材料力学 第7章梁的强度问题

1、1第七章第七章 梁的强度问题梁的强度问题2 对于梁的受力弯曲，其横截面上的应力分布将不对于梁的受力弯曲，其横截面上的应力分布将不再均匀，如何确定梁横截面上的应力分布便成了首要再均匀，如何确定梁横截面上的应力分布便成了首要解决的问题。解决的问题。 只有确定了梁上任意横截面的应力分布情况，才能只有确定了梁上任意横截面的应力分布情况，才能知道知道“危险截面危险截面” 进而进行强度设计，考虑是否存在安全问题等。进而进行强度设计，考虑是否存在安全问题等。 绝大多数细长梁的失效，绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，切应主要与正应力有关，切应力的影响是次要的力的影响是次要的，本章将主要确定梁横截面上，本

2、章将主要确定梁横截面上正应正应力以及与正应力有关力以及与正应力有关的强度问题。的强度问题。37.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件47.2 与与应力应力分析相关的截面图形的几何性质分析相关的截面图形的几何性质 不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内力分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横力分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横截面的几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形，截面的几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与到与截面图形的几

3、何形状和尺寸截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统有关的量。这些量统称为几何量，包括：称为几何量，包括：形心形心、静矩静矩、惯性矩惯性矩、惯性半径惯性半径、极惯性矩极惯性矩、惯性积惯性积、主轴主轴等。等。57.2.1 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系AyzdASAzydAS1. 截面一次矩截面一次矩 或或 静矩静矩静矩单位为静矩单位为m3 如果将如果将dA视为垂直于图形平面的视为垂直于图形平面的力力，则，则ydA和和zdA分别为分别为dA对于对于z轴和轴和y轴的轴的力矩力矩，而，而Sz和和Sy则分别为则分别为A对对z轴和轴和y轴的力矩。轴的力矩。6图形几何形状的中心称为图形几何

4、形状的中心称为形心形心(Centroid of an area) 若将若将面积面积视为垂直于图形平面的视为垂直于图形平面的力力，则，则形心形心即为即为合力的作用点。合力的作用点。设设zc、yc为形心坐标，则根据合力矩定理：为形心坐标，则根据合力矩定理：cyAzS czAyS AydAASyAzcAzdAASzAyc形 心 坐 标形 心 坐 标与 静 矩 之与 静 矩 之间的关系间的关系7 根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：可以看出：T静矩静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有

5、不同的静矩：对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐有不同的静矩：对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零其静矩等于零(证明见下一页证明见下一页)。T如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。于这一坐标系中坐标轴的静矩。8yzbhCAzydAS/2/2hhbydy/22/2102hhby对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于

6、零对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零.9 对于对于组合图形组合图形，则先将其分解为若干个简单图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以可以直接确定形心位置的图形直接确定形心位置的图形)；然后由式；然后由式(72)分别计算它分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和，即们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和，即1122111221nccncniciinccncniciiyzSAzA zA zAzSA yA yA yA y10再利用式子再利用式子(7-3)，可以得到，可以得到组合组合图形的图形的形心坐标：形心坐标：11niycniiiciSAzzAA11nizcniiiciSA yyAA11

7、7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径1) 截面二次轴距截面二次轴距(second moment of an area)惯性矩惯性矩(moment of inertia)AydAzI2AzdAyI22) 二次极距二次极距(second polar moment of an area)极惯性矩极惯性矩APdArI2单位为单位为m4单位为单位为m4zyPIIIzyr222123) 惯性积惯性积 (Product of inertia)AyzyzdAI4) 惯性半径惯性半径 (radius of gyration )yyIiA单位为单位为m4定义zzIiA惯

8、性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，可能为负。三者的单位均为的不同，可能为正，可能为负。三者的单位均为m4。13对于圆形横截面：对于圆形横截面： 此时坐标轴通过横截面的形心，此时坐标轴通过横截面的形心，得到得到极惯性矩极惯性矩为：为：APdArI2drrdArA22RPrdrrI02232244dR类似的得到圆环截面对于类似的得到圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为：圆环中心的极惯性矩为：DdDIP4413214 当当坐标轴坐标轴通过某通过某圆形横截面的中心圆形横截面的中心，则该圆形横截面，则该圆形横截面对其中任意两根轴具

