高一数学课堂训练6-7

1、时间：45分钟满分：100分一、选择题（每小题7分，共42分）1.证明1+*+*+#寺v+1（q1）,当 =2吋，左边式子等于（）1 - 2+11c. 1+亍+§3. 2012-辽宁沈阳质检用数学归纳法证明i ii 1771+二尹t齐pi丘n*）成立，其初始d. 1+2 + 3+4答案:d解析：当n=2时，左边的式子为1 +|+|+f= 1+2+3+4-2. 若命题a（n）（nen = k（ke n*）r'j'命题成立，则有n=k+时命题成立.现知命题对料=弘伽wn）吋命题成立，则有（）a. 命题对所有正整数都成立b. 命题对小于如的正整数不成立，对大于或等于

2、4;的正整数都成立c. 命题对小于必的正整数成立与否不能确定，对大于或等于冋的正整数都成立d. 以上说法都不正确答案：c值至少应取（）a. 7b. 8c.9d. 10答案：b1_丄1 1 1 1 2" 1解析：左边=1+：+才刁产1= =2刁ft,代入验证可知”的最小值是8.1_24.用数学归纳法证明“a? + s+1）3+s+2）3, （/id）能被9整除”，要利用归纳假设 证z?=p+l时的情况，只需展开（）a. （k+3fb.伙+2fc.伙+lfd.伙+1尸 + 伙+2）3答案：a解析：假设当n = k时，原式能被9整除，即疋+伙+lf+伙+2）3能被9整除.当n=k+时，伙+

3、lf+伙+2)?+伙+3f为了能用上面的归纳假设，只需将仇+3尸展开, 让其出现亡即可.5. 12012-怀化模拟用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，z+/能被x+y整除”， 在第二步时，正确的证法是()a. 假设n = r伙gn+)，证明n=k+ 1命题成立b. 假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+命题成立c. 假设n = 2k+1伙wn+),证明n=k+1命题成立d. 假设n = k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立答案:d解析：a、b、c中，k+l不一定表示奇数，只有d中£为奇数，k+2为奇数.6. 己知数列為的前n项和而«1 = 1,通过计算a2,如，心，则猜

4、想 ©等于()22a"+l)2b.咻+i)22c2w-1dr?答案:b解析:由 s”=nan 知,sn+1 = (n +1 )g"+1,所以 s“+ s“=(n+1 )2an+ j n2art,所以 an+ i=(n+l)%+1 n2a,t,yl所以an+ =再尹m2).当77 = 2时s2 = 4d2,又 s2=a i +(12,所以幺2=¥=1_2 _丄 _3 _1_亍，。3=严2=& 他=尹3=而.由 d = l,。2=亍，°3=石，4=yq猜想 =+ ),故选 b.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 用数学归纳法证明“2”&

5、gt;/+1对于 5。的所有正整数都成立”吋，第一步证明中的起始值®应取答案：5解析：当来=1时，2>2不成立；当n = 2时，4>5不成立；当n=3时，8>10不成立；当77=4时，16>17不成立；当n=5时，32>26成立；当n=6时，64>37成立，由此猜测 %应取5.& 2012-淮南调研若xn)=l2 + 22 + 32 + - + (2/?)2,则朋+1)与朋)的递推关系式是答案：j(k+) =jk) + (2k+)2+(2k+2)2解析：7仏)=12+2?+ (2好，:rk +1)=12+22+-+(2k)2+(2r+1 尸

6、+(2k+2)2,+1)=妙+(2r+1 尸+(2k+2)2.9.如下图是一系列有机物的结构简图，图屮的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则第n个图中所含化学键的个数为.答案:5n+l解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第77个结 构简图有(5川+ 1 )个化学键.可用数学归纳法验证该结论是否正确.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10.用数学归纳法证明：1+£+孚+外畫ygn*).证明：(1)当”=1时，左边=1,右边=1,77 = 2,左边=弓,右边=£,左鼻右，即命题成立.(2)假设当n=k伙wn； r21)

7、时，命题成立，即 1+£+*+是洽那么当n = k+时，要证t+卄#+詁产諾皓只要证3k2k+1 j 伙+1) 伙 +1)2" 2k+3 °.3伙+1)3k 1 _1 一伙+1f* 2«+ 3 一2£+1 伙+1 尸伙+1 )勺4伙 +1 尸一 1 一心+2)=伙+1)2(4疋+%+3)<°，* 丄 1>3伙+1) 二'2r+1 十伙+1)2" 2£+3 赵丄即#赭成立.:当n = £+1时命题成立.由、(2)知，不等式对一切nen*均成立11j2012.浙江宁波是否存在常数 a、b、

8、c 使等式 l2+22 + 32+-+/?2+(n-l)2 + - + 22 + l2=an(bn2+c)对于一切/tn*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在,试说明 理由.解：假设存在 a、b、c使 12+22 + 32+/i2 + (/? i)2 + + 22+ 2=an(bn2+c)对于一 切都成立.当 n= 时,a(b+c)= ;当 n=2 时，2«(4/?+c) = 6;当刃=3 时，3a(9b+c)=19.a(b+c)= 1,解方程组 a(4b+c) = 3,3d(9b+c)=19,( 1解得*=2,、c= 1.证明如下： 当n=l时，由以上知存在常数a, b,

9、 c使等式成立. 假设 伙wn)时等式成立，即 12+22+32+-+伙一1)2+ + 22+卩=¥(2疋+1)；当n = k+ 1吋，l2+22+32+-+z:2+(a:+l)2+2+伙一 1)2+2?+12=如2/+1)+伙+1)2+&=¥(2f+3r+ 1) + 伙+1)2=*r(2r+ 1)伙+1)+伙+1 )2=*(£+l)(2“+4r+3)=|(/r+l)l2 伙+1尸+1.即n=k+1时，等式成立.因此存在b=2, c=l使等式对一切都成立.12.已知数列a“中,a】=2, a“+i = (迈一 1)(给+2), = 1,2,3,.求数列如的

10、通项公式;（2）若数列仇屮，仞=2,仇+1=茁，几=1,2,3,，证明：迈仇0如-3,斤=1,2,3,.解：因为如=（返一1 ）（外+2）=（迈一1 ）（禺一返）+ （迈一1 ）（2+血）=（迈一1 ）4返） +血，所以 afi+1 2=（2 1 ）（atty2）.所以数列any2是首项为2承，公比为也一1的等比数列，所以给一迄=迈（迈一1）",即如的通项公式给=迈（迈一1）"+1, 77=1,2,3,.（2）用数学归纳法证明：（匚）当乃=1时，因为y22=bi=ai=2r所以yfibwa,结论成立；（ii）假设当n = k（k且kwn*）时，结论成立，即迈加£%-3,即0加一也&蛀-3迄 当n=k+