2022版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系学案含解析

1、两条直线的位置关系考试要求 1. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1， l 2，若其斜率分别为k1， k2，则有 l 1 l 2? k1 k2.当直线l1， l2 不重合且斜率都不存在时，l 1 l2. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1， l 2 的斜率存在，设为k1，k2，则有 l1 l2 ? k1·k2 1.当直线l1 的斜率不存在，而直线l 2 的斜率为0 时， l 1 l

2、2. 2两条直线的交点的求法直线 l 1：a1xb1y c1 0，l 2： a2x b2y c2 0(a1，b1，c1，a2，b2，c2 为常数 )，则a1x b1yc1 0，8l 1 与 l2 的交点坐标就是方程组3 三种距离公式a2xb2y c2 0的解(1)平面上的两点p1( x1， y1)， p2(x2， y2)间的距离公式|p1p2|x1x2 2 y1 y2 2.特别地，原点o(0,0)与任一点p(x，y)的距离 |op|x2 y2.|ax0 by0 c|(2) 点 p( x0， y0)到直线 l：ax by c0 的距离 da2 b2.|c1 c2 |(3) 两条平行线ax byc

3、1 0 与 ax by c2 0 间的距离da2 b2.常用结论 直线系方程的常见类型(1) 过定点 p(x0，y0)的直线系方程是：y y0 k(x x0)(k 是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2) 平行于已知直线ax by c 0 的直线系方程是：ax by 0(是参数且 c)；(3) 垂直于已知直线ax by c 0 的直线系方程是：bx ay 0(是参数 )； (4)过两条已知直线l 1： a1 x b1y c10 和 l 2：a2x b2yc2 0 的交点的直线系方程是： a1x b1yc1 (a2xb2y c2) 0(r ，直线系中不包括直

4、线l 2)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)当两条不重合的直线l1 和 l 2 斜率都存在时，一定有k1 k2? l 1 l2.() (2)如果两条直线l 1 与 l 2 垂直，那么它们的斜率之积一定等于1.()(3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离() 答案 (1) (2) ×(3) (4)二、教材习题衍生1. 已知点 (a,2)( a>0) 到直线 l： x y 30 的距离为1，则 a 等于 () a 2b 22c2 1d 21c 由题意得|a 2 3|1，即

5、 |a1|2，2又 a>0，a2 1.2. 已知 p(2， m)， q(m,4)，且直线pq 垂直于直线x y 1 0，则 m .1 由题意知m4 1，所以 m 4 2m， 2 m所以 m1.3. 若三条直线y2x，xy 3，mx 2y5 0 相交于同一点，则m 的值为 9由y 2x， x y 3，x 1，得y 2.所以点 (1,2) 满足方程 mx 2y 50， 即 m× 1 2× 25 0，所以 m 9.4. 已知直线 3x 4y 30 与直线 6x my 14 0 平行，则它们之间的距离是 342 由两直线平行可知6 m，即 m 8.两直线方程分别为3x 4y

6、30 和 3x4y 7 0，|7 3|则它们之间的距离d916 2.考点一两条直线的位置关系由一般式确定两直线位置关系的方法l 1： a1xb1y c1 0(a2 b2 0)11直线方程22l 2： a2x b2y c2 0(a2b2 0)l 1 与 l 2 平行的充要条件a1b2 a2b1 0 且 a1c2a2c1l 1 与 l 2 垂直的充要条件a1a2b1b2 0 l 1 与 l 2 相交的充要条件a1b2 a2b1l 1 与 l 2 重合的充要条件a1b2a2b1 且 a1c2 a2c11设 a r ，则“ a 1”是“直线l1：ax2y 1 0 与直线 l2：x(a 1)y 4 0

7、平行”的()a 充分不必要条件b 必要不充分条件c充要条件d 既不充分也不必要条件a当 a1 时，显然l 1l 2，若 l 1l2，则 a(a1) 2× 10，所以 a 1 或 a 2.所以 a 1 是直线 l1 与直线 l 2 平行的充分不必要条件2若直线 l 1：(a 1)x y 1 0 和直线 l2：3xay 2 0 垂直， 则实数 a 的值为 ()a 12c 14b 32d 34.d由已知得3(a 1) a0，解得 a 343已知三条直线l1： 2x 3y1 0， l2： 4x 3y 5 0， l 3： mx y 1 0 不能构成三角形，则实数m 的取值集合为 ()4233a

8、 ，42442b 3， 3422c 3，3，3d ，333d 三条直线不能构成一个三角形，3当l1 l 3 时， m 2；4当 l 2l 3 时， m 3；当 l 1， l 2， l 3 交于一点时，也不能构成一个三角形，2x 3y 1 0，12由4x 3y 5 0，得交点为 1， 3 ，代入 mx y 1 0，得 m 3.故选 d.点评： 解决两直线平行与垂直的参数问题要“ 前思后想 ” 考点二两条直线的交点与距离问题1. 求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能