9、有对其中任意两根轴具有相同相同的惯性矩。其数值均为：的惯性矩。其数值均为：644dIIIzy类似的，对于圆环形状的横截面，具有类似的结果为：类似的，对于圆环形状的横截面，具有类似的结果为：DdDIIIzy4416415当坐标轴原点位于当坐标轴原点位于矩形矩形横截面的中心，则其惯性矩分别为：横截面的中心，则其惯性矩分别为：123hbAydAzI2hdzdA 222bbyhdzzI123bhIz167.2.3 惯性矩与惯性积的惯性矩与惯性积的移轴定理移轴定理dAzyyzyzzyIIIo111yzzyIIIz1y1y1z1O?ba21112yyzzyzyzIIIIb Aa AabAII的正负号有关。

10、，的增加与否，与总是增加的。、baIIIyzzy111移轴定理移轴定理要求要求坐标轴通过横截坐标轴通过横截面的形心。面的形心。172222112yIz dAzb dAzzbb dA222z dAb zdAb dA22yb AIb zdA22yyb AbSI187.2.4 惯性矩与惯性积的惯性矩与惯性积的转轴定理转轴定理dAzyyzoz1y1y1z1yzzyIII111yzzyIII?2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIII转 轴 定 理转 轴 定 理不不要要求坐标轴通过横求坐标轴通过横截面的形心。

11、截面的形心。197.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩2cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相应的坐标轴就可以得到某个如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这则称这一对坐标轴一对坐标轴为过这一点的主轴为过这一点的主轴(principal axis)。图形对于主轴的惯性矩称为图形对于主轴的惯性矩称为主主惯性矩惯性矩(principal moment of inertia of an area)。主惯性矩具有。主惯性矩具有极大极大值或极小值值或极小值的特征。的特征。 22m

12、inmax4212xyzyzyzoyoIIIIIIIII主惯性矩为：主惯性矩为：20AyzyzdAIhdzdA 822yhbyzhdzIboyz822yhbyzhdzIobyz212223niiniciizcAyAASy11212211AAyAyAcc242526小结小结dAyzzyrAdAA面积：面积：AyzdASAzydAS截 面 一 次 矩截 面 一 次 矩(静矩静矩)截 面 二 次 矩截 面 二 次 矩(惯性矩惯性矩)AydAzI2AzdAyI2截面二次极矩截面二次极矩(极惯性矩极惯性矩)APdArI2截 面 二 次 矩截 面 二 次 矩(惯性积惯性积)AyzyzdAI惯性半径惯性半径

13、AIiyyAIizz是对原点而言下标轴而言是对下标轴而言是对下标r) 3zzyy)2) 1zyPIII27特点：特点：静矩、惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性半径都是静矩、惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性半径都是对对某一指定坐标系某一指定坐标系而言。而言。其中其中静矩静矩和和惯性积惯性积可正可负，也可以为零可正可负，也可以为零。惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径都是都是大于零的正值大于零的正值，且它们的值随不同坐标系变化而变化。且它们的值随不同坐标系变化而变化。惯性半径的量纲是长度的惯性半径的量纲是长度的一次方一次方，面积的量纲是长，面积的量纲是长度的度的二次方二次方，静矩的量纲是

14、长度的，静矩的量纲是长度的三次方三次方，其余的，其余的(惯惯性矩、惯性积、极惯性矩性矩、惯性积、极惯性矩)量纲是长度的量纲是长度的四次方四次方。28静矩和形心位置的确定静矩和形心位置的确定AydAASyAzcAzdAASzAyc niciicnncczniciicnnccyyAyAyAyASzAzAzAzAS1221112211单个图形的情况：单个图形的情况：组合图形的情况：组合图形的情况：29注意几点：注意几点：I平面图形有平面图形有两个两个对称轴，则形心必定位于两个对称轴对称轴，则形心必定位于两个对称轴的的交点交点上。上。I平面图形有平面图形有一个一个对称轴，则形心必定必在这一条对对称轴，

