选择性必修第一册第一章 章末检测试卷(一)

1、1 / 11 章末检测试卷章末检测试卷(一一) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分) 1在长方体 abcda1b1c1d1中，abbccc1d1c1等于( ) a.ad1 b.ac1 c.ad d.ab 答案 a 解析 abbccc1d1c1ac1c1d1ad1. 2若直线 l的方向向量为 a，平面 的法向量为 ，则能使 l的是( ) aa(1,0,0)，(2,0,0) ba(1,3,5)，(1,0,1) ca(0,2,1)，(1,0,1) da(1，1,3)，(0,3,1) 答案 d 解析 由 l，故 a，即 a 0，故选

2、 d. 3已知棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1的上底面 a1b1c1d1的中心为 o1，则ao1 ac的值为( ) a1 b0 c1 d2 答案 c 解析 由于ao1aa1a1o1aa112(a1b1a1d1)aa112(abad)，而acabad， 则ao1 acaa112(abad) (abad)12(abad)21. 4已知abc的三个顶点为 a(3,3,2)，b(4，3,7)，c(0,5,1)，则 bc边上的中线长为( ) a2 b3 c4 d5 答案 b 解析 设 bc 边的中点为 d， 则ad12(abac)(1，2,2)， 所以|ad| 1443. 5若向量 a(x

3、，4,5)，b(1，2,2)，且 a与 b的夹角的余弦值为26，则 x等于( ) 2 / 11 a3 b3 c11 d3或11 答案 a 解析 因为 a b(x，4,5) (1，2,2)x810 x2，且 a 与 b的夹角的余弦值为26， 所以26x2x24252 144，解得 x3或11(舍去)，故选 a. 6平面 的法向量 u(x，1，2)，平面 的法向量 1，y，12，已知 ，则 xy等于( ) a.154 b.174 c3 d.52 答案 a 解析 由题意知，u， 即 x，1y，212，解得 4，y14，x4， xy414154. 7已知平面 内两向量 a(1,1,1)，b(0,2，1

4、)且 cmanb(4，4,1)若 c 为平面 的法向量，则 m，n的值分别为( ) a1,2 b1，2 c1,2 d1，2 答案 a 解析 cmanb(4，4,1)(m，m，m)(0,2n，n)(4，4,1) (m4，m2n4，mn1)， 由 c 为平面 的法向量，得 c a0，c b0， 即 3mn10，m5n90，解得 m1，n2. 8.如图，四棱锥 pabcd 中，pb平面 abcd，底面 abcd 为直角梯形，adbc，abbc，abadpb3，点 e 在棱 pa 上，且 pe2ea，则平面 abe 与平面 bed 的夹角的余弦值为( ) 3 / 11 a.23 b.66 c.33 d

5、.63 答案 b 解析 如图，以 b 为坐标原点，分别以 bc，ba，bp 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 b(0,0,0)，a(0,3,0)，p(0,0,3)，d(3,3,0)，e(0,2,1)， be(0,2,1)，bd(3,3,0) 设平面 bed 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n be2yz0，n bd3x3y0，取 z1，得 n12，12，1 . 又平面 abe 的法向量为 m(1,0,0)， cosn，mm n|n|m|1262166. 平面 abe 与平面 bed 的夹角的余弦值为66. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共

6、20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 3分，有选错的得 0 分) 9已知空间三点 a(1,0,3)，b(1,1,4)，c(2，1,3)若apbc，且|ap| 14，则点 p 的坐标为( ) a(4，2,2) b(2,2,4) c(4,2，2) d(2，2,4) 答案 ab 解析 设ap(3，2，)又|ap| 14， (3)2(2)2()2 14，解得 1， 4 / 11 ap(3，2，1)或ap(3,2,1) 设点 p的坐标为(x，y，z)，则ap(x1，y，z3)， x13，y2，z31或 x13，y2，z31， 解得 x4，y2，z2或 x2，y2，z4. 故点 p的坐标为(4，2,

