选择性必修第一册第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

1、1 / 10 21.2 两条直线平行和垂直的判定两条直线平行和垂直的判定 学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题 知识点一 两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 1290 1290 对应关系 l1l2k1k2 l1l2两直线的斜率都不存在 图示 知识点二 两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1l2(两直线的斜率都存在)k1k21 l1的斜率不存在，l2的斜率为 0l1l2 思考 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 答案 不是，垂直于 x

2、轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在 1若 l1l2，则 k1k2.( ) 2若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直( ) 3若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行( ) 一、两条直线平行的判定 例 1 已知四边形 abcd 的四个顶点分别为 a(0,0)，b(2，1)，c(4,2)，d(2,3)，试判断四2 / 10 边形 abcd是否为平行四边形，并给出证明 解 四边形 abcd是平行四边形，证明如下： ab 边所在直线的斜率 kab12，cd边所在直线的斜率 kcd12， bc 边所在直线的斜率 kbc32，da 边所在直线的斜率 k

3、da32. 因为 kabkcd，kbckda，所以 abcd，bcda. 因此四边形 abcd是平行四边形 反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法 跟踪训练 1 (1)已知 l1经过点 a(3,2)，b(3,10)，l2经过点 m(5，2)，n(5,5)，判断直线l1与 l2是否平行 解 l1与 l2都与 x轴垂直，且 l1与 l2不重合， l1l2. (2)试确定 m 的值，使过点 a(m1,0)，b(5，m)的直线与过点 c(4,3)，d(0,5)的直线平行 解 由题意直线 cd 的斜率存在，则与其平行的直线 ab 的斜率也存在kabm05(m1)m6m，kcd530(4)12，由于

4、 abcd，所以 kabkcd，即m6m12，得 m2.经验证 m2 时直线 ab 的斜率存在，所以 m2. 二、两条直线垂直的判定 例 2 已知abc 的顶点为 a(5，1)，b(1,1)，c(2，m)，若abc 为直角三角形，求 m 的值 解 若a 为直角，则 acab，kac kab1， 即m12511151，解得 m7； 若b 为直角，则 abbc，kab kbc1， 即1115m1211，解得 m3； 若c为直角，则 acbc，kac kbc1， 3 / 10 即m125m1211，解得 m 2. 综上所述，m7或 m3 或 m 2. 反思感悟 判断两条直线是否垂直 在这两条直线都有

5、斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于1 即可，但应注意有一条直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直 跟踪训练 2 判断下列各题中 l1与 l2是否垂直 (1)l1的斜率为10，l2经过点 a(10,2)，b(20,3)； (2)l1经过点 a(3,4)，b(3,10)，l2经过点 m(10,40)，n(10,40) 解 (1)k110，k2322010110， k1k21，l1l2. (2)l1的倾斜角为 90 ，则 l1x轴； k2404010(10)0，则 l2x 轴， l1l2. 垂直与平行的综合应用 典例 已知 a(4,3)，b(2,5)，c(6,

6、3)，d(3,0)四点，若顺次连接 a，b，c，d 四点，试判定图形 abcd的形状 解 由题意知 a，b，c，d四点在坐标平面内的位置，如图所示， 由斜率公式可得 kab532(4)13， kcd033613，kad033(4)3， kbc356212. 所以 kabkcd，由图可知 ab 与 cd 不重合， 所以 abcd.由 kadkbc， 所以 ad 与 bc不平行 又因为 kab kad13(3)1， 所以 abad， 4 / 10 故四边形 abcd为直角梯形 素养提升 用代数运算解决几何图形问题 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然

7、后利用直线的斜率关系进行判定 (2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查 1若过点 p(3,2m)和点 q(m，2)的直线与过点 m(2，1)和点 n(3,4)的直线平行，则 m的值是( ) a.13 b13 c2 d2 答案 b 解析 由 kpqkmn，即2m23(m)4(1)32，得 m13. 经检验知，m13符合题意 2已知直线 l1的斜率为 a，l2l1，则 l2的斜率为( ) a.1a b1a ca d1a或不存在 答案 d 解析 当 a0 时，由 k1 k21 知，k21a， 当 a0时，l2的斜率不存在 3已知两条直线 l1，l2的斜率是方程 3x2m

8、x30(mr)的两个根，则 l1与 l2的位置关系是( ) a平行 b垂直 c可能重合 d无法确定 答案 b 解析 由方程 3x2mx30，知 m243(3)m2360恒成立 故方程有两相异实根，即 l1与 l2的斜率 k1，k2均存在 设两根为 x1，x2，则 k1k2x1x21，所以 l1l2，故选 b. 4(多选)若 l1与 l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是 1，2，斜率分别为 k1，k2，则下列命题正确的是( ) a若 l1l2，则斜率 k1k2 5 / 10 b若 k1k2，则 l1l2 c若 l1l2，则倾斜角 12 d若 12，则 l1l2 答案 abcd 5若不同两点

9、 p，q 的坐标分别为(a，b)，(3b，3a)，则线段 pq 的垂直平分线的斜率为_ 答案 1 解析 若 a3b，则 p，q两点重合，不合题意故 pq斜率存在由 kpq3ab3ba1， 得线段 pq的垂直平分线的斜率为1. 1知识清单： 两直线平行或垂直的条件 2方法归纳：分类讨论，数形结合 3常见误区： 研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为 0或斜率不存在的情况 1过点 a(2,5)和点 b(4,5)的直线与直线 y3 的位置关系是( ) a相交 b平行 c重合 d以上都不对 答案 b 解析 斜率都为 0且不重合，所以平行 2已知过 a(2，m)和 b(m，4)的直线与斜率为2的直线平