15、则形心必定必在这一条对称轴上，只需确定其具体位置即可。称轴上，只需确定其具体位置即可。30I在工程中求平面图形在工程中求平面图形形心形心时，往往不用积分方法求静时，往往不用积分方法求静矩，而尽量采用矩，而尽量采用组合图形组合图形求静矩。求静矩。I对同一平面图形选取不同的参考坐标系，其对同一平面图形选取不同的参考坐标系，其形心形心位置位置的坐标也会不同。但的坐标也会不同。但形心在平面图形中的位置是不变的形心在平面图形中的位置是不变的。I平面图形对通过其形心的平面图形对通过其形心的坐标轴坐标轴的的静矩为零静矩为零，因此若，因此若平面图形对某个轴的静矩为零，则该坐标轴必通过平面平面图形对某个轴的静矩

16、为零，则该坐标轴必通过平面图形的形心。图形的形心。yzhb02222bbAAyzhzhdzzdAS02212bbAAzybybdyydAS31平行移轴公式平行移轴公式dAzyyzyzzyIIIo111yzzyIIIz1y1y1z1O?baAbzdAbdAzdAbzdAzIAAAAy2222112AbbSIyy22如果参考坐标系如果参考坐标系oyz的原点位于形心，则：的原点位于形心，则：0yS32dAzyyzoz1y1y1z1转轴公式的几点说明：转轴公式的几点说明：角从原坐标轴角从原坐标轴y量起，量起，以以逆时针为正，顺时针为负。逆时针为正，顺时针为负。对于对于同一坐标原点同一坐标原点的任意两的

17、任意两个坐标系个坐标系yoz和和y1o1z1存在下列存在下列关系：关系：11zyzyPIIIII33主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩2cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相应的坐标轴就可以得到某个如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这这一对坐标轴一对坐标轴为过这一点的主轴为过这一点的主轴(principal axis)。图形对于主轴的惯性矩称为图形对于主轴的惯性矩称为主主惯性矩惯性矩(principal moment of inertia of an area)。主惯性

18、矩具有。主惯性矩具有极大值或极小值极大值或极小值的特的特征。征。 22minmax4212xyzyzyzoyoIIIIIIIII主惯性矩为：主惯性矩为：zyyzoIII22tan34644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz几个简单平面图形的几个简单平面图形的形心主惯性矩形心主惯性矩圆形截面圆形截面环形截面环形截面矩形截面矩形截面357.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力7.3.1 平面平面弯曲和弯曲和纯纯弯曲的概念弯曲的概念 对称面对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称

19、面称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane) 梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，的形心主轴，所有所有相同的形心主轴组成的平面，称为相同的形心主轴组成的平面，称为梁的梁的主轴平面主轴平面(plane including principal axis)。由于。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不然。以下的分析和叙述中均使用然。以下的分析和叙述中均使用主轴平面主轴平面。 36平面弯曲平面弯曲：所有外力：所有外力(包括力、力偶包括力、力偶) 都作用梁的

20、都作用梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内，这种弯曲线，这一曲线位于外力作用平面内，这种弯 曲称曲称为平面弯曲为平面弯曲(plane bending)。37纯弯曲纯弯曲：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如果梁的横截面上果梁的横截面上只有只有弯矩弯矩一个内力分量，这一个内力分量，这种平面弯曲称为种平面弯曲称为纯弯曲纯弯曲(pure bending) 纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因

21、纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而，便只有垂直于横截面的而，便只有垂直于横截面的正应力正应力。 仅在仅在AB段区间段区间38 横向弯曲横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生其横截面上将同时产生剪力和弯矩剪力和弯矩。这时，梁的横截。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有切应力。这种弯曲称为横向面上不仅有正应力，还有切应力。这种弯曲称为横向弯曲，简称弯曲，简称横弯曲横弯曲(transverse bending)。 7.3.2 纯弯曲纯弯曲时梁横截面上正应力分析时梁横截面上正应力分析v分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点分析梁

