核按钮(新课标)高考数学一轮复习第八章立体几何8.7空间向量的坐标表示、运算及应用习题理（精编版）

1、8.7 空间向量的坐标表示、运算及应用1空间向量基本定理如 果三 个向量a，b，c不 共面 ，那么对空 间任 一向量p，存 在有序实数组 _ ，使 得_其中， a，b，c 叫做空间的一个_，a，b，c都叫做 _2空间直角坐标系(1) 如果空间的一个基底的三个基向量_，且长都为 _，则这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k来表示 ( 其中| |i| |j| |k1)(2) 在空间选定一点o和一个单位正交基底i，j，k，以o为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴： _ ，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系oxyz，点o叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量通过每两个

2、坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、zox平面(3) 建系时，一般使xoy135( 或 45) ，yoz90，建立 _手直角坐标系(4) 在空间直角坐标系中有一点a，若oaxiyjzk，则有序实数组_叫做点a在此空间直角坐标系中的坐标， 记作 _ 其中x叫做点a的横坐标，y叫做点a的纵坐标，z叫做点a的_3空间向量的直角坐标运算设a(x1，y1，z1) ，b (x2，y2，z2) ，a，b是非零向量，则(1) 向量加法：ab_(2) 向量减法：ab_(3) 数乘：a_(4) 数量积：ab_(5) 平行：ab(b0) ? _?x1x2，_，_(6) 垂直：ab? _? _(

3、7) 向量a的模| |a_(8) 向量a与b夹角公式：cosa，bab| |a| |b_(9) 点坐标和向量坐标：若点a(x1，y1，z1) ，b(x2，y2，z2) ，则ab_ ，线段ab的长度dab|ab_4直线的方向向量(1) 与直线l_的非零向量a叫做直线l的方向向量(2) 空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点a和l的一个方向向量a来确定 设点p是l上的任意一点，则l有向量表示形式_，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式注意同一条直线的点向式表示不唯一5平面的法向量和法向量的求法(1) 平面的法向量已知平面，直线l，取直线l的方向向量a，则 _叫做平面的法向量(2) 平面的法

4、向量的求法设出平面的法向量为n(x，y，z) ；找出 ( 求出 ) 平面内的两个不共线的向量的坐标a (a1，b1，c1) ，b(a2，b2，c2)；根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组；解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有_个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量6利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角设直线l，m的方向向量为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则(1) 线线平行：lm? _? _(2) 线线垂直：lm? _? _(3) 线面平行：l? _? _(4) 线面垂直，方法一：l? _? _；方法二：若e1，e2为平面的一组基底，则l?

5、ae1，ae2?ae1ae20. (5) 面面平行：? _? _(6) 面面垂直：? _? _(7) 线线夹角：l，m的夹角为02，cos(8) 线面夹角：l，的夹角为02，sin(9) 面面夹角：，的夹角为02，cos注意： (1) 这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合；(2) 这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即02，而二面角的大小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为_，若设u，v的夹角为，当u，v均指向二面角内部或外部时( 如图1) ，二面角的大小为，coscos( ) cosuv| |u| |v

6、；当u，v一个指向二面角内，另一个指向二面角外时( 如图 2) ，二面角的大小为，coscosuv| |u| |v. 7距离(1) 点到直线的距离设过点p的直线l的方向向量为单位向量n，a为直线l外一点，点a到直线l的距离d_( 如图 3) 图 3 图 4 (2) 点到平面的距离设p为平面内的一点，n为平面的法向量，a为平面外一点，点a到平面的距离d (如图 4) (3) 线面距离、面面距离都可以转化为_自查自纠1.x，y，zpxaybzc基底基向量2(1) 两两垂直1 (2)x轴，y轴，z轴(3) 右(4)(x，y，z) a(x，y，z) 竖坐标3(1)(x1x2，y1y2，z1z2) (2

