高等数学课件：10.4.1曲面及其方程

1、10.4.1 10.4.1 曲面及其方程曲面及其方程面看作为点的几何轨迹面看作为点的几何轨迹的一个曲的一个曲实际上，可以把空间中实际上，可以把空间中例例如如),(),(0000zyxMRzyxM的的动动点点保保持持等等距距离离考考虑虑与与定定点点的轨迹的轨迹从几何图形上看，从几何图形上看，的的球球面面为为中中心心，半半径径为为应应是是以以RM0事事实实上上，应满足应满足动点动点),(zyxM，由由RMM |0得得到到2202020)()()(Rzzyyxx )1(说明：说明：标满足的方程，标满足的方程，式就是该球面上点的坐式就是该球面上点的坐)1(称为这个球面的方程称为这个球面的方程曲面方程的

2、概念曲面方程的概念1定义定义与三元方程与三元方程如果曲面如果曲面 S0),( zyxF)2(有如下关系有如下关系；上任一点的坐标都满足上任一点的坐标都满足曲面曲面0),()1( zyxFS，上的点的坐标都不满足上的点的坐标都不满足不在曲面不在曲面0),()2( zyxFS为为则称方程则称方程0),( zyxF的方程，的方程，曲面曲面 S称为称为而曲面而曲面 S的图形的图形方程方程0),( zyxF问题：问题：征，求曲面的方程征，求曲面的方程已知曲面上点的几何特已知曲面上点的几何特)1(曲曲面面的的几几何何形形状状已已知知曲曲面面的的方方程程，研研究究)2(2定义定义周所成的曲面周所成的曲面上的

3、一条定直线旋转一上的一条定直线旋转一一条平面曲线绕其平面一条平面曲线绕其平面叫叫做做 旋转曲面，旋转曲面，面的面的这条定直线叫做旋转曲这条定直线叫做旋转曲轴轴，坐标面上一条曲线坐标面上一条曲线考察考察Cyoz其方程为：其方程为：. 0),( zyf轴旋转一周就得到轴旋转一周就得到绕绕将曲线将曲线zC轴为轴的旋转曲面轴为轴的旋转曲面一个以一个以 zxyzC), 0(111zyMM求求此此旋旋转转曲曲面面的的方方程程一一. . 旋转曲面旋转曲面曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z轴轴.旋转旋转的方程的方程曲线

4、曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)旋转旋转的方程的方程.x S曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0 旋转旋转的方程的方程.y zo S注注轴旋转，轴旋转，绕绕若曲线若曲线yzyfC0),(:)1(

5、 则旋转曲面方程为则旋转曲面方程为0),(22 zxyf轴旋转，轴旋转，绕绕若曲线若曲线zzxfC0),(:)2( 则则有有0),(22 zyxf轴旋转一周，轴旋转一周，轴与轴与分别绕分别绕面上的椭圆面上的椭圆将将例例yxbyaxxoy112222 求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程解解xyz面方程面方程轴旋转一周所得旋转曲轴旋转一周所得旋转曲绕绕 x22ax1)(2222 bzy1222222 bzbyax即即)4()4(面方程面方程轴旋转一周所得旋转曲轴旋转一周所得旋转曲绕绕 y2222)(azx 122 by1222222 byazax即即)5()5(称为旋转椭球面称为旋转椭球面与与曲面曲

6、面)5()4(轴旋转一周，轴旋转一周，轴与轴与分别绕分别绕面上的双曲线面上的双曲线将将例例zxbzaxxoz122222 求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程解解xyz面方程面方程轴旋转一周所得旋转曲轴旋转一周所得旋转曲绕绕 x22ax1)(2222 bzy1222222 bzbyax即即)6(面方程面方程轴旋转一周所得旋转曲轴旋转一周所得旋转曲绕绕 z2222)(ayx 122 bz1222222 bzayax即即)7(称为旋转双曲面称为旋转双曲面与与曲面曲面)7()6()6()7(3定义定义)(上上不与动直线在同一平面不与动直线在同一平面知曲线知曲线平行于定直线并沿着已平行于定直线并沿着已C形

7、成的轨迹叫做形成的轨迹叫做移动的直线移动的直线 L柱面，柱面，叫做柱面的叫做柱面的定曲线定曲线 C准线，准线，叫做柱面的叫做柱面的动直线动直线 L母线母线CL二二. . 柱面柱面xzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程 一般一般母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0 一般一般常常见见的的柱柱面面方方程程)1(12222 byax椭圆柱面

8、椭圆柱面xyz时，时，ba 圆柱面圆柱面)1()2(12222 axby双曲柱面双曲柱面xyz)2()3(pyx22 抛抛物物柱柱面面xzy)3(0)4(2222 ybxa0 byax即即0 byax或或两两相相交交平平面面轴，轴，母线平行于母线平行于 z准线为准线为 00zbyax 00zbyax或或xzy)4(.注注，的方程的方程而缺而缺只含只含0),(, yxFzyx示示在空间直角坐标系中表在空间直角坐标系中表轴的柱面，轴的柱面，母线平行于母线平行于 z：面上的曲线面上的曲线其准线是其准线是0),( yxFCxoy3定义定义，相交的定直线旋转一周相交的定直线旋转一周绕着另一条与绕着另一条

9、与直线直线LL所所得得的的旋转曲面叫做旋转曲面叫做圆锥面圆锥面面的面的两直线的交点称为圆锥两直线的交点称为圆锥顶点，顶点，称为圆锥面的称为圆锥面的两直线的夹角两直线的夹角)20( 半半顶顶角角，相交相交与与 L的直线称为的直线称为旋旋转转轴轴LlO 顶点顶点 半半顶顶角角旋转轴旋转轴三三. . 锥面锥面 0 0 2222 =z=byax旋转锥面旋转锥面 演示演示两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz13.13. 旋转锥面旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax. 旋转锥面旋转锥面的的圆圆锥锥面面轴轴为为旋旋转转轴轴，半半顶顶角角为为以以建建立立顶顶点点在在坐坐标标原原点点，例例 z3方程方程xyz l解解面上