22、横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。之间的关系。v由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情形见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情形推知梁横截面上推知梁横截面上 的正应力分布。的正应力分布。 391. 平面假定与应变分布平面假定与应变分布 在伸长层与缩短层交界处的那一层，既不伸长也不缩在伸长层与缩短层交界处的那一层，既不伸长也不缩短，该层称为短，该层称为中性层或中性面中性层或中性面(neutral

23、 surface)。中性层与横截面的交线，称为中性层与横截面的交线，称为中性轴中性轴(neutral axis) 中性轴中性轴垂直于加载方向，对于具有对称轴的横截面梁，垂直于加载方向，对于具有对称轴的横截面梁，中性轴垂直于横截面的中性轴垂直于横截面的对称轴对称轴。 40变形前变形前变形后变形后整体变形效果整体变形效果假设假设OO为中性层，并建立如图所示的坐标为中性层，并建立如图所示的坐标OXY。弧弧AA=dy弧弧OO=dx=d dxy ddyd 那么弧那么弧AA的绝对伸长量为：的绝对伸长量为：那么弧那么弧AA的相对伸长量为：的相对伸长量为：1 xdxydydxdx1ddx41 (2) 物理方程

24、物理方程假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。 (7-24) xxEyECy x xF横截面上的横截面上的弯曲正应力弯曲正应力沿横截面的高度方向从中性轴为零沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈开始呈线性线性分布。分布。F该式子还只是给出了正应力分布情况，但是还不能具体求该式子还只是给出了正应力分布情况，但是还不能具体求出数值。主要因为：出数值。主要因为：y坐标是从中性轴开始计算的，而坐标是从中性轴开始计算的，而中性轴中性轴的位置还没有确定的位置还没有确定；中性轴的；中性轴的曲率半径曲率半径也没有确定也没有确定。42M

25、(3) 纯弯曲纯弯曲情况下的情况下的静力学关系静力学关系：ddd0NzAAAEyEEFAAy AS0 zSyzx0NF 中心轴中心轴Z通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，中心轴的位置就是确定截面的形心位置。中心轴的位置就是确定截面的形心位置。 纯弯曲纯弯曲时，在时，在任何一个任何一个横截面上横截面上只能只能有有弯矩弯矩一个内力一个内力分量，分量，轴力轴力必须等于零。必须等于零。43(d )zdd0yAAyzAEyEEyzMAAAzI因为因为y轴为横截面的一个对称轴，所以其截面的轴为横截面的一个对称轴，所以其截面的惯性积惯性积等于等于0。2(d )ddzz

26、AAzAEyEEyyMAy AMAI1zzMEIyzx0yMzzMM1xxEyEEy zxzM yI (7-34)(7-29)(3) 纯弯曲纯弯曲情况下的情况下的静力学关系静力学关系：在横截面上：在横截面上：445. 最大正应力公式最大正应力公式与与弯曲截面模量弯曲截面模量mmaxaxzzzzyMMIWmax其中zzIWy圆形截面圆形截面环形截面环形截面矩形截面矩形截面644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz122bhhIWzz323dWWWzyDdDWWWzy43132zzxM yIWz称为弯曲截面模量称为弯曲截面模量456. 梁弯曲后其轴线的梁弯曲后其轴线的

27、曲率公式曲率公式zzIMCECzzEIM1称为梁的弯曲刚度。zEI 这一结果表明：梁的轴线弯曲后的这一结果表明：梁的轴线弯曲后的曲率曲率与弯矩成与弯矩成正比正比，与与弯曲刚度弯曲刚度成成反比反比。467.3.3 梁的弯曲正应力公式的应用与推广梁的弯曲正应力公式的应用与推广需要注意几个问题需要注意几个问题Y首先是关于正应力的首先是关于正应力的正负号正负号：决定正应力是拉应力还是压应力。：决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是：首先确定正应力正负号比较简单的方法是：首先确定确定横截面上横截面上弯矩的实弯矩的实际方向际方向，确定中性轴的位置确定中性轴的位置；然后根据所要求应力