7、)(x1x2，y1y2，z1z2) (3)(x1，y1，z1) (4)x1x2y1y2z1z2(5)aby1y2z1z2(6)ab 0 x1x2y1y2z1z20 (7)aax21y21z21(8)x1x2y1y2z1z2x21y21z21x22y22z22(9)(x2x1，y2y1，z2z1) （x2x1）2（y2y1）2（z2z1）24(1) 平行且非零(2)apt a5(1) 向量a(2)naa1xb1yc1z 0，nba2xb2yc2z 0无数6(1)abakb，kr(2)abab0 (3)auau0 (4)auaku，kr(5)uvukv，kr(6)uvuv0 (7)|ab| |a|

8、 |b(8)|au| |a| |u(9)|uv| |u| |v07(1)|pa2_|pan2(2)|pan| |n(3) 点到面的距离在空间直角坐标系中，已知点p(x，y，z) ，给出下列4 条叙述：点p关于x轴的对称点的坐标是(x，y，z) ；点p关于yoz平面的对称点的坐标是(x，y，z) ；点p关于y轴的对称点的坐标是(x，y，z) ；点p关于原点的对称点的坐标是(x，y，z) 其中正确的个数是( ) a3 b2 c1 d0 解： 易知错误，仅正确，故选c. 若向量a(1 ，1，x)，b(1，2，1)，c(1 ，1，1) ，且(ca) 2b 2，则x( ) a 4 b 2 c4 d2 解

9、： a (1，1，x) ，b(1 ，2，1) ，c(1 ，1，1) ，ca(0 ，0，1x) ，2b(2 ，4，2) (ca) 2b2(1x) 2，解得x2. 故选 d.若直线l的方向向量为a(1 ，0，2) ，平面的法向量为n( 2，0， 4)，则l与的位置关系为( ) alblcl?dl与斜交解： a (1 ，0， 2) ，n( 2，0， 4) ，n 2a，即an. l. 故选 b. (2015哈尔滨质检) 已知空间中三点a(1 ，0，0) ，b(2，1，1) ，c(0， 1，2)，则点c到直线ab的距离为 _解：ab(1 ，1，1) ，ac( 1，1，2)，cosab，acabac|ab

10、| |ac|436223， sin ab，ac13，点c到直线ab的距离d|ac| sin ab，ac63.故填63.已知 2ab(0，5，10) ，c(1 ，2，2) ，ac4，|b| 12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_解： 由题意得， (2ab) c01020 10，即 2acbc 10. 又ac4，bc 18. cosb，cbc|b|c|1812312，b，c 120，两直线的夹角为60. 故填 60. 类型一空间向量坐标的基本运算已知a(1 ，5， 1) ，b ( 2，3，5) (1) 若(kab) (a3b) ，求实数k的值；(2) 若(kab) (a3b) ，求实数k的值

11、解：kab(k2，5k3，k5) ，a3b(7 ， 4， 16) (1) (kab) (a3b) ，k275k34k516，解得k13. (2) (kab) (a3b) ， (k2)7 (5k3)( 4) ( k5)( 16)0，解得k1063. 【点拨】 利用向量平行的性质：ab(b0) ?ab?x1x2，y1y2，z1z2可求解第 (1) 问的k值；利用向量垂直的性质：ab?ab 0?x1x2y1y2z1z20 建立方程可求第(2) 问的k值已知空间三点a( 2，0，2)，b( 1，1，2)，c( 3，0，4) ，设aab，bac. (1) 若|c| 3 且cbc，求c；(2) 求a和b的

12、夹角的余弦值；(3) 若kab与ka2b互相垂直，求k的值解： (1) bc( 2， 1，2) ，cbc，cmbcm( 2， 1，2) ( 2m，m，2m)(mr) |c| （ 2m）2（m）2（ 2m）23|m| 3，m1.c( 2， 1， 2) 或c(2 ，1， 2) (2) a(1 ，1，0) ，b( 1， 0，2) ，ab(1 ，1，0) ( 1，0， 2) 1. 又 |a| 1212022，|b| （ 1）2 02225， cosa，bab|a|b|1101010. 故a和b的夹角的余弦值为1010. (3) 由(2) 知|a| 2，|b| 5，ab 1. (kab) (ka 2b)

