选择性必修第一册第二章 2.2.1 直线的点斜式方程

1、1 / 9 2.2 直线的方程直线的方程 22.1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题 知识点 直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点 p(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和在 y轴上的截距 b 图示 方程 yy0k(xx0) ykxb 截距 直线 l与 y轴交点(0，b)的纵坐标 b叫做直线 l在 y 轴上的截距 思考 1 经过点 p0(x0，y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？ 答案 不能用

2、点斜式表示，过点 p0且斜率不存在的直线为 xx0. 思考 2 直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2平行、垂直的条件？ 答案 (1)l1l2k1k2且 b1b2， (2)l1l2k1k21. 思考 3 直线在 y轴上的截距是距离吗？ 答案 不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值 1直线的点斜式方程也可写成yy0 xx0k( ) 2y轴所在直线方程为 x0.( ) 3直线 y3k(x1)恒过定点(1,3)( ) 4直线 y2x3在 y轴上的截距为 3.( ) 2 / 9 一、求直线的点斜式方程 例 1 已知在第一象限的abc 中，a(1,1)，b(5,1)，a60

3、，b45 ，求： (1)ab边所在直线的方程； (2)ac 边与 bc边所在直线的方程 解 (1)如图所示， 因为 a(1,1)，b(5,1)，所以 abx轴， 所以 ab 边所在直线的方程为 y1. (2)因为a60 ， 所以 kactan 60 3， 所以直线 ac 的方程为 y1 3(x1) 因为b45 ， 所以 kbctan 135 1， 所以直线 bc 的方程为 y1(x5) 反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率 k写出方程 yy0k(xx0) (2)点斜式方程 yy0k (xx0)可表示过点 p(x0，y0)的所有直线

4、，但 xx0除外 跟踪训练 1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点 p(4，2)，倾斜角为 150 ； (2)过两点 a(1,3)，b(2,5) 解 (1)150 ，ktan 150 33， 直线的点斜式方程为 y233(x4) (2)k53212， 直线的点斜式方程为 y32(x1) 二、直线的斜截式方程 例 2 已知直线 l1的方程为 y2x3，l2的方程为 y4x2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y3 / 9 轴上的截距相同，求直线 l的方程 解 由斜截式方程知，直线 l1的斜率 k12， 又因为 ll1，所以 kl2. 由题意知，l2在 y轴上的截距为2， 所以直线

5、l在 y轴上的截距 b2. 由斜截式可得直线 l的方程为 y2x2. 延伸探究 本例中若将“直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相等”改为“直线 l 与 l1垂直且与 l2在y 轴上的截距互为相反数”，求 l的方程 解 l1l，直线 l1：y2x3，l的斜率为12. l与 l2在 y轴上的截距互为相反数， 直线 l2：y4x2， l在 y 轴上的截距为 2. 直线 l的方程为 y12x2. 反思感悟 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在 (2)直线的斜截式方程 ykxb 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可 跟踪训练 2 根据条件

6、写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150 ，在 y轴上的截距是2； (3)倾斜角是直线 y 3x1 的倾斜角的14，且在 y轴上的截距是5. 解 (1)y2x5. (2)150 ，ktan 150 33，y33x2. (3)y 3x1 的倾斜角为 120 ， 所求直线的倾斜角为 120 1430 ， ktan 30 33，y33x5. 点斜式方程和斜截式方程的应用 典例 (1) 求证：不论 a 为何值，直线 yax3a2(ar)恒过定点； 4 / 9 (2)当 a为何值时，直线 l1：y(2a1)x3与直线 l2：y4x3 垂直？ (1)

7、证明 将直线方程变形为 y2a(x3)， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2) (2)解 由题意可知，1lk2a1，2lk4， l1l2，4(2a1)1，解得 a38. 故当 a38时，直线 l1：y(2a1)x3与直线 l2：y4x3 垂直 素养提升 (1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明 (2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直观想象和数学运算的核心素养 1下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( ) ax3 by5 c2yx dx4y1 答案 b 2方程 yk(x2)表示( ) a通过点(2,0

8、)的所有直线 b通过点(2,0)的所有直线 c通过点(2,0)且不垂直于 x轴的所有直线 d通过点(2,0)且除去 x轴的所有直线 答案 c 解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于 x 轴 3已知直线 l的方程为 y27494(x1)，则 l在 y轴上的截距为( ) a9 b9 c.274 d274 答案 b 解析 由 y27494(x1)，得 y94x9， l在 y 轴上的截距为9. 4已知直线的倾斜角为 60 ，在 y 轴上的截距为2，则此直线的方程为( ) ay 3x2 by 3x2 cy 3x2 dy 3x2 5 / 9 答案 d 解析 60 ，ktan 60

9、 3， 直线 l的方程为 y 3x2. 5直线 ykxb 通过第一、三、四象限，则有( ) ak0，b0 bk0，b0 ck0 dk0，b0，b0，b0，b0，矛盾；对于 b，由 l1得 a0，而由 l2得 a0，b0，矛盾；对于 c，由 l1得 a0，b0，而由 l2得 a0，矛盾；对于 d，由 l1得 a0，b0，而由 l2得 a0，b0.故选 d. 13直线 ykx2(kr)不过第三象限，则斜率 k的取值范围是_ 答案 (，0 解析 当 k0时，直线 y2不过第三象限； 当 k0时，直线过第三象限； 当 k0时，直线不过第三象限 14将直线 yx 31 绕其上面一点(1， 3)沿逆时针方

10、向旋转 15 ，所得到的直线的点斜式方程是_ 答案 y 3 3(x1) 解析 由 yx 31 得直线的斜率为 1，倾斜角为 45 . 沿逆时针方向旋转 15 后，倾斜角变为 60 ， 所求直线的斜率为 3. 又直线过点(1， 3)， 由直线的点斜式方程可得 y 3 3(x1) 15(多选)若 ac0，bc0，则直线 axbyc0 通过( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 答案 abd 解析 将 axbyc0化为斜截式为 yabxcb， ac0，bc0，ab0，k0，b0. 故直线通过第一、二、四象限 16直线 l过点(2,2)，且与 x轴和直线 yx 围成的三角形的面积为 2，求直线 l的方程 解 当直线 l的斜率不存在