28、的那一点的位置，；然后根据所要求应力的那一点的位置，以及以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系。就可以确这一关系。就可以确定这一点的正应力是定这一点的正应力是拉应力拉应力还是还是压应力压应力(图图7-17)。 Y其次是关于其次是关于最大正应力计算最大正应力计算： 如果梁的横截面具有如果梁的横截面具有一对一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉。此时最大拉应力与最大压应力应力与最大压应力绝对值相等绝对值相等，由式，由式(7-

29、30)计算。计算。47如果梁的横截面只有如果梁的横截面只有一根一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴通过则中性轴通过截面形心截面形心并并垂直对称轴垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力，可由力与最大压应力，可由绝对值不相等绝对值不相等，下列二式分别计算：下列二式分别计算：)()(maxmaxmaxmax压拉zbczbczbzbIyMIyM48 此外还要注意的是，此外还要注意的是，某一个某一个横截面上的最大正应力不一定就横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力，应该首先判断可能产生最大正应力的那些是梁内的最大正应力

30、，应该首先判断可能产生最大正应力的那些截面，这些截面称为截面，这些截面称为危险截面危险截面；然后比较所有危险截面上的最大；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中正应力，其中最大者最大者才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超全工作而不发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。过允许的数值。 2. 纯弯曲纯弯曲正应力可以推广到正应力可以推广到横向弯曲横向弯曲 以上有关纯弯曲的正应力的公式。对于非纯弯曲，也就是横截以上有关纯弯曲的正应力的公式。对于非纯弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外、还

31、有剪力的情形。如果是细长杆，也是面上除了弯矩之外、还有剪力的情形。如果是细长杆，也是近似近似适适用的。理论与实验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横截面在用的。理论与实验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面，而是要发生梁变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲翘曲，这种翘曲对正应力，这种翘曲对正应力分布的影响是很小的。对细长梁更小，通常都可以忽略不计。分布的影响是很小的。对细长梁更小，通常都可以忽略不计。 497.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例5051xM02xFxqxMRAxqlqxM22128,22qlMlx52535455567.5

32、梁的梁的强度强度计算计算7.5.1 梁的梁的失效判据失效判据 与拉伸或压缩杆件失效类似。与拉伸或压缩杆件失效类似。对于韧性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应对于韧性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的力达到材料的屈服点屈服点时，便认为梁发生失效；时，便认为梁发生失效；对于脆性材料制成的梁，当梁的危险截面的最大正应力对于脆性材料制成的梁，当梁的危险截面的最大正应力达到材料的达到材料的抗拉强度抗拉强度时，便认为梁发生失效。即时，便认为梁发生失效。即 maxmaxb()()s韧性材料脆性材料577.5.2 梁的梁的弯曲强度弯曲强度计算准则计算准则 ssnmax bbnmax根据

33、上述强度条件，同样可以解决三类强度问题：根据上述强度条件，同样可以解决三类强度问题：强度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷强度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷。 587.5.3 梁的弯曲强度梁的弯曲强度计算步骤计算步骤 根据梁的弯曲强度设计准则，进行弯曲强度计算的一根据梁的弯曲强度设计准则，进行弯曲强度计算的一般般步骤步骤为：为：Y根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力。根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力。Y画出梁的弯矩图：根据弯矩图，确定可能的危险截面。画出梁的弯矩图：根据弯矩图，确定可能的危险截面。 Y根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等，根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度