13、 k2a2kab2b22k2k10 0，解得k2 或k52. 类型二空间两直线的平行与垂直设a，b是不相交的两条直线l1，l2的方向向量，试判断下列各条件下两条直线l1，l2的位置关系：(1)a()2， 1，3 ，b 1，12，32；(2)a()5，0， 2 ，b 1， 3，52；(3)a()2，1，4 ，b()3，2， 1 . 解： (1) 由a()2， 1，3 2 1，12，32 2b，得ab，又两条直线l1，l2没有交点，所以l1l2. (2) 由于ab51032520，所以ab，从而l1l2. (3) 由a()2，1，4，b()3，2， 1可知，不存在任何实数，使ab，且ab0，则这两

14、条直线l1，l2不相交、不平行也不垂直，故两条直线l1，l2是不垂直的异面直线【点拨】 先考查两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理，这是空间向量的最基本的作用，使用得当非常简便如图所示，正方体abcd-abcd的棱长为1，e，f分别是bc，cd上的点，且becfa(0a1) ，则de与bf的位置关系是 ( ) a平行b垂直c相交d与a值有关解： 建立如图所示空间直角坐标系，则d(0， 0，1) ，e(1 a，1， 0)，b (1，1， 1) ，f(0 ，1a，0) ，de(1 a，1， 1)，bf ( 1，a， 1)debf(1

15、a) ( 1) 1( a)(- 1)( 1) a 1a10. debf， 即debf.故选 b.类型三直线和平面的平行与垂直( 2015汕头模拟 ) 如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，底面abcd是边长为2 的正方形，o为ac与bd的交点，bb12，m是线段b1d1的中点(1) 求证：bm平面d1ac；(2) 求证：d1o平面ab1c. 证明： (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则点o(1 ，1，0)，d1(0 ，0，2) od1( 1， 1，2) 又点b(2 ，2， 0)，m(1 ，1，2) ，bm( 1， 1，2) ，od1bm. 又od1与bm不共线，od1bm. 又od1

16、? 平面d1ac，bm?平面d1ac，bm平面d1ac. (2) 连接ob1，易知点b1(2 ，2，2) ，a(2 ，0，0) ，c(0，2， 0) ，ob1 (1 ，1，2) ，ac( 2，2，0)，od1ob10，od1ac0，od1ob1，od1ac，又ob1aco，d1o平面ab1c. 【点拨】 用向量证明直线与平面平行，可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，当然，直线要在平面外用向量证明直线和平面垂直，可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直，也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行(

17、 2015安徽淮南二模) 在直三棱柱abc-a1b1c1中，abacaa13，bc2，d是bc的中点，f是cc1上一点，且cf2. (1) 求证：b1f平面adf；(2) 若c1p13c1a1，求证：pf平面adb1. 证明： abac，d是bc的中点，adbc，取b1c1的中点d1，则dd1平面abc，分别以cb，ad，dd1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，abacaa13，bc2，a(0 ， 22，0) ，b(1，0，0)，c( 1，0，0) ，a1(0， 22， 3) ，b1(1 ，0，3)，c1( 1，0，3) ，cf2，f( 1，0， 2) (1)b1f( 2，0， 1) ，d

18、a (0， 22，0) ，df( 1，0，2) ，b1fda0，b1fdf 0，b1f平面adf. (2) c1p13c1a113(1 ， 22， 0) 13，223，0 ，p23，223，3 ，pf 13，223， 1 . 设平面adb1的法向量为n(x0，y0，z0) ，则nda0，nab10，有22y00，x022y03z0 0，取z01，则n(3，0，1) pfn 0，pf?平面adb1，pf平面adb1. 类型四平面和平面的平行与垂直( 2015安阳模拟 ) 在四棱锥p-abcd中，底面abcd为正方形，pd平面abcd，e，f分别为棱ad，pb的中点，且pdad.求证：平面cef平

