高等数学课件：8-5第二型曲面积分

1、n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面8-5 第二型曲面积分第二型曲面积分1. 双侧曲面双侧曲面动点在双动点在双側側曲面上连续移动曲面上连续移动(不跨越曲面的边不跨越曲面的边界界)并返回到起始点时并返回到起始点时,其法向量的指向不变其法向量的指向不变.曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧 曲面分类曲面分类 双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面曲面分曲面分左左侧和侧和右右侧侧典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧

2、的曲面称为有向曲面有向曲面.其方向其方向用法向量指向用法向量指向方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面, 表示表示 :其面元其面元在在 xOy 面上的投影记为面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为的面积为则规定则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定类似可规定zxyzSS)( ,)(实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1)

3、 ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .A Av 0nAvnvAvA 0cos 流量流量2. 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念xyzoS S S是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面, ,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都在都在S S上连续上连续 , , 求在单位求在单位时间内流向时间内流向S S指定侧的流指定侧的流体的质量体的质量 . .(2)(2)设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体 ( (假定密度

4、为假定密度为1)1)的速度场由的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(+ + + 给出给出. .1. 分割分割xyzoSin),(iii iS iv则该点流速为则该点流速为 iv法向量为法向量为 .in把曲面把曲面S S分成分成n小块小块iS( (),),第第i小块曲面的面积小块曲面的面积同时也代表同时也代表iS在在 上任取一点上任取一点iS,iii 通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为2. 求和求和通过通过S S流向指定侧的流量流向指定侧的流量1niiiimv nS ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiii

5、ii+iiiv n Sin =1,2, ,该点处曲面该点处曲面S S的单位法向量的单位法向量coscoscosiiiinijk+iiiiiiiiiniiiiiSRQP + + + cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 + + + + 3.3.取极限取极限0 .得到流量得到流量 m m 的精确值的精确值1niiiimv nS 01limniiiimv nS 0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(+0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(+yxiiiiSR)(,(+iii

6、iQcos),(+iS)cos,cos,(cosiiiin设m, 则则 第二型曲面积分的第二型曲面积分的定义定义设设S是一个分片光滑的双侧曲面是一个分片光滑的双侧曲面,记选定一侧的单位法向量为记选定一侧的单位法向量为 n P假设在假设在S上给定了一个向量函数上给定了一个向量函数, ,Fx y z将将S分割成分割成n个不相重叠的小曲面片个不相重叠的小曲面片1,2,iS in在上任取一点在上任取一点iS,iiiiM 作和式作和式1,niiiiiiiiFnS 令是中直径的最大者令是中直径的最大者iS在在S上选定了一侧上选定了一侧,若和式对的任意一种分割及中间点若和式对的任意一种分割及中间点,iii

7、的任意的选取，当时总有极限，的任意的选取，当时总有极限，0则称此极限为向量函数在所指则称此极限为向量函数在所指定一侧上的定一侧上的第二型曲面积分，第二型曲面积分，也称为对坐标的曲也称为对坐标的曲面积分面积分, ,F x y z, , ,SF x y z n x y z dS, ,SF x y z dS或或, ,dSn x y z dS 1,SSF ndSF ndS+ 其中其中 与与 为同一个曲面的两个相反的定向为同一个曲面的两个相反的定向.S+S(2)若积分若积分 与与 存在存在, 则则1SF dS2SF dS1 1221122,SSSkFk F dSkF dSkF dS+其中为任意常数其中为

8、任意常数12,k k第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质 123.SSSF dSF dSF dS+其中由互不重叠的两个曲面组成其中由互不重叠的两个曲面组成S12,S S3. 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式和坐标的形式和坐标的形式第二型曲面积分可化成第一型曲面积分计算第二型曲面积分可化成第一型曲面积分计算),(yxfz SxyzodsnxydSxydSdxdydScos dSxOy为为 在在平面上的平面上的有向投影面积有向投影面积.cosdxdydS0,/2;0,/2; 当0 当若单位法向量若单位法

9、向量 的方向余弦为的方向余弦为ncos, ,cos, ,cos, ,x y zx y zx y z(上正下负上正下负)dScosdSzOx为为 在在平面上的平面上的有向投影面积有向投影面积.dScos dSyOz为为 在在平面上的平面上的有向投影面积有向投影面积.(前正后负前正后负)(右正左负右正左负), ,n x y z dS则则coscoscosSPQRdS+, ,SF x y zdS, ,n x y z dS第第一一型曲面积分型曲面积分SPdydzQdzdxRdxdy+第二型曲面积分的第二型曲面积分的坐标形式坐标形式SF dS+SSSyxRxzQzyPdddddd称为称为P 在有向曲面在