34、性能是否相等，确定可能的危险点确定可能的危险点:Z 对于拉、压强度相同的材料对于拉、压强度相同的材料(如低碳钢等如低碳钢等)，最大拉应力，最大拉应力作用点与最大压应力作用点具有相同的危险性，通常不加作用点与最大压应力作用点具有相同的危险性，通常不加以区分；以区分；Z 对于拉、压强度性能不同的材料对于拉、压强度性能不同的材料(如铸铁等脆性材料如铸铁等脆性材料)最最大压应力作用点和最大压应力作用点都有可能是危险点。大压应力作用点和最大压应力作用点都有可能是危险点。 秘笈秘笈59Y应用强度条件进行强度计算：应用强度条件进行强度计算：Z对于拉伸和压缩强度对于拉伸和压缩强度相等相等的材料，应用强度条件式

35、的材料，应用强度条件式(7-38)和式和式(7-39)；Z对于拉伸和压缩强度对于拉伸和压缩强度不相等不相等的材料，强度条件式的材料，强度条件式 (7-38)和式和式(7-39)可以改写为可以改写为 bbmaxbbnbcbcmaxbcbcn抗拉许用应力抗拉许用应力抗拉强度抗拉强度60616263642. 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点653. 计算危险点的正应力，进行计算危险点的正应力，进行强度校核强度校核 上述结果表明：梁上所有危险截面的危险点的强度上述结果表明：梁上所有危险截面的危险点的强度都是安全的。都是安全的。66lxFFPAlxlF

36、FPB)( 67kNlxFFPA200kNlxlFFPB150)(由此解出：由此解出：mkNmkNx667. 23004200mkNmkNmx230041504于是得到了于是得到了Fp加在辅助梁上作用点的范围为：加在辅助梁上作用点的范围为：mxm667. 22682. 确定辅助梁所需要的确定辅助梁所需要的工字钢型号工字钢型号69707.6 斜斜弯曲弯曲当外力施加在当外力施加在梁的对称面梁的对称面(或或主轴平面主轴平面)内时，梁将产生平面弯内时，梁将产生平面弯曲。曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是不是对称面对称面(或或主轴平面主轴平面)，梁也

37、将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲(skew bending)。还有一种情形也会产生斜弯曲。这就是所有外力都作用于对称还有一种情形也会产生斜弯曲。这就是所有外力都作用于对称面面(或主轴平面或主轴平面)内，但不是同一对称面内，但不是同一对称面(梁的截面具有两个或两个梁的截面具有两个或两个以上对称轴以上对称轴)或主轴平面内。或主轴平面内。717.3 斜弯曲斜弯曲 为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力，为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力，在小变形的条件下，在小变形的条件下，可可以将斜弯曲分解成以将斜弯曲分解成两个两个纵向对称面内纵向对称面

38、内(或主轴平面或主轴平面)的平面弯曲，然的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同一点应力的后将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加代数值相加。便得到斜弯曲。便得到斜弯曲在该点的应力值。在该点的应力值。 zzyybWMWMmaxzzyybcWMWMmax72 上式不仅对于上式不仅对于矩形矩形截面，而且对于截面，而且对于槽形槽形截面、截面、工字工字形截面也是适形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生和最大压应力都发生在同一点在同一点。 对于圆截面，上述计算公式是对于圆截面，上述计算公式是不不

39、适用的。这是因为，两个对称适用的。这是因为，两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不发生在同一点。发生在同一点。 对于圆截面，因为对于圆截面，因为过形心的任意轴过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，这一合矢量仍然沿着横截面的对称轴分布，二者的矢量和，这一合矢量仍然沿着横截面的对称轴分布，合弯矩合弯矩的作用面的作用面仍然与仍然与对称面一致对称面一致，所以平面弯曲

40、的公式依然适用。于是，所以平面弯曲的公式依然适用。于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为 WMMWMzyb22maxWMMWMzybc22max73 此外还可以证明，斜弯曲情形下，横截面依然存在此外还可以证明，斜弯曲情形下，横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心形心，但不垂直但不垂直于加载方向于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别重要区别。 max74yzFP754sin4)(maxlFlFFMPPzPz4cos4)(maxlFlFFMPPyPy3. 计算两个平面弯曲

41、情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力7677具有很强的工程意义！具有很强的工程意义！787.7 弯矩与轴力弯矩与轴力同时作用时横截面上的同时作用时横截面上的正应力正应力 当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯方向的纵向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。上产生正应力。 如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致，这种如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致，这种情形称为情形