19、面pbc. 证明： 建立如图所示空间直角坐标系，则a(1，0，0) ，p(0 ，0，1) ，c(0，1，0) ，b(1 ，1，0) ，e12，0， 0 ，f12，12，12，设平面cef的一个法向量为n1(x，y，z) ，则n1ef 0，n1ec 0，得12y12z0，12xy 0，取x1，则n1 1，12，12. 同理求得平面pbc的一个法向量为n2 0，12，12. n1n210121212120，n1n2. 平面cef平面pbc. 【点拨】 利用空间向量证明面面垂直的基本方法：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量

20、即可如 图 ， 在 直 三 棱 柱abc-a1b1c1中 ， abc 90，bc2，cc14，点e在线段bb1上，且eb11，d，f，g分别为cc1，c1b1，c1a1的中点(1) 求证：平面a1b1d平面abd；(2) 求证：平面egf平面abd. 证明： 以b为坐标原点，ba，bc，bb1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则b(0 ，0，0) ，d(0，2，2)，b1(0 ，0，4) ，e(0，0，3) ，f(0 ，1，4) 设baa，则a(a，0，0)，ga2，1，4 ，a1(a，0，4) (1) ba (a，0， 0) ，bd(0 ， 2，2)，b1d(0，2， 2

21、)，b1dba0，b1dbd0. b1dba，b1dbd，即b1dba，b1dbd. 又babdb，b1d面abd. b1d? 面a1b1d，平面a1b1d平面abd. (2) ega2，1， 1 ，ef(0 ，1，1) ，b1d(0，2， 2)，b1deg0，b1def0. b1deg，b1def. egefe，b1d平面egf. 又由 (1) 知b1d平面abd，平面egf平面abd. 类型五空间距离正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为bb1，cd的中点，求点f到平面a1d1e的距离解： 以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

22、， 如图所示， 则a1(0，0，1)，e1，0，12，f12，1，0 ，d1(0，1，1)，a1e 1，0，12，a1d1(0， 1，0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z) ，则na1e 0，na1d10，即x12z0，y0，令z2，则x1. n (1，0， 2)又a1f12，1， 1，点f到平面a1d1e的距离为d|a1fn|n|12253510. 【点拨】 利用空间向量求距离的基本方法：(1) 两点间的距离设点a(x1，y1，z1) ，点b(x2，y2，z2) ，则 |ab| |ab| （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2. (2) 点到平面的距离如图所示，已知ab为平面

23、的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离为 |bo| |abn|n|. 如图，bcd与mcd都是边长为2 的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab 23. 求点a到平面mbc的距离解： 取cd中点o，连接ob，om，则obcd，omcd. 又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd. 以o为原点，直线oc，bo，om为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系易知obom3，则各点坐标分别为o(0 ，0，0) ，c(1， 0，0) ，m(0 ，0，3) ，b(0 ，3，0) ，a(0 ，3，23) 设平面mbc的一个法向量m(x，y，z) bc(1 ，3，0) ，bm(0

24、 ，3，3) ，mbc0，mbm0，即x3y0，3y3z0.取z1，则m(3， 1， 1) 又ab(0 ，0， 23) ，点a到平面mbc的距离d|abm| |m|2352515. 类型六空间角度( 2015天津 ) 如图，在四棱柱abcd-a1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abac，ab1，acaa12，adcd5，且点m和n分别为b1c和d1d的中点(1) 求证：mn平面abcd；(2) 求二面角d1-ac-b1的正弦值；(3) 设e为棱a1b1上的点，若直线ne和平面abcd所成角的正弦值为13，求线段a1e的长解： 如图，以a为原点建立空间直角坐标系，依题意可得a(0 ，0，

25、0) ，b(0 ，1，0) ，c(2 ，0，0) ，d(1 ，2，0) ，a1(0 ，0，2) ，b1(0 ，1，2)，c1(2 ， 0，2) ，d1(1 ，2， 2) m，n分别为b1c和d1d的中点， m1，12， 1 ，n(1 ， 2，1) (1) 证明： 依题意，可得n(0 ，0，1) 为平面abcd的一个法向量，mn 0，52，0 ，由此可得mnn0. 又直线mn?平面abcd，mn平面abcd. (2)ad1(1 ， 2，2) ，ac(2， 0，0) 设n1(x1，y1，z1) 为平面acd1的一个法向量，则n1ad10，n1ac0，即x1 2y12z10，2x10.不妨设z11，

