)0，但方程f(x)0 在(1,3)上可能