7、2)或(2,2,4) 10在三棱锥 abcd 中，da，db，dc 两两垂直，且 dbdc，e 为 bc的中点，则直线ae 和 bc( ) a垂直 b. 相交 c共面 d异面 答案 abc 解析 因为 e 为 bc 的中点，所以aededa12(dbdc)da， 因为在三棱锥 abcd 中，da，db，dc两两垂直，且 dbdc， 所以ae bc12(dbdc)da (dcdb) 12(dc2db2)0. 所以 ae 和 bc 垂直又 ae，bc 显然相交，故选 abc. 11若直线 l的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则( ) al bl cl dl与 相交

8、 答案 bd 解析 a(1,0,2)，n(2,0，4)， n2a，即 an，l. 12已知直线 l过点 p(1,0，1)且平行于向量 a(2,1,1)，平面 过直线 l与点 m(1,2,3)，则平面 的法向量可能是( ) 5 / 11 a(1，4,2) b.14，1，12 c.14，1，12 d(0，1,1) 答案 abc 解析 因为pm(0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平面 的一个法向量，则必须满足pm与法向量垂直，把选项代入验证，只有选项 d 不满足，故选 abc. 三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分) 13已知正方体 abcda1b1c1d1中，若

9、点 f 是侧面 cd1的中心，且afadmabnaa1，则 m_. 答案 12 解析 由于afaddfad12(dcdd1)ad12ab12aa1，所以 m12，n12. 14设平面 的法向量为 m(1,2，2)，平面 的法向量为 n(2，4，k)，若 ，则 k_. 答案 4 解析 由 得12242k，解得 k4. 15在空间直角坐标系中有直三棱柱 abca1b1c1，cacc12cb，则直线 bc1与直线ab1所成角的余弦值为_ 答案 55 解析 不妨设 cb1，则 b(0,0,1)，a(2,0,0)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1) bc1(0,2，1)，ab1(2,2,1) cos

10、 bc1，ab1bc1 ab1|bc1| |ab1|0415355. 16在棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1中，e 为 cc1的中点，p，q 是正方体表面上相异两点，满足 bpa1e，bqa1e.(1)若 p，q 均在平面 a1b1c1d1内，则 pq 与 bd 的位置关系是_；(2)|a1p|的最小值为_(本题第一空 2 分，第二空 3分) 答案 (1)平行 (2)3 24 解析 (1)以 d 为原点，以 da，dc，dd1 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示， 6 / 11 a1(1,0,1)，e0，1，12，b(1,1,0) ，因为 p，q均在平面 a

11、1b1c1d1内， 所以设 p(a，b，1)，q(m，n，1)， a1e1，1，12，bp(a1，b1,1)，bq(m1，n1,1) ， 因为 bpa1e , bqa1e ， 所以 bp a1e(a1)(b1)120，bq a1e(m1)(n1)120， 解得 ba12，nm12， pq(nb，nb，0)， bd(1，1,0) ，所以 pq与 bd的位置关系是平行 (2)由(1)可知：ba12， |a1p| (a1)2b2 (a1)2a122 2a2a54 2a14298， 当 a14时，|a1p|有最小值，最小值为3 24. 四解答题(本大题共 6小题，共 70 分) 17(10 分)已知

12、a(x，4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求： (1)a，b，c； (2)ac 与 bc夹角的余弦值 解 (1)因为 ab，所以x24y11， 7 / 11 解得 x2，y4， 则 a(2,4,1)，b(2，4，1) 又 bc，所以 b c0，即68z0， 解得 z2，于是 c(3，2,2) (2)由(1)得 ac(5,2,3)，bc(1，6,1)， 设 ac与 bc 的夹角为 ， 因为 cos 512338 38219. 所以 ac与 bc夹角的余弦值为219. 18(12 分)如图所示，在四棱锥 pabcd 中，pc平面 abcd，pc2，在四边形 abcd中，cd