26、可得n(0， 1，1)设n2(x2，y2，z2) 为平面acb1的一个法向量，则n2ab10，n2ac0，由ab1 (0 ，1，2) ，得y22z20，2x20.不妨设z21，可得n2(0 ， 2， 1) 因此有 cosn1，n2n1n2|n1| |n2|1010，于是sin n1，n231010. 二面角d1-ac-b1的正弦值为31010. (3) 依题意，可设a1ea1b1，其中0 ， 1 ，则e(0，2) ，从而ne ( 1，2，1) 又n(0 ，0，1) 为平面abcd的一个法向量， cos ne，nnen|ne| |n|1（ 1）2（2）21213，解得72. 又0 ， 1 ，72

27、. 线段a1e的长为72. 【点拨】 (1) 当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行(2) 求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出两个平面的法向量；第二步：求出两个法向量夹角的余弦值；第三步：由二面角范围0 ，知正弦值为正， 由余弦值可得正弦值(3) 直线ne和平面abcd所成角的正弦值为13，则直线ne的方向向量ne与平面abcd的法向量的夹角余弦值为13，由此确定点e的位置( 2014天津 ) 如图，在四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1) 证明：bedc；(2) 求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(

28、3) 若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角f-ab-p的余弦值解： 以a为原点建立空间直角坐标系，可得b(1，0，0) ，c(2 ，2，0) ，d(0 ，2，0) ，p(0，0，2) 由e为棱pc的中点，得e(1，1， 1)(1) 证明： 向量be(0 ， 1，1) ，dc(2 ，0，0) ，故bedc0. 所以bedc. (2) 向量bd( 1，2，0)，pb (1 ，0， 2)设n (x，y，z) 为平面pbd的法向量，则nbd0，npb0，即x2y0，x2z0.不妨令y1，可得n(2 ，1，1)为平面pbd的一个法向量于是有cosn，benbe|n|be|26233. 直线be与平

29、面pbd所成角的正弦值为33. (3) 向量bc(1 ，2，0) ，cp( 2， 2，2)，ac(2， 2，0) ，ab(1 ，0，0) ，由点f在棱pc上，设cfcp，0 1. 故bfbccfbccp(1 2，22， 2) 由bfac，得bfac0，因此 2(1 2) 2(2 2) 0. 解得34，即bf 12，12，32. 设n1(x，y，z) 为平面fab的法向量，则n1ab 0，n1bf 0，即x0，12x12y32z0.不妨令z1，可得n1(0 ，3，1) 为平面fab的一个法向量取平面abp的法向量n2(0，1，0) ，则cosn1，n2n1n2|n1|n2|310131010.

30、易知二面角f-ab-p是锐角，其余弦值为31010. 1在涉及正方体、长方体、直棱柱等几何体时，通过建立空间直角坐标系，实现向量的坐标运算解决几何问题简便有效，具体步骤为：(1) 建立适当的空间直角坐标系；(2) 求相关点的坐标；(3) 表示向量的坐标；(4) 向量的坐标运算；(5) 根据运算结果的几何意义表述有关问题2通过空间向量的坐标运算可解决立体几何中平行与垂直等位置关系问题，利用数量积可计算空间角和距离等问题，要注意空间角度与向量角度之间的区别和联系，求距离往往利用公式| |aaax2y2z2计算，也可利用|ae| |a|cos(e为单位向量，为a，e的夹角 ) 来求一个向量在另一条直

31、线上的射影长3用向量方法证明空间中的平行关系(1) 线线平行证明两直线的方向向量平行(2) 线面平行证明线面平行有三种方法：一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；二是在平面内找一向量与直线的方向向量共线；三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示(3) 面面平行证明面面平行有两种方法：一是证明两个平面的法向量平行；二是转化为线面平行、线线平行问题4用向量方法证明空间中的垂直关系(1) 线线垂直证明两直线的方向向量垂直(2) 线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行根据线面垂直的判定定理，转化为证直线与平面内的两条相交直线垂直的问题(3) 面面垂直根据面面垂直的判定定理，

32、转化为证相应的线面垂直、线线垂直的问题证明两个平面的法向量互相垂直5用向量方法求空间角(1) 两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全相同，两异面直线所成角的取值范围是0，2，而两向量所成角的取值范围是0 ， ，所以当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角(2) 利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角( 或其补角 ) 注意：直线与平面所成角的取值范围是0，2.