9、简化解题过程2. 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1) 求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2) 求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x， y 的系数对应相等典例 1(1)(2020全·国卷 )点(0， 1)到直线 y k(x 1)距离的最大值为()a 1b 2c3d 2(2)直线l 过点p( 1,2)且到点a(2,3) 和点b( 4,5)的距离相等，则直线l 的方程为 (3)已知两直线a1x b1 y 1 0 和 a2x b2y1 0 的交点为p(2,3) ，则过两点q1 (a1，b1 )， q2(a2 ，b2)的直线方程为 (1)b(2) x3y 5

10、0 或 x 1(3) 2x3y 1 0(1) 法一 ：由点到直线的距离公式知点(0， 1)到直线 y k(x 1)的距离 d|k·0 1 × 1 k|k 1|k22k 1212k2.当 k 0 时， d 1；当 k 0k2 1k21k 1k 12k时， d1 212，要使 d 最大，需 k 0 且 k1最小，当 k1 时， dmaxk 1k1kk2，故选 b.法二：记点 a(0， 1)，直线 y k(x 1)恒过点 b( 1,0)，当 ab 垂直于直线y k(x 1)时，点 a(0， 1)到直线 y k(x 1)的距离最大，且最大值为|ab|2，故选 b.(2)当直线 l

11、的斜率存在时，设直线l 的方程为y 2 k(x 1)，即 kx y k2 0.由题意知|2k 3 k 2|k2 1| 4k 5 k2|，k21，即|3k 1| | 3k 3|，k 131直线l 的方程为y 2 3(x 1)，即 x3y 5 0.当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x 1，也符合题意 (3)p(2,3) 在已知的两条直线上，2a1 3b1 1，2a2 3b2 1.点q1(a1， b1)， q2(a2， b2)是直线 2x 3y 1 上的两个点，故过q1， q2 两点的直线方程为 2x 3y1.点评： 本例 (3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思这个

12、解题要点跟进训练 1. 若 p，q 分别为直线3x 4y 120 与 6x8y 5 0 上任意一点，则|pq |的最小值为()918a 5b 5c 291034 12d 295c因为 685 ，所以两直线平行，将直线3x 4y 120 化为 6x8y 240，由题意可知 |pq |的最小值为这两条平行直线间的距离，即| 24 5|29，所以 |pq|的最小值62 821029为10.2. 经过两条直线l 1： x y 40 和 l2： xy 2 0 的交点，且与直线2x y 1 0 垂直的直线方程为 x 2y 7 0 由x y 40， x y 20，x1，得y 3，l1 与 l2 的交点坐标为

13、(1,3)设与直线2x y 1 0 垂直的直线方程为x 2y c 0， 则 1 2× 3 c 0，c 7.所求直线方程为x 2y 7 0.考点三对称问题对称问题的求解方法(1) 点关于点：点p(x， y)关于点 q(a， b)的对称点p (x ， y )满足x 2a x， y 2b y.(2) 线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(3) 点关于线：点a(a， b)关于直线axby c 0(b0) 的对称点a (m，n) ，n bam a× b 1，则有amb na· 2 b· 2 c 0.(4) 线关于线：直线关于直线的对称可转化为

14、点关于直线的对称问题来解决 中心对称问题典例 2 1过点 p(0,1) 作直线 l，使它被直线l 1： 2x y8 0 和 l2： x 3y10 0截得的线段被点p 平分，则直线l 的方程为 x 4y 4 0 设 l 1 与 l 的交点为 a(a,8 2a)，则由题意知，点a 关于点 p 的对称点b( a,2a 6)在 l 2 上，代入 l2 的方程得 a 3(2a 6) 10 0，解得 a 4，即点 a(4，0)在直线 l 上，所以直线l 的方程为x 4y 4 0.点评： 点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解轴对称问题典例 2 2(1) 已知直线 y 2x 是 ab

15、c 中角 c 的平分线所在的直线，若点a，b 的坐标分别是 ( 4,2)， (3,1)，则点 c 的坐标为 ()a ( 2,4)b (2， 4)c (2,4)d (2， 4)(2)已知入射光线经过点m( 3,4)，被直线 l：xy 3 0 反射，反射光线经过点n(2,6)， 则反射光线所在直线的方程为 (1)c(2) 6x y 6 0(1) 设 a( 4,2)关于直线y 2x 的对称点为a (x， y)，则y 2x 4y 2× 2 1， 4 x2 2×2，x 4，解得y 2，a (4， 2) ，由题意知， a 在直线 bc 上，bc 所在直线方程为y1 2 1(x3) ，即

16、 3x y 10 0.联立433x y 10 0， y 2x，x 2，解得y 4，则 c(2,4)(2)设点 m( 3,4)关于直线l：x y3 0 的对称点为m ( a，b)，则反射光线所在直线过点 m ，b 4a 3所以 3a·1 1，b 4解得 a 1， b0.即 m (1,0) 22 3 0，又反射光线经过点n(2,6)，所以所求直线的方程为y 06 0x 1，2 1即 6x y 60.点评： 在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住 “垂直平分 ” ，由“ 垂直 ”列出一个方程， 由“ 平分” 列出一个方程，联立求解跟进训练 1. 如图，已知a(4,0)， b(0,4)，从点 p(2， 0)射出的光线经直线ab 反射后再射到直线ob 上，最后经直线ob 反射后又回到p 点，则光线所经过的路程是()a 33b 6c 210d 25c直线 ab 的方程为x y 4