13、ab，abcbcd90 ，ab4，cd1，点 m 在 pb 上，且 pb4pm，pbc30 ，求证：cm平面 pad. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系 cxyz， pbc30 ，pc2， bc2 3，pb4， d(1,0,0)，c(0,0,0)，a(4,2 3，0)，p(0，0,2)， pb4pm， pm1，m0，32，32， cm0，32，32，dp(1,0,2)，da(3,2 3，0)， 设平面 pad的一个法向量 n(x，y，z)，则 n dp0，n da0， 即 x2z0，3x2 3y0， 8 / 11 令 x1，解得 y32，z12，故 n1，32，12， 又cm n0，32，3

14、21，32，120， cmn，又 cm平面 pad， cm平面 pad. 19.(12 分)如图，正方形 adef 与梯形 abcd 所在的平面互相垂直，adcd，abcd，abad2，cd4，m为 ce 的中点 (1)求证：bm平面 adef； (2)求证：bc平面 bde. 证明 平面 adef平面 abcd，平面 adef平面 abcdad，aded，ed平面adef， ed平面 abcd. 以 d 为原点，da，dc，de分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 则 d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,4,0)，e(0,0,2)，f(2

15、,0,2) (1)m为 ec的中点，m(0,2,1)， 则bm(2,0,1)，ad(2,0,0)，af(0,0,2)， bmad12af，故bm，ad，af共面 又 bm平面 adef，bm平面 adef. (2)bc(2,2,0)，db(2,2,0)，de(0,0,2)， bc db440，bcdb. 又bc de0，bcde. 又 dedbd，bc平面 bde. 20(12 分)在三棱柱 abca1b1c1中，底面 abc 为正三角形，且侧棱 aa1底面 abc，且9 / 11 底面边长与侧棱长都等于 2，o，o1分别为 ac，a1c1的中点，求平面 ab1o1与平面 bc1o间的距离 解

16、 如图，连接 oo1， 根据题意，oo1底面 abc，则以 o 为原点，分别以 ob，oc，oo1所在的直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系 ao1oc1，obo1b1，ao1o1b1o1，oc1obo， 平面 ab1o1平面 bc1o. 平面 ab1o1与平面 bc1o间的距离即为点 o1到平面 bc1o 的距离 o(0,0,0)，b( 3，0,0)，c1(0,1,2)，o1(0,0,2)， ob( 3，0,0)，oc1(0,1,2)，oo1(0,0,2)， 设 n(x，y，z)为平面 bc1o的法向量，则 n ob0，n oc10， 即 x0，y2z0， 可取 n(0,2，1) 点 o1

17、到平面 bc1o的距离记为 d， 则 d|n oo1|n|252 55. 平面 ab1o1与平面 bc1o间的距离为2 55. 21(12 分)如图，在空间直角坐标系 dxyz 中，四棱柱 abcd a1b1c1d1为长方体，aa1ab2ad，点 e，f分别为 c1d1，a1b 的中点，求平面 b1a1b 与平面 a1be夹角的余弦值 解 设 ad1，则 a1(1,0,2)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)，d1(0,0,2)， 因为 e，f分别为 c1d1，a1b 的中点， 10 / 11 所以 e(0,1,2)，f(1,1,1)， 所以a1e(1,1,0)，a1b(0,2，2)， 设

18、m(x，y，z)是平面 a1be 的法向量， 则 a1e m0，a1b m0， 所以 xy0，2y2z0，所以 yx，yz， 取 x1，则 yz1， 所以平面 a1be 的一个法向量为 m(1,1,1) 又 da平面 a1b1b， 所以da(1,0,0)是平面 a1b1b的一个法向量， 所以 cos m，dam da|m|da|1333， 所以平面 b1 a1b 与平面 a1be 夹角的余弦值为33. 22(12 分)如图所示， 已知几何体 efgabcd，其中四边形 abcd，cdgf，adge 均为正方形，且边长为 1，点 m 在边 dg上 (1)求证：bmef； (2)是否存在点 m，使得直线