33、(3) 利用空间向量求二面角，也可以有两种方法：分别在二面角-l-的面，内，沿，延伸的方向作向量n1l，n2l，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；通过法向量求解设m1，m2，则两向量的夹角与该二面角相等或互补注意：二面角的取值范围是0 ， 6空间距离空间中的距离有：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线到线的距离、线到面的距离、面到面的距离求距离的一般步骤是：一作作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值(1) 求空间中点到点的距离，可以利用两点间的距离公式，或转化为解三角形(2) 利用三棱锥的底面与顶点的转换，可求三棱锥的高，即用等体积法求点到面的距离

34、(3) 空间中的各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，若用向量方法求空间距离，则点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解1已知向量a(1 ，1，0) ，b( 1，0，2)，且kab与 2ab互相垂直，则k的值是 ( ) a1 b.15c.35d.75解： 易知kabk(1 ，1，0) ( 1， 0，2) (k1，k，2) ，2ab2(1 ，1，0) ( 1，0， 2)(3 ，2， 2) kab与 2ab互相垂直， (kab) (2ab) (k1，k，2) (3， 2， 2) 0，解得k75. 故选 d.2已知点a(2 ， 5， 1)，b(2 ， 2

35、， 4) ，c(1 ， 4， 1) ，则向量ab与ac的夹角为 ( ) a30 b45 c60 d90解： 由已知得ab (0 ，3，3) ，ac( 1，1，0) ， cosab，acabac|ab|ac|332212. 向量ab与ac的夹角为60. 故选 c.3已知ab(1 ， 5，2)，bc(3 ， 1，z) ，bp(x1，y，3) 若abbc，且bp平面abc，则bp( ) a.207，157， 3b.407，157， 3c.337，157， 3d.337，157， 3解： abbc，abbc0，即 13512z0，解得z4. 又bp平面abc，有bpab0，bpbc0，即（x1） 5y

36、60，3（x1）y120，解得x407，y157.bp337，157， 3 . 故选 d.4长方体abcd-a1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为( ) a.1010b.3010c.155 d.31010解法一： 建立坐标系如图，则a(1 ，0，0)，e(0 ，2，1) ，b(1，2，0) ，c1(0 ，2，2).bc1( 1，0，2) ，ae( 1，2，1) ，cosbc1，aebc1ae|bc1| |ae|3010. 异面直线bc1与ae所成角的余弦值为3010. 解法二： 连接ad1，d1e，易知bc1ad1，则异面直线bc1与

37、ae所成的角为ead1( 或其补角 ) 由ad15，ae6，ed15，得 cosead1ad21ae2ed212ad1ae（5）2（6）2（5）22563010，即异面直线bc1与ae所成角的余弦值为3010. 故选 b.5 过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd， 若abpa， 则平面abp与平面cdp所成的二面角为( ) a30 b 45 c 60 d 90解： 建立如图所示的空间直角坐标系，设abpa1，则a(0 ，0，0) ，b(1， 0，0)，d(0 ，1，0) ，c(1 ，1，0) ，p(0 ，0，1) 易知ad平面abp，设e为pd的中点，连接ae，则aepd，又cd平面

38、pad，aecd，又pdcdd，ae平面cdp. ad(0 ，1，0)和ae 0，12，12分别是平面abp和平面cdp的法向量，而ad，ae 45，平面abp与平面cdp所成的二面角为45. 故选 b.6在棱长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中，m是aa1的中点，则点a1到平面mbd的距离是 ( ) a.66ab.306ac.34ad.63a解： 以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则d(0 ，0，0) ，b(a，a，0) ，ma，0，a2，a1(a，0，a) da1(a，0，a) ，bm 0，a，a2，dma，0，a2. 设n(x，