10、有向曲面S上对坐标上对坐标 y, z 的曲面积分的曲面积分;SzyzyxPdd),(SxzzyxQdd),(SyxzyxRdd),(称为称为Q 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 x, y 的曲面积分的曲面积分;若以若以 -S 表示曲面表示曲面 S 的另一侧，则由定义可得的另一侧，则由定义可得 + + +SyxRxzQzyPdddddd + + + SyxRxzQzyPdddddd注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .,1 ,xyff 法向量指向上

11、侧时取正，指向上侧时取负法向量指向上侧时取正，指向上侧时取负单位法向量的方向余弦是：单位法向量的方向余弦是：cos,cos,cos2211xyff+,1 ,xyff曲面曲面 在点处的法向量为在点处的法向量为, ,x y z,zf x y例如例如将第二型曲面积分直接化成二重积分的关键是正确将第二型曲面积分直接化成二重积分的关键是正确理解曲面理解曲面S的面积元的面积元dS在坐标平面上的在坐标平面上的有向投影有向投影coscoscosSPQRdS+2211xySxyPfQfR dSff+221xydsff d+SPdydzQdzdxRdxdy+, ,xDP x y f x yf, , ,.yQ x

12、y f x yfR x y f x yd+yxDyxyxzzS ),( , ),(:取上侧取上侧,),(zyxR是是 S 上的连续函数上的连续函数, 则则 SyxzyxRdd),( yxDyxR),(),(yxzyxdd设光滑曲面设光滑曲面注：注：积分积分 SyxzyxRdd),(的计算，必须先将曲面的计算，必须先将曲面表示成：表示成：yxDyxyxzzS ),( , ),(:再代公式计算再代公式计算SyxzyxRdd),(积分积分的计算方法：的计算方法：说明说明:如果积分曲面如果积分曲面 S 取下侧取下侧, 则则 yxDSyxyxzyxRyxzyxRdd),(,(dd),(若曲面若曲面 S

13、是母线平行于是母线平行于 z 轴的柱面（垂直于轴的柱面（垂直于 xy 坐坐标面）标面）0),(: yxS 则则0dd),( SyxzyxR(前正后负前正后负)zyDzyzyxxS ),( , ),(:将曲面将曲面 S 表示为表示为 zyDSzyzyzyxPzyzyxPdd),),(dd),(若曲面若曲面 S 是母线平行于是母线平行于 x 轴的柱面（垂直于轴的柱面（垂直于 yoz 坐坐标面）标面）0),(: zyS 则则0dd),( SzyzyxP SzyzyxPdd),(积分积分的计算方法：的计算方法：(右正左负右正左负)xzDxzxzyyS ),( , ),(: xzDSxzzxzyxQxz

14、zyxQdd),(,(dd),(若曲面若曲面 S 是母线平行于是母线平行于 y 轴的柱面（垂直于轴的柱面（垂直于 zox 坐坐标面）标面）0),(: zxS 则则0dd),( SxzzyxQ积分积分的计算方法：的计算方法： SxzzyxQdd),(将曲面将曲面 S 表示为表示为注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .概括为概括为：代：代： 将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数被积函数，将其化成二元函数投：投： 将积分曲面投影到与有向面积元素（如将积分曲面投影到与有向面积

15、元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）面）定号：定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号的正负号一代、二投、三定号一代、二投、三定号注注 积分曲面的方程必须表示为积分曲面的方程必须表示为单值显函数单值显函数 否则分片计算，结果相加否则分片计算，结果相加确定正负号的原则：确定正负号的原则： 曲面取曲面取上上侧、侧、前前侧、侧、右右侧时为侧时为正正 曲面取曲面取下下侧、侧、后后侧、侧、左左侧时为侧时为负负第二型曲面积分的性质（坐标形式）第二型曲面积分的性质（坐标形式） + + + +SxzQcQcz

16、yPcPcdd)(dd)(22112211 + + + SyxRxzQzyPcdddddd1111 + + + +SyxRxzQzyPcdddddd2222yxRcRcdd)(2211+ + + 若曲面若曲面 S 由两两无公共内点的曲面由两两无公共内点的曲面 Si i = 1, 2, . . . , n 所组成，则所组成，则 + + +SyxRxzQzyPdddddd + + + niSiyxRxzQzyP1dddddd由第二型曲面积分的定义，流体以速度由第二型曲面积分的定义，流体以速度从曲面从曲面 S 的负侧流向正侧的总流量的负侧流向正侧的总流量+SyxRxzQzyPMdddddd, ,FP Q R第一型第一型与第二型与第二型曲线曲线( (面面)积分积分的二点根本差异：的二点根本差异：并总取非负值；并总取非负值；曲线要曲线要定向定向, 曲面要曲面要定侧定侧, 且微元