42、称为偏心加载偏心加载。这时如果将纵向力向横截面的形心。这时如果将纵向力向横截面的形心简化，同样，将在杆件的横截面上产生简化，同样，将在杆件的横截面上产生轴力和弯矩轴力和弯矩。 7980AFWMNbmaxAFWMNbcmax max81822. 确定危险截面并计算最大应力确定危险截面并计算最大应力83847.8 结论与讨论结论与讨论7.8.1 关于弯曲正应力公式的关于弯曲正应力公式的应用条件应用条件平面弯曲平面弯曲正应力公式只能应用于正应力公式只能应用于平面弯曲平面弯曲情形。对于截面有情形。对于截面有对称对称轴轴的梁，外加载荷的作用线必须位于梁的对称平面内，才能产生平的梁，外加载荷的作用线必须位

43、于梁的对称平面内，才能产生平面弯曲。面弯曲。对于没有对称轴截面的梁、外加载荷的作用线如果位于梁对于没有对称轴截面的梁、外加载荷的作用线如果位于梁的主轴平面内，也可以产生平面弯曲。的主轴平面内，也可以产生平面弯曲。 只有在只有在弹性范围弹性范围内加载，横截面上的正应力才会内加载，横截面上的正应力才会线性分布线性分布，才会，才会得到平面弯曲正应力公式。得到平面弯曲正应力公式。平面弯曲正应力公式是在平面弯曲正应力公式是在纯弯情形纯弯情形下得到的，但是，对于下得到的，但是，对于细长杆细长杆，由于剪力引起的切应力比弯曲正应力小得多，对强度的影响很小，由于剪力引起的切应力比弯曲正应力小得多，对强度的影响很

44、小，通常都可以忽略。通常都可以忽略。 由此，平面弯曲正应力公式也适用于横截面上有由此，平面弯曲正应力公式也适用于横截面上有剪力作用的情形。也就是对于剪力作用的情形。也就是对于细长梁纯弯曲细长梁纯弯曲的正应力公式也适用于的正应力公式也适用于横弯曲。横弯曲。 857.8.2 弯曲弯曲切切应力的概念应力的概念X当梁发生当梁发生横向横向弯曲时，横截面上一般都有弯曲时，横截面上一般都有剪力剪力存在，截存在，截面上与剪力对应的分布内力在各点的强弱程度称为面上与剪力对应的分布内力在各点的强弱程度称为切应力切应力，用希腊字母用希腊字母表示。表示。X切应力的方向一般与剪力的方向相同，作用线位于横截切应力的方向一

45、般与剪力的方向相同，作用线位于横截面内，如图面内，如图7-30所示。所示。X弯曲切应力在截面上的弯曲切应力在截面上的分布是不均匀的，分布状分布是不均匀的，分布状况与截面的形状有关，一况与截面的形状有关，一般情形下般情形下最大切应力最大切应力发生发生在横截面中性轴上的各点。在横截面中性轴上的各点。 86对于宽度为对于宽度为b、高度为、高度为h的矩形截面，最大切应力为的矩形截面，最大切应力为:hbFQ23max对于直径为对于直径为d的圆截面，最大切应力为的圆截面，最大切应力为:AFQ34max42dA对于内径为对于内径为d、外径为、外径为D的圆环截面，最大切应力为的圆环截面，最大切应力为:AFQ 2max422dDA877.8.3 关于截面的关于截面的惯性矩惯性矩 横截面对于某一轴的惯性矩，不仅与横截面的面积大小有关，而横截面对于某一轴的惯性矩，不仅与横截面的面积大小有关，而且还与这些面积到这一轴的距离的远近有关且还与这些面积到这一轴的距离的远近有关。同样的面积，到轴的距。同样的面积，到轴的距离远者，惯性矩大；到轴的距离近者，惯性矩小。为了使梁能够承受离远者，惯性矩大；到轴的距离近者，