10、行，则 m 的值是( ) a8 b0 c2 d10 答案 a 解析 由题意可知，kab4mm22，所以 m8. 3直线 l1的斜率为 2，l1l2，直线 l2过点(1,1)且与 y轴交于点 p，则 p 点坐标为( ) a(3,0) b(3,0) c(0，3) d(0,3) 答案 d 解析 设 p(0，y)，因为 l1l2，所以y1012，所以 y3.即 p(0,3) 6 / 10 4若直线 l 经过点(a2，1)和(a2,1)，且与斜率为23的直线垂直，则实数 a 的值为( ) a23 b32 c.23 d.32 答案 a 解析 易知 a0不符合题意 当 a0时，直线 l的斜率 k2a2a21

11、a， 由1a231，得 a23，故选 a. 5(多选)设点 p(4,2)，q(6，4)，r(12,6)，s(2,12)，下面四个结论正确的是( ) apqsr bpqps cpsqs dprqs 答案 abd 解析 由斜率公式知， kpq426435，ksr12621235，kps1222453，kqs124264，kpr6212414， pqsr，pqps，prqs.而 kpskqs， ps 与 qs 不平行，故 abd正确 6若经过点(m，3)和(2，m)的直线 l与斜率为4 的直线互相垂直，则 m的值是_ 答案 145 解析 由题意可知 kl14，又因为 klm32m， 所以m32m14

12、，解得 m145. 7直线 l1，l2的斜率 k1，k2是关于 k 的方程 2k24km0 的两根，若 l1l2，则 m_，若 l1l2，则 m_. 答案 2 2 解析 由一元二次方程根与系数的关系得 k1 k2m2， 若 l1l2，则m21，m2. 若 l1l2，则 k1k2，即关于 k的二次方程 2k24km0 有两个相等的实根， (4)242m0，m2. 8已知点 a(3，2)，b(6,1)，点 p 在 y 轴上，且bap90 ，则点 p 的坐标是_ 7 / 10 答案 (0，11) 解析 设 p(0，y)，由bap90 知， kab kap1(2)6(3)y23y291， 解得 y11

13、. 所以点 p 的坐标是(0，11) 9当 m为何值时，过两点 a(1,1)，b(2m21，m2)的直线： (1)倾斜角为 135 ； (2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直； (3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行 解 (1)由 kabm32m2tan 135 1， 解得 m32或 m1. (2)由 kabm32m2，且72033， 则m32m213，解得 m32或 m3. (3)令m32m293422，解得 m34或 m1. 经检验，当 m34或 m1时，均符合题意 10已知abcd中，a(1,2)，b(5,0)，c(3,4) (1)求点 d的坐标； (2)试判定abcd是

14、否为菱形？ 解 (1)设 d 点坐标为(a，b)，因为四边形 abcd 为平行四边形，所以 kabkcd，kadkbc， 所以 0251b4a3，b2a14035， 解得 a1，b6. 所以 d(1,6) (2)因为 kac42311，kbd60151， 所以 kac kbd1， 所以 acbd，所以abcd为菱形 11(多选)已知点 a(m，3)，b(2m，m4)，c(m1,2)，d(1，0)，且直线 ab 与直线 cd 平8 / 10 行，则 m 的值为( ) a1 b0 c1 d2 答案 bc 解析 当 m0时，直线 ab 与直线 cd的斜率均不存在且不重合，此时 abcd. 当 m0

15、时，kab(m4)32mm，kcd20(m1)1， 则 kabkcd，即m1m2m，得 m1，m0 或 1. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以 o(0,0)，a(1,1)，b(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( ) a(3,1) b(4,1) c(2,1) d(2，1) 答案 a 解析 如图所示， 因为经过三点可构造三个平行四边形，即aobc1，aboc2，aoc3b. 根据平行四边形的性质，可知 b，c，d分别是点 c1，c2，c3的坐标，故选 a. 13若点 p(a，b)与 q(b1，a1)关于直线 l对称，则 l的倾斜角为( ) a135 b4

16、5 c30 d60 答案 b 解析 若 ab1，则 p，q 重合，不合题意，故直线 pq 斜率存在kpqa1bb1a1，kpq kl1， l的斜率为 1，倾斜角为 45 . 14下列直线 l1与直线 l2(l1与 l2不重合)平行的有_(填序号) l1经过点 a(2,1)，b(3,5)，l2经过点 c(3，3)，d(8，7)； l1的斜率为 2，l2经过点 a(1,1)，b(2,2)； l1的倾斜角为 60 ，l2经过点 m(1， 3)，n(2，2 3)； l1经过点 e(2,6)，f(2,3)，l2经过点 p(3，3)，q(3，6) 9 / 10 答案 解析 kab513245，kcd738

17、345， kabkcd，l1l2. 2lk212111lk2，l1不平行于 l2. 1lktan 60 3，2lk32 312 3， 12llkk，l1l2. l1，l2的斜率均不存在，l1l2. 15直线 l 的倾斜角为 30 ，点 p(2,1)在直线 l 上，直线 l 绕点 p(2,1)按逆时针方向旋转 30后到达直线 l1的位置，此时直线 l1与 l2平行，且 l2是线段 ab 的垂直平分线，其中 a(1，m1)，b(m，2)，则 m_. 答案 4 3 解析 如图，直线 l1的倾斜角为 30 30 60 ， 直线 l1的斜率 k1tan 60 3. 由 l1l2知，直线 l2的斜率 k2k1 3. 直线 ab的斜率存在，且 kab1k233. m121mm31m33， 解得 m4 3. 16已知abc