39、y，z) 为平面mbd的一个法向量，则nbm0，ndm0，即aya2z0，axa2z0.取z1，则n 12，12，1 . 点a1到平面bdm的距离d|da1n| |n66a. 故选 a.7 如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，e为cc1的中点，则直线de与平面a1bc1所成角的正弦值为_解：设正方体的棱长为2，直线de与平面a1bc1所成角为，建立如图所示的坐标系，则d(0 ，0，0) ，e(0 ，2，1) ，b1(2，2，2)，db1平面a1bc1，db1(2 ，2，2) 是平面a1bc1的一个法向量，又de(0 ，2，1)， sincosdb1，dedb1de|db1| |de|6

40、235155. 故填155.8( 2015四川 ) 如图， 四边形abcd和adpq均为正方形， 它们所在的平面互相垂直，动点m在线段pq上，e，f分别为ab，bc的中点设异面直线em与af所成的角为，则 cos的最大值为 _解： 建立坐标系如图所示设ab1，则af 1，12，0 ，e12， 0，0 . 设m(0 ，y，1)(0 y1)，则em12，y，1 ， 0，2， cos|afem|af|em|1212y11414y212（1y）54y25，2（1y）4y25218y14y25，令8y 1t，1t9，则8y14y2 516t81t215，当且仅当t 1 时取等号 cos2（1y）54y2

41、5152525，当且仅当y0 时取等号故填25.9设，分别是平面，的法向量，根据下列条件判断平面，的位置关系：(1)( 2，2， 5) ，(6 ， 4，4) ；(2)(1 ，2， 2) ，( 2， 4， 4) ；(3)(2 ， 3， 5) ，( 3，1， 4) 解： (1)262( 4)54 0，. (2) 易得12，. . (3) 由条件可知，不存在任何实数，使，且0，则平面与不平行也不垂直，平面，相交10(2014福建 ) 在平面四边形abcd中，abbdcd 1，abbd，cdbd. 将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图(1) 求证：abcd；(2) 若m为ad中点，求直线

42、ad与平面mbc所成角的正弦值证明： (1) 平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ab? 平面abd.abbd，ab平面bcd. 又cd? 平面bcd，abcd. (2) 过点b在平面bcd内作bebd，如图由 (1) 知ab平面bcd，be，bd? 平面bcd，abbe，abbd.以b为坐标原点，分别以be，bd，ba的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意得b(0，0，0) ，c(1 ，1，0)，d(0 ，1， 0)，a(0， 0，1) ，m0，12，12，则bc(1 ，1，0) ，bm 0，12，12，ad(0 ，1，1) ，设平面mbc的法向量n(x0，y0

43、，z0) ，则nbc0，nbm0，即x0y0 0，12y012z00，取z01，得平面mbc的一个法向量n(1 ， 1，1) ，设直线ad与平面mbc所成角为，则 sin|cos n，ad| |nad|n| |ad|63. 故直线ad与平面mbc所成角的正弦值为63. 11如图，在四棱锥p-abcd中，侧面pad底面abcd，侧棱papd2，papd，底面abcd为直角梯形，其中bcad，abad，abbc1，o为ad的中点(1) 求直线pb与平面poc所成角的余弦值；(2) 求b点到平面pcd的距离；(3) 线段pd上是否存在一点q，使得二面角q-ac-d的余弦值为63？若存在，求出pqqd

44、的值；若不存在，请说明理由解： (1) 在pad中，papd，o为ad的中点，poad. 又侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po? 平面pad，po平面abcd. 在直角梯形abcd中，易得ocad，以o为坐标原点，直线oc为x轴，直线od为y轴，直线op为z轴建立空间直角坐标系，则p(0 ，0，1) ，a(0 ， 1，0)，b(1 ， 1，0) ，c(1， 0，0) ，d(0，1，0) ，pb(1，1， 1) ，易证oa平面poc，oa(0， 1，0) 是平面poc的一个法向量 cospb，oapboa|pb|oa|33. 直线pb与平面poc所成角的余弦值为63. (2

