高等数学课件：8-4第一型曲面积分

1、1. 第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的概念实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .8-4 第一型曲面积分第一型曲面积分 若曲面若曲面S S是光滑的是光滑的, 它的面密度为连它的面密度为连续函数续函数),(zyxr r, 求它的质量求它的质量., ,f x y zS设函数在分片光滑的曲面 上有定义,定义定义, ,f x y zS则称此极限为函数在曲面 上的第一型曲面积分第一型曲面积分记作, ,.Sf x y z dS,iiiS 若无论对曲面 怎样的分割及

2、中间点怎样的选取,极限(1,2, ),inS in把S任意分成 个互不重叠的小片,同时也用它表示小块的面积1max,ii nS 令的直径01,niiiiilimfS ,总存在,iiiiS 在上任取一点, ,Sf x y z其中 称为积分曲面,称为被积函数.第一型曲面积分第一型曲面积分的性质的性质 , , ,f x y zf x y zS1 若与在分片光滑的曲面 上可积,12, , ,SC f x y zC g x y z dS12, , ,.SSCf x y z dSCg x y z dS( , , )Sf x y z dS 1( , , )imiSf x y z dS 1,2,iS mS i

3、m2 若 由 个互不重叠的光滑曲面所合并组成,ifSS并假定 在 及每个 上可积,则1212,CCC f C gS与函数+也在 上可积,且有则对任意常数 基本方法基本方法找到找到 （以直角坐标为参数）（以直角坐标为参数）的双的双参数方程，将曲面积分化为对参数的二重积分。参数方程，将曲面积分化为对参数的二重积分。 ,),( ),( )1xyDyxyxgz ：设光滑曲面dSkndxy),cos( 上则. ),( 1xyDCyxg其中上而n dScos2. 第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算 (转化为二重积分转化为二重积分),1xygg0221,11xyxyngggg上221xydSggd x

4、yDyxyxgzdSzyxf),(),(:),(则则同同理理可可得得;1),(,22dzdxyyzxzyxfzxDxz代入dSzyxfzxDxzxzyy),(),(:),(.代入代入 dSzyxfyzDzyzyxx),(),(:),(xyDyxgyxf),(,代入221xygg d 2) 当曲面当曲面 由参数方程由参数方程 S,xx u vyy u vu,vDzz u v 给出时给出时,2,dSEGF dudv222222,uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz其中其中2, ,SSf x y z dSf x u vy u vz u vEGF dudv小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、第一型曲面积分曲面积分的概念、第一型曲面积分曲面积分的概念;（按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）, ,Sf x y z dS01,niiiiilimfS 思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 思考题解答思考题解答是曲面