45、)pd(0 ，1， 1) ，cp( 1，0，1) ，设平面pcd的一个法向量为u(x，y，z) ，则ucpxz0，updyz 0，取z1，得u (1，1， 1) b点到平面pcd的距离d|bpu|u|33. (3) 存在设pqpd (0，)(063，又 sin21，则 sin的取值范围是63，1 . 故选 b.11 已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1中ab 2，cc122，e为cc1的中点，则直线ac1与平面bde的距离为 ( ) a2 b.3c.2 d1 解： 如图，连接ac，交bd于o，连接oe，在cc1a中，易证oeac1.从而ac1平面bde，直线ac1到平面bde的距离即为点a到

46、平面bde的距离，设为h. 由等体积法， 得va-bde13s bdehve- abd13s abdec1312222223. 又在bde中，bd22，bede6，sbde12 22222. h1. 故选 d.12如图，已知球o是棱长为1 的正方体abcd-a1b1c1d1的内切球，则平面acd1截球o的截面面积为( ) a.6 b.3c.66d33解：根据正方体的几何特征知，平面acd1是边长为2的正三角形， 且球与以点d为公共点的三个面的切点恰为三角形acd1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得acd1内切圆的半径是22tan30 66，故所求的截面圆的面积是66

47、26. 故选 a.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13正方体abcd-a1b1c1d1中，平面abc1的一个法向量为_( 答案不唯一 ) 解： 如图，设正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，以da为x轴，以dc为y轴，以dd1为z轴，建立空间直角坐标系，则a(1 ，0，0) ，b(1，1，0) ，c1(0 ，1，1) ，ab(0 ，1， 0)，ac1( 1，1，1) 设面abc1的法向量为n(x，y，z) ，nab 0，nac10，y0，xyz0. 令x1，可取n(1 ，0，1)故填 ( 1，0，1)14已知正三棱锥p-abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上

48、，若pa，pb，pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为 _解： 在正方体中作出正三棱锥p-abc如图所示，设正方体的棱长为a，则 3a2 (23)212，得a2，abbcac22. 由vp-abcvb-apc得13sabch13sapcbp，即1312(22)232h1312222，得h233. 球心到截面abc的距离d323333. 故填33.15( 2015四川 ) 在三棱柱abc-a1b1c1中，bac90，其正视图和侧视图都是边长为1 的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形设点m，n，p分别是棱ab，bc，b1c1的中点，则三棱锥p-a1mn的体积是_解： m，n，p分

49、别是棱ab，bc，b1c1的中点，mnac，npcc1，平面mnp平面cc1a1a，点a1到平面mnp的距离等于点a到平面mnp的距离根据题意有mac90，ab1， 可得点a到平面mnp的距离为12.又mn12，np1，vp-a1mnva-mnp13smnp12131212112124. 故填124.16已知平行六面体abcd-a1b1c1d1，ac1与平面a1bd，cb1d1交于e，f两点给出以下命题：点e，f为线段ac1的两个三等分点；ed113ab23ad23aa1；设a1d1的中点为m，cd的中点为n，则直线mn与面a1db有一个交点；e为a1bd的内心其中真命题有_( 写出所有真命题的序号) 解： 在对角面acc1a1中易证点e，f为线段ac1的两个三等分点，故正确；ed1ec1c1d123(abadaa1) ab13ab23ad23aa1，故正确；取dd1的中点为r，易证面mnr面a1bd，故错；a1e为a1bd的边bd的中线，故e不一定是a1bd的内心 ( 实际上是重心)，故错故填.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10 分) 已知一个几何体的三视图如图所示(1) 求此几何体的表面积；(2) 如果点p，q在正视图中所示位置：p为所在线段中点，q为顶点，求在几何体表面上，从p点到q点的最短路径的长解： (1) 由三视图知， 此几何